13.1.3 反证法 教学课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB解：由a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.如果此时a2+b2≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？13.1.3反证法1.了解用反证法证明命题的一般步骤，能运用反证法证明与勾股定理相关的简单命题.作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？(1)a=1.0，b=2.4，c=2.6；(2)a=2，b=3，c=4；(3)a=2，b=2.5，c=3.12+2.42=2.6222+32≠4222+2.52≠32可以发现，第一组恰好满足a²+b²=c²，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形.可以得到什么样的猜想呢？12+2.42=2.6222+32≠4222+2.52≠32猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a²+b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形.分析：想从已知条件a²+b²≠c²(a≤b≤c)出发，直接经过推理得出结论，十分困难.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论：(1)假设它是直角三角形；(2)根据勾股定理，一定有a²+b²=c²，与已知条件a²+b²≠c²矛盾；(3)因此假设不成立，即它不是直角三角形.怎样证明这个猜想是正确的呢？反证法：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做“反证法”.步骤：(1)假设结论的反面是正确的；(2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；(3)说明假设不成立，进而得出原结论正确.先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.假设：a²+b²=c²推理矛盾：∠C≠90°是否成立？对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？例1

求证：两条直线相交只有一个交点.已知：两条相交直线l1与l2.求证：l1与l2只有一个交点.分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.例2

证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC.求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.1.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.已知：在△ABC中，AB≠AC.求证：∠C≠∠B.证明：假设∠C=∠B，由“等角对等边”可知AB=AC，这与已知“AB≠AC”矛盾，所以假设不成立，即∠C≠∠B.2.

求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2.求证：AB不平行于CD.证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD.DCABEFGH12步骤内容从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法.1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的；2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确.反证法1.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确的顺序应为(

)A．①②③

B．①③②

C．②③①

D．③①②D2.试说出下列说法的反面：（1）a是实数;

（2）a大于2;（3）a小于2;

（4）至少有2个;

（5）最多有一个.

a不是实数

a小于或等于2

a大于或等于2最多有1个一个也没有3.用反证法证明：如果a+b>0，那么a，b中至少有一个大于零．证明：假设a、b都不大于零，即a≤0，b≤0，因为两个非正数相加还是非正数，所以a+b≤0.这与已知条件a+b>0矛盾，所以假设不成立，所以a、b中至少有一个大于零.4.求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数.已知：整数m的平方是一个偶数.求证：m为偶数.证明：假设整数m是奇数