全国统考数学二强化试卷｜2022考研（考前押题卷）

全国统考数学二强化试卷｜2022考研（考前押题卷）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.已知函数f(x)在点x=1处可导，且f(1)=1，lim(x→1)(f(x)+f(1-x))/x^2=2，则f'(1)等于（）A.1B.2C.3D.42.设函数f(x)在区间[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且f(0)=f(2)=1，当x∈(0,2)时，f'(x)≠0，则方程f(x)=1在(0,2)内根的个数为（）A.0B.1C.2D.无法确定3.设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，且f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x→0时，f(x)/x→2，则f(0)等于（）A.0B.1C.2D.-14.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足∫0^1f(t)dt=1，则函数F(x)=x^2∫0^xf(t)dt在[0,1]上的最大值等于（）A.1/4B.1/2C.1D.无法确定5.设函数f(x)在(-1,1)内具有二阶导数，且f''(x)连续，当x→0时，f(x)～x^3，则f(0),f'(0),f''(0)依次等于（）A.0,0,0B.0,0,1C.0,1,0D.1,0,06.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列命题正确的是（）A.必存在一点ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.必存在两点ξ1,ξ2∈(0,1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)C.必存在一点ξ∈(0,1)，使得f'ξ)=0D.必存在一点ξ∈(0,1)，使得f'ξ)=f(ξ)7.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，若∫0^1f(x)dx=1，则函数φ(x)=∫0^xf(t)dt在[0,1]上的图形（）A.与x轴所围面积恒为1B.在(0,1)内必存在一点ξ，使得φ(ξ)=1/2C.必与x轴所围面积大于1D.必与x轴所围面积小于18.设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f'(x)>0，当x→0+时，f(x)→0，当x→+∞时，f(x)→+∞，则方程f(x)=lnx在(0,+∞)内根的个数为（）A.0B.1C.2D.无法确定9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，若∫0^1f(x)dx=1，则函数ψ(x)=1/2x∫0^xf(t)dt在[0,1]上的图形（）A.在(0,1)内必存在一点ξ，使得ψ(ξ)=1/4B.必与x轴所围面积恒为1/2C.必与x轴所围面积大于1/2D.必与x轴所围面积小于1/210.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，若∫0^1f(x)dx=1，则函数ω(x)=∫0^xf(t)dt在[0,1]上的图形（）A.在(0,1)内必存在一点ξ，使得ω(ξ)=1/2B.必与x轴所围面积恒为1C.必与x轴所围面积大于1D.必与x轴所围面积小于1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，且f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x→0时，f(x)/x→2，则f(0)等于________。2.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足∫0^1f(t)dt=1，则函数F(x)=x^2∫0^xf(t)dt在[0,1]上的最大值等于________。3.设函数f(x)在(-1,1)内具有二阶导数，且f''(x)连续，当x→0时，f(x)～x^3，则f(0),f'(0),f''(0)依次等于________。4.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列命题正确的是________（请填写正确命题的序号）。5.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，若∫0^1f(x)dx=1，则函数φ(x)=∫0^xf(t)dt在[0,1]上的图形________（请填写正确描述）。6.设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f'(x)>0，当x→0+时，f(x)→0，当x→+∞时，f(x)→+∞，则方程f(x)=lnx在(0,+∞)内根的个数为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：由lim(x→1)(f(x)+f(1-x))/x^2=2，得lim(x→1)(f(x)+f(1))/x^2=2，即(f(1)+f(1))/1^2=2，故f(1)=1。又由f(x)在x=1处可导，得f'(1)=lim(x→1)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim(x→1)(f(x)+f(1))/(2(x-1))=1，故f'(1)=4。2.C解析：由罗尔定理，存在ξ∈(0,2)，使得f'(ξ)=0。又由f'(x)≠0，得ξ=0或ξ=2。故方程f(x)=1在(0,2)内有两个根。3.A解析：令y=0，得f(x)=f(x)+f(0)，故f(0)=0。4.B解析：由F'(x)=2x∫0^xf(t)dt+x^2f(x)，令x=1，得F'(1)=2∫0^1f(t)dt+f(1)=3，故F(x)在[0,1]上的最大值为max{F(0),F(1)}=max{0,3/4}=3/4。5.A解析：由f(x)～x^3，得f(x)/x^3→1，故f(0)=f'(0)=f''(0)=0。6.B解析：由f(0)=f(1)，得f(1/2)=f(-1/2)，故必存在两点ξ1=1/2,ξ2=-1/2∈(0,1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)。7.A解析：由∫0^1f(x)dx=1，得φ(1)=1，故φ(x)在[0,1]上的图形与x轴所围面积恒为1。8.B解析：令F(x)=f(x)-lnx，则F'(x)=f'(x)-1/x。由f'(x)>0，得F'(x)在(0,+∞)内单调递增。又由F(1)=f(1)-ln1=0，故方程f(x)=lnx在(0,+∞)内有一个根。9.A解析：由ψ'(x)=1/2∫0^xf(t)dt，令x=1，得ψ'(1)=1/2∫0^1f(t)dt=1/2，故ψ(1)=1/2。故必存在一点ξ∈(0,1)，使得ψ(ξ)=1/4。10.B解析：由∫0^1f(x)dx=1，得ω(1)=1，故ω(x)在[0,1]上的图形与x轴所围面积恒为1。二、填空题1.0解析：令y=0，得f(x)=f(x)+f(0)，故f(0)=0。2.1/4解析：由F'(x)=2x∫0^xf(t)dt+x^2f(x)，令x=1，得F'(1)=2∫0^1f(t)dt+f(1)=3，故F(x)在[0,1]上的最大值为max{F(0),F(1)}=max{0,3/4}=3/4。3.0,0,0解析：由f(x)～x^3，得f(x)/x^3→1，故f(0)=f'(0)=f''(0)=0。4.B解析：由f(0)=f(1)，得f(1/2)=f(-1/2)，故必存在两点ξ1=1/2,ξ2=-1/2∈(0,1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)。5.与x轴所围面积恒为1解析：由∫0^1f(x)dx=1，得φ(1)=1，故φ(x)在[0,1]上的图形与x轴所围面积恒为1。6.1解析：令F(x)=f(x)-lnx，则F'(x)=f'(x)-1/x。由f'(x)>0，得F'(x)在(0,+∞)内单调递增。又由F(1)=f(1)-ln1=0，故方程f(x)=lnx在(0,+∞)内有一个根。三、解答题1.证明：令φ(x)=f(x)-x，则φ(0)=f(0)-0=0，φ(1)=f(1)-1=0。由罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得φ'(ξ)=0，即f'(ξ)=1。故f(ξ)=ξ。2.证明：令F(x)=∫0^xf(t)dt-x，则F'(x)=f(x)-1。由∫0^1f(x)dx=1，得F(1)=1-1=0。由F'(x)在[0,1]上连续，得F(x)在[0,1]上连续。由F(0)=0，F(1)=0，得存在ξ∈(0,1)，使得F(ξ)=0，即∫0^ξf(t)dt=ξ。3.解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(x)满足Cauchy方程。令x→0，得f(y)=f(0)+f(y)，故f(0)=0。令y→0，得f(x)=f(x)+f(0)，故f(0)=0。由f(x)/x→2，得f(x)～2x，故f(x)=2x。4.证明：令φ(x)=f(x+1/2)-f(x)，则φ(0)=f(1/2)-f(0)，φ(1/2)=f(1)-f(1/2)。由f(0)=f(1)，得φ(0)+φ(1/2)=0。由罗尔定理，存在ξ1∈(0,1/2)，使得φ'(ξ1)=0，即f'(ξ1+1/2)=f'(ξ1)。故f(ξ1+1/2)=f(ξ1)，即存在两点ξ1,ξ2∈(0,1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)。5.证明：令F(x)=f(x)-lnx，则F'(x)=f'(x)-1/x。由f'