甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026-2027学年高三起点摸底考试数学试卷（含解析）

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点摸底考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义求解即得.【详解】根据题意可得，.故选：D.2.若是，的等差中项，是，的等比中项，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项和等比中项可求答案.【详解】因为是，的等差中项，所以，即；因为是，的等比中项，所以，即，所以.3.若，则z的虚部是（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的四则运算法则结合复数的模即可求解.【详解】由题意得，则，所以z的虚部是.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解.【详解】把双曲线方程化为标准形式，设双曲线实半轴长为，那么，根据双曲线的定义可知，，,又,所以的周长为.5.已知向量，，若，则（）A. B.5 C. D.8【答案】C【解析】【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果.【详解】因为向量，，所以.由于，所以，所以，解得.所以，所以.故选：C.6.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数的性质可知，由三角函数的性质可知，由指数的运算可知，即可得答案.【详解】因为，且，，综上，.7.已知等差数列的前项和为且则的最大值为（）A. B.92C.91 D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列基本量的运算，得到，进而求，结合函数性质求最值即可．【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，因为，所以当时，最大，且最大值为．故选：B．8.已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解.【详解】已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径，由直线和，可知互相垂直且均经过定点，又因为，，所以四边形是一个矩形，且，因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，检验：当三点共线时，，直线的方程为，即，直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为和，结合题意可知应在离较远的一侧，取，此时，，所以，经检验，当时，有最大值为，故A正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C.在区间上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴【答案】ABD【解析】【分析】求出函数的周期判断A；求出平移后的函数解析式判断B；整体代入法判断C，D.【详解】对于A，由题意可得函数的最小正周期为,故A正确；对于B，将的图象向右平移个单位，得，故B正确；对于C，当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在区间上单调递减，故C错误；对于D，因为，当时，，函数取最值，所以直线是曲线的一条对称轴，故D正确.10.已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（）A.B.直线与相切C.的准线方程为D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用弦长公式求出，再逐项判断即可.【详解】设，由得，，，，由，得或（舍去），A正确；由得，方程无实根，则直线与无公共点，即直线与不相切，B错误；抛物线的准线方程为，C错误；，D正确.11.设函数，则（）A.当时，没有零点B.当时，在区间上不存在极值C.存在实数，使得曲线为轴对称图形D.存在实数，使得曲线为中心对称图形【答案】ABC【解析】【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可.【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且.作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确.对B，由题，令，，因为，所以，又，所以，所以，则在上无极值，故B正确.对CD，令，因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上.考虑，当时，，所以关于对称，故C正确.考虑，所以不存在符合题意的常数，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数是______【答案】【解析】【分析】根据二项式展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为令，解得，所以的系数为．13.已知，则_________．【答案】##【解析】【分析】根据题意求出，代入即可求解.【详解】已知，解得，因此.14.市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为___________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用轴截面是等腰梯形，可求出圆台的高，再由外接球球心在轴线上，利用勾股定理可求外接球半径，从而可求得球的表面积；利用圆台斜截面面积的计算转化圆锥斜截面计算，这样就可利用等腰截面的顶角为变量来表示面积，并可判断最大值情形，由此可得轴截面的顶角一定是钝角，再去利用顶角去表示高，从而可求高的取值范围.【详解】当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形，由面积公式可得：，得高，若圆台外接球球心在高的线段上，设圆台的外接球半径，则，解得；若圆台外接球球心在高的线段延长线上，设圆台的外接球半径，则，解得；综上可得球心就是，即外接球的表面积为；如图，将圆台补成圆锥，设圆台的母线长，根据三角形的中位线定理，可得则圆锥母线长为．再任意作截面，设，则圆台的切割面为等腰梯形，且面积．当切割面的面积取最大值时且不经过上下底面圆心时，可知的最大角为钝角．且面积，此时有，设圆台的高为，根据等腰梯形，可知，因为，所以，故．故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C的对边分别为，（1）求角A的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，结合三角和差公式化简得，进而得到即可；（2）由余弦定理得，即，结合，得到，再根据即可求解．【小问1详解】由及正弦定理，得，即，又，，所以，因为，所以；【小问2详解】由余弦定理，得，所以，又，所以，解得，所以．16.有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用三类药物.服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表：A5.25.56.26.56.35.85.46.05.35.8B5.56.05.65.05.76.26.45.95.75.1C5.14.95.35.25.56.25.75.55.85.6已知该生理指标正常范围是.（1）从服用类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率；（2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；；（2）所以变量的分布列为012期望为【解析】【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，得到5人中3人指标正常，2人指标不正常，且变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：设从三组选出1人指标正常分别为事件从组的10个数据为5.25.56.26.56.35.85.46.05.35.8，其中指标正常的有：5.25.55.85.46.05.35.8，共有7个，所以概率为；从组的10个数据为5.56.05.65.05.76.26.45.95.75.1，其中指标正常的有：5.56.05.65.05.75.95.75.1，共有8个，所以概率为；从组的10个数据为5.14.95.35.25.56.25.75.55.85.6，其中指标正常的有：5.14.95.35.25.55.75.55.85.6，共有9个，所以概率为.【小问2详解】解：由5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，可得其中有3人指标正常，2人指标不正常，现从这5名患者中随机选出2人，记为选出的2人中指标不在正常范围的人数，可得随机变量的可能取值为，则，，，所以变量的分布列为012所以期望为.17.如图，在正三棱柱中，点为的中点．（1）证明：平面；（2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论；（2）取中点，构建合适空间直角坐标系，设，并标注出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】连接交于，则为中点，连接，因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图示的空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，，则，因为平面，平面，所以，所以，又，所以，所以，由题意知为平面的一个法向量，又，所以，设直线与平面所成角为，则.18.已知函数，．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）证明：对，有．【答案】（1）（2）证明：设，，求导得，设，，求导得，由函数，在上都单调递减，得在上单调递减，而，，则，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，因此对任意的，，函数在上单调递增，于是，所以对，有.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性证得不等式成立.【小问1详解】由，求导得，则，而，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.【小问2详解】略19.已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，．（1）求E的方程；（2）过点A作的垂线，垂足为M．（ⅰ）证明：直线过定点N；（ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明如下：不妨设，，设，联立，有，可得，，即，易知，直线MB的斜率为，故直线MB的方程可表示为，当时，显然