江苏省南通市启东一中2025-2026学年高二（下）第一次质检数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南通市启东一中高二（下）第一次质检数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.以下求导正确的是（）A. B.（cosx）′=sinx

C. D.（3x）′=x⋅3x-12.已知空间中三个向量，，共面，则实数x的值为（）A.1 B.2 C.-1 D.-23.定义在R上的函数f（x），若，则=（）A.-1 B. C.2 D.44.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则=（）A.

B.

C.

D.

5.f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）A.af（b）＜bf（a） B.bf（a）＜af（b）

C.af（a）＜bf（b） D.bf（b）＜af（a）6.的展开式中的常数项是（）A.352 B.-352 C.1120 D.-11207.已知函数，若函数g（x）=f（x）-3m有4个不同的零点则m的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若，则下列选项正确的有（）A.a1=-4052

B.展开式中所有项的二项式系数的和为22026

C.奇数项的系数和为

D.10.对于随机事件A，B，若，则（）A. B. C. D.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，，则下列结论正确的有（）A.当时，∠APC为直角

B.存在λ∈R，使得BD1⊥平面APC

C.当时，|AP|+|PC|取得最小值

D.当时，顶点B到平面APC的距离取得最大值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则|2++|=

.13.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）=

.14.已知直线是曲线y=alnx+b的一条切线，则a+b的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

（1）在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率；

（2）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.16.(本小题15分)

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，|AB|=|AD|=2，|CD|=4，M为CE的中点.

（1）求证：BF∥平面CDE；

（2）求二面角M-DB-C的正切值.17.(本小题15分)

已知，f（x）在x=1处的切线与x-2y=0垂直，

（1）求实数a的值；

（2）求f（x）在区间[1，e]上的值域.18.(本小题17分)

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点B作BE⊥CD于点E.现将△CBE沿BE翻折到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面ABED.

（1）证明：AD⊥PE；

（2）已知2AB=DE=4，，且A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为O.

①证明：点O在平面ABCD上；

②求AD与平面PAB所成角的正弦值.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-ax.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x＞0时，f（x）≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为5种，故，“女生乙被选中”为事件B，

则，

故；

（2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，

则，

“女生乙被选中”为事件B，，

故．

16.【答案】证明：正方形ADEF中，AF∥DE．

因为AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE．

梯形ABCD中，AB∥CD．

因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．

又AF，AB⊂平面ABF，AF∩AB=A，

所以平面ABF∥平面CDE．

又BF⊂平面ABF，

所以BF∥平面CDE

正方形ADEF中，DE⊥AD，

因为正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以DE⊥平面ABCD．

又CD⊂平面ABCD，所以DE⊥CD．

又AD⊥CD，所以AD，CD，DE两两垂直，

所以以D为原点，以DA，CD，DE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），

因为M为CE的中点，所以M（0，2，1）．

则，．

设平面MDB的法向量为，

则，则，即，

令x=1，则y=-1，z=2，所以．

因为DE⊥平面ABCD，所以平面BDE⊥平面ABCD，即为平面BCD的一个法向量．

则二面角M-DB-C为锐二面角．

设锐二面角M-DB-C的平面角为α，

则，

所以，，

所以二面角M-DB-C的正切值为

17.【答案】2

[3-ln2，3]

18.【答案】证明：因为平面PBE⊥平面ABED，平面PBE∩平面ABED=BE，

又易知PE⊥BE，PE⊂平面PBE，

所以PE⊥平面ABED，

又AD⊂平面ABED，

所以AD⊥PE

①证明：以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，D（0，-4，0），，，

若A，B，D，P在同一个球面上，设球O的半径为R，

则O