2026年陕西省湘教版高一数学第5章数列综合练习题

2026年陕西省湘教版高一数学第5章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√2)^6+(1-√2)^6]=64。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54可得6q=54，解得q=9，又d_1=6/q=2/3，故公比q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)可得f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+...+(f_n-f_{n-1})=2+(log_2(2)-log_2(1))+...+(log_2(n+1)-log_2(n))=2+log_2(n+1)，故f_10=2+log_2(11)=22。选项B正确。7.在等差数列{g_n}中，若g_3g_5=36且g_4+g_6=14，则该数列的公差d等于（）A.2B.-2C.4D.-4解析：由等差数列性质g_3g_5=(g_4-d)(g_4+d)=g_4^2-d^2=36，又g_4+g_6=2g_4+2d=14，解得g_4=7，d=±2。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_6+h_7+h_8+h_9+h_10等于（）A.768B.1023C.1536D.2048解析：h_6+h_7+...+h_10=U_{10}-U_5=3^{10}-1-(3^5-1)=3^10-3^5=1023。选项B正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_100等于（）A.9900B.9901C.10000D.10001解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n可得i_n=1+1/2+1/3+...+1/n，故i_100=1+1/2+...+1/100=10000-1=9900。选项A正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列通项公式j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=10，a_10=25可得10=a_1+4d，25=a_1+9d，解得a_1=0，d=5/4，故a_n=5/4(n-1)=5n-5。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_4=_________。参考答案：33解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，故b_4=4×4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_10=_________。参考答案：665解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n可得c_n=2+3(1+2+...+(n-1))=2+3×n(n-1)/2=3n^2-n+2，故c_10=3×100-10+2=665。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=_________。参考答案：±2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=4，d_4=16可得4q=16，解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_5=_________。参考答案：31解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故e_5=2^5-1=31。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=2f_n+n，则f_6=_________。参考答案：147解析：由递推关系f_{n+1}=2f_n+n可得f_n=3×2^{n-1}+(1+2+...+(n-1))=3×2^{n-1}+n(n-1)/2，故f_6=3×32+15=147。7.在等差数列{g_n}中，若g_3=7，g_7=15，则该数列的公差d=_________。参考答案：2解析：由等差数列性质g_3+g_7=2g_5=7+15=22，解得g_5=11，又g_5=g_3+2d=7+2d，解得d=2。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3n^2-2n，则h_4+h_5+h_6+h_7+h_8=_________。参考答案：210解析：h_4+h_5+...+h_8=U_8-U_3=3×64-16-(3×9-18)=144。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n^2，则i_10=_________。参考答案：1+1/4+1/9+...+1/100解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n^2可得i_n=1+1/4+1/9+...+1/n^2。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的前5项和S_5=_________。参考答案：62解析：由等比数列通项公式j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故S_5=2×(1-2^5)/(1-2)=62。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。解析：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，当n≥2时a_n=4n-5，故该数列不是等差数列。错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=±2。解析：由等比数列通项公式b_4=b_1q^3=16，解得q=2或q=-2。正确。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n可得c_n=2+2(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)，故该数列不是等差数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若d_2+d_5=12，则该数列的公差为3。解析：由等差数列性质d_2+d_5=2d_4=12，解得d_4=6，又d_4=d_1+3d=6，故公差d=2。错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，故该结论不成立。错误。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列是等比数列。解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)可得相邻项之差不为常数，故该数列不是等比数列。错误。7.在等比数列{g_n}中，若g_3g_5=64，则该数列的公比q=±4。解析：由等比数列性质g_3g_5=(g_4)^2=64，解得g_4=±8，又g_4=g_1q^3，故q=±2。错误。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=1，当n≥2时h_n=2^{n-1}，故该结论不成立。错误。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则该数列的前n项和为n(n+1)/2。解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n可得i_n=1+1/2+1/3+...+1/n，故该结论不成立。错误。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=7，则该数列的前6项和S_6=21。解析：由等差数列通项公式j_3=j_1+2d=7，解得d=3，故S_6=6×1+15×3=63。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=10，a_10=25可得10=a_1+4d，25=a_1+9d，解得a_1=0，d=5/4，故a_n=5/4(n-1)=5n-5。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求b_4。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，故b_4=4×4-1=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_3=c_1q^2=8，解得q=±2。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，求d_5。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=1，当n≥2时d_n=6n-5，故d_5=6×5-5=25。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，求e_6。解：由递推关系e_{n+1}=e_n+1/n可得e_n=1+1/2+1/3+...+1/n，故e_6=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=2.45。6.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=18，求该数列的公差d。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5=18，解得f_5=9，又f_5=f_3+2d=7+2d，解得d=1。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，求g_4+g_5+g_6。解：g_4+g_5+g_6=U_6-U_3=63。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，求h_5。解：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n可得h_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+n(n-1)/2，故h_5=1+5×4/2=11。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故S_10=10×2+45×3=155。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的前8项和T_8。解：T_8=8^2+8=72。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式c_4=c_1q^3=81，解得q=3，故S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=120。4.已知数列{d_n}的前n项和U_n=2n^2-3n，求该数列的前7项和U_7。解：U_7=2×49-21=77。5.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，求该数列的前6项和。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n可得i_n=1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)，故前6项和为1+3+6+10+15+21=56。6.在等差数列{f_n}中，若f_2+f_6=20，求该数列的前12项和S_12。解：由等差数列性质f_2+f_6=2f_4=20，解得f_4=10，又f_4=f_1+3d=10，故S_12=6×(f_1+f_{12})=6×(f_4+8d)=120。7.已知数列{g_n}的前n项和V_n=3^n-1，求该数列的前9项和V_9。解：V_9=3^9-1=19682。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+n，求该数列的前10项和。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+n可得h_n=2+1+2+3+...+(n-1)=2+n(n-1)/2，故前10项和为2+1+3+5+...+45=275。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.B6.B7.A8.B9.A10.A二、填空题1.5n12.3313.66514.±215.3116.14717.218.21019.1+1/4+1/9+...+1/10020.62三、判断题1.×22.√23.×24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.×四、简答题1.解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=10，a_10=25可得10=a_1+4d，25=a_1+9d，解得a_1=0，d=5/4，故a_n=5/4(n-1)=5n-5。2.解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，故b_4=4×4-1=15。3.解：由等比数列通项公式c_3=c_1q^2=8，解得q=±2。4.解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2