第五章　培优练7　万有引力与宇宙航行-2027版高考物理一轮复习

培优练7万有引力与宇宙航行[分值：44分][1~11题，每题4分]1.如图所示，某行星绕着一颗恒星运行，轨迹呈椭圆形，Q、M、P、N是椭圆轨道的顶点。则该行星()A.从Q到M所用时间大于M到P所用时间B.在Q点的速度大于P点的速度C.在Q点的加速度大于P点的加速度D.从Q到P机械能不断减小答案A解析根据开普勒第二定律可知，Q到P行星做加速运动，从Q到M的平均速率小于从M到P的平均速率，所以从Q到M所用时间大于M到P所用时间，故A正确，B错误；根据GMmr2=ma，可知加速度大小a=GMr2，由于P点距离恒星更近，故在Q点的加速度小于在P点的加速度，故C错误；从Q到2.我国在太空开发领域走在了世界前列。假设我国航天员乘坐宇宙飞船去探索未知星球，航天员在星球表面竖直上抛一物体，物体运动速度的平方随位移变化的v2-x图像如图所示。设地球质量为M，地球表面的重力加速度g取10m/s2，已知该星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量为()A.1.6M B.6.4M C.M D.0.4M答案A解析由竖直上抛速度位移关系v2=v02-2ax和图像知，该星球表面的重力加速度大小g星=4m/s2，根据万有引力和重力的关系GMmR2=mg，可得M=gR2G，则M星M=g星g(R星R)3.2025年3月17日16时07分，我国在酒泉卫星发射中心使用谷神星一号运载火箭成功将云遥一号55~60星送入预定轨道。“云遥一号”系列卫星将为天气预报、气候监测、空间天气预警等提供数据支撑。该系列某颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r、距离地面的高度为h、运行周期为T。已知引力常量为G，根据以上数据可得地球的平均密度为()A.3πGTC.3πr3答案C解析由万有引力提供向心力有GMmr2=m4π2T2r，地球的密度为ρ=MV=M4.在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的观测范围直径为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时sinθ≈tanθ。则太阳密度ρ可表示为()A.3πGT2(DdC.12πGT2(Dd答案D解析设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有GMmr2=m(2πT)2r，因为太阳密度ρ=M43πR3，由几何关系Rd2=5.已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是()A.质量相同B.密度不相同C.P、Q第一宇宙速度大小之比为1∶2D.同步卫星距星球表面的高度之比为1∶3答案C解析由题图可知，星球P与Q表面的重力加速度大小和半径之比都是1∶2，由天体表面万有引力和重力相等可知GMmR2=mg，可得M=gR2G，则两星球的质量之比MPMQ=18，故A错误；密度为ρ=MV=M43πR3，可得ρ=3g4πGR，故两星球密度相同，故B错误；由GMmR2=mv2R=mg，可得v=gR，则两星球的第一宇宙速度大小之比vPvQ=12，故C6.如图，宇宙中某双星系统是由质量分别为m1与m2(m1≠m2)的两颗恒星组成，它们绕共同的圆心O做匀速圆周运动且保持相对稳定。不考虑其他星体对该双星系统的影响，将每颗星与O点的连线在相同时间内扫过的面积与其运行速率的比值定义为“面积速率”。下列说法正确的是()A.两星运动的轨道半径与质量成反比B.两星的动量大小与质量成正比C.两星的动能与质量成正比D.两星的“面积速率”与质量成正比答案A解析双星系统中两星绕O点做圆周运动的周期T与角速度ω均相等，设两星做圆周运动的半径分别为r1、r2，由万有引力提供向心力有F万=m1ω2r1=m2ω2r2，解得r1r2=m2m1，故A正确；根据v=ωr，则有两星运动的线速度大小之比为v1v2=r1r2=m2m1，解得m1v1=m2v2，即两星的动量大小相等，故B错误；根据Ek=12mv2，p=mv，解得Ek=p22m，可知两星的动能与质量成反比，故C错误；在相同时间t内，两星相对圆心O转过的角度为θ=ωt，与O点的连线扫过的面积为S=12r2θ=12vrt，则“7.人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”，如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时的向心加速度大小与r的关系。已知图乙中R=6400km(地球半径)，r0为地球同步轨道离地心的距离(地球同步卫星高度约为36000km)，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的有()A.太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mgB.随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小C.太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为gD.地球的质量为4答案D解析设地球质量为M，航天员质量为m，航天员所需的向心力Fn=man=m4π2T2r，随着r的增加，航天员所需的向心力逐渐增加，在r=r0时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0；当r<r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，则GMmr2-FN=m4π2T2r，解得FN=GMmr2-m4π2T2r，FN随着r的增大而减小；当r>r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时FN'=m4π2T2r-GMmr2，FN'随着r的增大而增大，故A、B错误；由GMmR2=mg，GMmr02=mg'，解得8.航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是()A.该单摆在地球上的共振频率为f1B.所用单摆的摆长为gC.月球表面的重力加速度为f2D.月球的密度为4答案B解析根据单摆周期公式可得T=2πLg，可得f=1T=12πgL，由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以结合题图可知，该单摆在月球上的共振频率为f1；设月球表面的重力加速度为g月，则有f1=12πg月L，该单摆在地球上的频率为f2=12πgL，所用单摆的摆长为L=g4π2f22，可得月球表面的重力加速度为g月=f12f22g，故A、C错误，B正确；物体在月球表面上，有GM月mr9.两个质量相差悬殊的天体(如地球和月亮)所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在地球与月球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，跟地、月两个大天体保持相对静止。设地球质量是月球的k倍，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距离为d，忽略卫星对月球的引力。下列说法正确的是()A.该卫星绕地球运动周期大于月球公转周期B.该卫星在L2点处于平衡状态C.该卫星与月球绕地球运动的线速度之比为v卫∶v月=L∶(L+d)D.k、L、d的关系式为1(L+d答案D解析该卫星与月球同步绕地球运动，可知卫星绕地球的运动周期等于月球公转周期，A错误；该卫星绕地球做匀速圆周运动，所受的合力为地球和月球对它引力的合力，这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故B错误；由上述分析可得该卫星运动的角速度与月球公转的角速度相等，根据v=ωr，可知v卫∶v月=(L+d)∶L，故C错误；设地球的质量为M，月球的质量为m1，卫星的质量为m2，则对月球有GMm1L2=m1ω2L，对卫星有GMm2(L+d)2+Gm1m2d2=m2ω2(L10.北京时间2025年11月19日12时0分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。卫星的发射过程可简化为三个轨道，如图所示，先由近地圆轨道①进入椭圆轨道②，再调整至圆轨道③。已知近地圆轨道的半径等于地球的半径R，椭圆轨道的半长轴等于地球的直径2R，卫星沿椭圆轨道②运行时，经过P点的速度大小为32gR，卫星质量为m，g为地球表面的重力加速度。忽略地球的自转及卫星变轨时质量的变化且变轨时间极短，除了变轨瞬间，卫星在轨道上运行时均处于无动力航行状态，下列说法正确的是(A.变轨时卫星需要在P点加速，在Q点减速B.卫星沿椭圆轨道运动到Q点时的动能为mgRC.卫星在P点变轨时发动机做的功为mgRD.在轨道①和在轨道③上运行时，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积之比为3∶1答案C解析由题设条件知，卫星在P和Q点变轨时，均是向高轨道变轨，故需要增大速度，使卫星做离心运动，故A错误；根据开普勒第二定律有vPR=vQ×(4R-R)，解得vQ=vP3，卫星沿椭圆轨道运动到Q点时的动能Ek=12mvQ2=12m(vP3)2=112mgR，故B错误；卫星在近地圆轨道运行时mg=mv12R，在P点变轨时，根据动能定理W=12mvP2-12mv12=mgR11.(2025·浙江6月选考·13改编)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为g月，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度φ=60°的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则()A.发射点离月面的高度h=34B.物体沿椭圆运动的周期为3πC.此椭圆两焦点之间的距离为32D.若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度为v答案B解析根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为O，设椭圆的另外一个焦点为O'，如图甲所示，设椭圆的半长轴为a，焦距为2c，根据椭圆知识可知O'M+OM=2a，根据开普勒第三定律a3T2=k可知，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当MO'垂直于OO'时，半长轴