概率论 课件（第6讲：条件概率与序贯概率模型）

第三章条件概率与序贯概率模型CHAPTER1RANDOMEVENTSANDPROBABILITIES中国人民大学龙永红Content目录第6讲

条件概率1第7讲独立性23第8讲序贯概率模型

第6讲条件概率条件概率的定义乘法公式全概率公式贝叶斯公式/01条件概率的定义一、条件概率的引入

唯物辩证法认为事物是普遍联系的，世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体。不同学科都是从不同角度研究不同领域中事物相互联系的规律。

概率论认为，由于事物之间的相互联系，一个事件的发生会包含另外一个事件是否发生的信息，利用这种信息，可以改进事件发生的概率的推断。概率论引入条件概率的概念来描述这一改进的概率。下面的概率问题都是求条件概率的问题：在掷骰子的试验中，如果已知掷出的点数是偶数，那么点数为6的概率有多大？在一批产品中随机抽取一件，发现是甲厂生产的，那么它是次品的概率有多大？天气预报今日某地将出现雷暴天气，那么该地起飞的某航班发生延误的概率有多大？在体检中，发现某人甲胎蛋白含量超标，那么他患肝癌的概率有多大？一、条件概率的引入直观描述

当已知随机现象的某些信息或已知某事件已经发生的时候,我们往往会改变对一个事件的概率的推断.

一、条件概率的引入引例一批产品中甲厂生产的占60%,乙厂生产的占40%,又知甲厂产品的次品率为10%.乙厂产品的次品率为5%，从这批产品中随机抽取一件,

求下列概率：（1）该产品是甲厂生产的概率；（2）该产品是乙厂生产的概率；（3）如果已知该产品是甲厂生产的，它是次品的概率；（4）如果已知该产品是乙厂生产的，它是次品的概率；（5）该产品是次品的概率；（6）如果已知该产品是次品，它是甲厂生产的概率；（7）如果已知该产品是次品，它是乙厂生产的概率；二、古典概型与几何概型中的条件概率1.古典概型

2.几何概型ΩAB

三、条件概率的数学定义

数学定义含义:条件概率P(B|A)度量的是AB相对于事件A发生的相对可能性.则在事件A发生下事件B发生的条件概率定义为ΩAB

例1从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取两次球,(1)已知第一次是黑球,求第二次也是黑球的概率;(2)已知第二次是黑球,求第一次也是黑球的概率;(3)已知取出的两球中有一个是黑球,求另一个也是黑球的概率.四、条件概率的计算

例2一副扑克牌,去掉大小王,一共52张牌.任取两张,计算条件概率：四、条件概率的计算(1)P(两A|有A);(2)P(两A|有红桃A).解:两有两有两且有有两且有一红桃有红桃两有红桃两且有一红桃有红桃例3

一个班中有60%的学生喜欢物理，70%的学生喜欢数学，40%的学生既喜欢物理又喜欢数学，现从班上随机选取一位学生。（1）已知该生喜欢数学，那么他喜欢物理的概率有多大？（2）已知该生喜欢物理，那么他喜欢数学的概率有多大？四、条件概率的计算

这两个概率的含义是，喜欢数学的学生中约有57%喜欢物理，喜欢物理的学生约有66.7%喜欢数学。可见条件概率能够把事件的概率联系（也称统计联系）表达更为清晰。五、条件概率满足概率公理

(1)非负性：

0≤P(

A

|

B)

(2)规范性：

P(Ω

|B)＝1(3)可加性：对两两互斥的事件列A1,A2,…,有六、条件概率的其他概率性质求差公式特别的,求和公式特别的,当A1,A2互斥时，例4七、条件概率性质的应用解析:设

则/02乘法公式一、两个事件交的概率乘法公式乘法公式Ω

条件概率的定义本身给出了由有关的无条件概率计算条件概率的公式。但在有些问题中，特别是针对具有序贯特征的试验建立的概率模型，根据试验的条件容易确定条件概率，反过来，我们可以由条件概率来确定序贯发生的事件（交事件）的无条件概率，

例5练习假设国航飞机准点起飞的概率为90%,而在准点起飞的条件下,准点到达的概率为90%,求国航飞机准点起飞且准点到达的概率.一、两个事件交的概率乘法公式A=“国航飞机准点起飞”B=“国航飞机准点到达”P(AB)=P(A)P(B|A)=90%×90%=0.81练习一批产品中甲厂生产的占60%,又知甲厂产品的次品率为10%.从这批产品中随机抽取一件,

则该件产品是甲厂次品的概率为_______.一、两个事件交的概率乘法公式解:记A="甲厂产品",B="次品",则已知:而所求的概率为注意:区分条件概率P(A|B)与乘积的概率P(AB).二、多个事件交的概率乘法公式

对任意三个事件A,B,C,若P(ABC)>0,则有一般乘法公式注：上述公式中各事件的顺序可以任意交换，实际中选取什么顺序，取决于我们知道或方便得到哪些条件概率

例6

从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求下列事件的概率:(1)第三次才取到黑球;

(2)前三次取到黑球.二、多个事件交的概率乘法公式思路:先引入简单事件,再用简单事件的概率求目标事件的概率.分析:记Ai="第i次取到黑球",

i=1,

2,

3.

则例6

从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求下列事件的概率:(1)第三次才取到黑球;

(2)前三次取到黑球.二、多个事件交的概率乘法公式解:记Ai="第i次取到黑球",i=1,2,3.

则(1)所求概率为(2)所求概率为三、乘法公式的应用

分组问题.现有4位数学学院学生和12位经济学院学生，随机分成四个组去开展乡村调查，每组4人。求每组分到一位数学学院学生的概率。例7

三、乘法公式的应用

分组问题.现有4位数学学院学生和12位经济学院学生，随机分成四个组去开展乡村调查，每组4人。求每组分到一位数学学院学生的概率。例7/03全概公式一、全概公式的引入引例1抽签公平性从装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求第2次取到黑球的概率.分析：记B=

"

第2次是黑球",思路一：引入古典概型Ω，将B表为子集直接求概率P(B)思路二：将第二次取球的事件根据第一次取球的不同结果分解为不同情况,再综合得到第二次取球的事件的概率。

引例2

（混装良品率）A国进口商进口一批某型号的手机，原产地I占45%，原产地V占35%，原产地为C占比20%，已知产自I的手机良品率为80%，产自V的手机良品率为90%，产自C的手机良品率为98%，现从这批手机任意抽取一件进行质量检测，求它是良品的概率。一、全概公式的引入算术解法C原产地占比良品率良品占总品比例I45%80%V35%90%C20%98%合计100%87.1%引例2

（混装良品率）A国进口商进口一批某型号的手机，原产地I占45%，原产地V占35%，原产地为C占比20%，已知产自I的手机良品率为80%，产自V的手机良品率为90%，产自C的手机良品率为98%，现从这批手机任意抽取一件进行质量检测，求它是良品的概率。一、全概公式的引入

概率视角与解法

二、全概公式定理1：对任意两个事件A和B,若0<P(A)<1,则有

情况描述条件概率权数：情况发生的概率情况1情况2例2【赌徒输光问题】

甲乙赌博,赌本一共N元,甲的赌本为i元,乙的赌本为N-i元,0≤

i

≤N.毎次赌博,甲以概率p贏1元,以概率q=1-p输1元,各局相互独立.假设当其中一方输光时赌博停止,求甲最終贏得全部赌本的概率.二、全概公式

A=“第1局甲赢”.

例2【赌徒输光问题】二、全概公式

三、全概公式一般形式

三、全概公式一般形式定理2：

所以,利用求和公式,有

四、全概公式的结构

例3设华为手机玻璃盖板由星星科技、蓝思和比亚迪三家供货,分别占比50%、20%和30%,各家的次品率分别为2%、4%和3%.

现把各家供货混合,随机抽一块盖板,求其为次品的概率.五、全概率公式应用举例例3五、全概公式应用举例2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=

“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,

A3=

“抽中比亚迪产品”.例3五、全概率公式应用举例2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=

“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,

A3=

“抽中比亚迪产品”.五、全概公式应用举例练习甲拿20万和乙拿10万用一枚均匀骰子赌单双:如果开出是单,甲赢10万;

如果是双,乙赢10万.赌局一直进行,直到有一方输光.请问甲最终获胜的概率有多大?分析:令B="甲最终获胜",A="第一局甲赢",五、全概公式应用举例练习甲拿20万和乙拿10万用一枚均匀骰子赌单双:如果开出是单,甲赢10万;

如果是双,乙赢10万.赌局一直进行,直到有一方输光.请问甲最终获胜的概率有多大?解:

令A=“第一局甲赢”,B=“甲最终获胜”,则从上式可解得,综上,甲最终获胜的概率为五、全概公式应用举例练习假设有位老师想估算某位学生《概率统计》考试及格的概率.根据他多年的教学经验,

他知道学习认真者考试及格的概率为97%,

而不认真者考试及格的概率为30%.同时,他觉得这位学生学习认真的概率为70%.请问这位老师能确定这位学生考试及格的概率吗？解:令A="学习认真",

B="考试及格",则已知的是而所求的概率为/04贝叶斯公式一、一个简单例子中的直觉

二、直觉的形式化

三、贝叶斯公式：问题与结构

例1六、贝叶斯2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=

“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,

A3=

“抽中比亚迪产品”.已知抽取的是次品,问此次品最可能来自哪家？四、贝叶斯公式与因果推理

8.5/贝叶斯推断举例

例2五、贝叶斯推断举例（假阳性之谜）一种检测方法用于对某种罕见病的检查，如果受检者患有该病，其检测结果为阳性的概率为0.95（称为患者检出率，也称检测敏感性）；如果受检者未患这种疾病，其检测结果为阴性的概率为0.94（称为非患者检出率，也称检测特异性），从而，未患该病的受检者被检测为阳性的概率为0.06（称为假阳性）。现在假设某一人群中患有这种病的概率为0.001，并在这个人群中随机抽取一个人进行检测，检测结果为阳性，那么这个人真的患有这种病的概率有多大？例3

五、贝叶斯推断举例

例3在现实生活中，如何对待检测结果是一个大的问题。典型地，存在以下几个误解：（1）公众往往把类似于本例中的患者检出率0.95当作检测为阳性的人患有这种病的概率。（2）人们也通常把本例中检测的假阳性概率0.06当作检测为阳性者的假阳性概率。（3）实际中常有把检测为阳性者中实际患病的比率作为检测水平和检测能力的衡量。问题：本例中十分精确的检验方法为什么没有产生高的检验结果可信度（检验为阳性者实际患病的概率很低，本例为1.56%）呢？在现实中如何提高医学检测结果的可信度呢？结果显示，尽管这一检测方法已十分精确，然而，一个经检测为阳性的人仍然不太可能患有这种疾病（检测阳性者患有该疾病的概率仅为1.56%）。六、贝叶斯信息推理

例4

（取球问题与信息推理）

六、贝叶斯信息推理

例4（取球问题与信息推理）

六、贝叶斯信息推理

例4（取球问题与信息推理）

简要总结:全概率公式与贝叶斯公式1.有相同的前提条件:事件列A1,A2,···,An构成一个样本空间的分割,即2.有相同的已知信息:3.有不同的问题提法:全概率公式贝叶斯公式拓展例5一起夜间交通事故，事故后肇事车辆逃逸。经取证确认肇事车辆是一辆出租车，有目击证人作证说肇事车辆是红色出租车。在与出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度,并得出结论,在80%的时间里,

目击者能正确识别两种颜色,20%的时间里不能.你能据此确定肇事车辆是红色的概率吗？如不能还需要哪些信息？比如，本市出租的颜色都是蓝色和红色，比例分别为85%和15%。85%15%夜间一车撞人逃逸据专家现场分析,夜间正确识别车颜色的概率为80%.拓展例5解:设A={红色肇事},B={蓝色肇事},C={目击者说是红色},

则有P(C

|

A)=0.8,P(C

|

B)=0.2,P(A)=0.15.由贝叶斯公式得:拓展例6

A、B和C被关在一个监狱里,他们中有一个被处死另外两个被释放,也就是说每个人有1/3的概率被处死.监狱的看守是唯一知道这三人中谁会判死刑,哪两位会获释的人.现在A给他母亲写了一封信,想要B和C中能获释的把信带给他母亲.当A问看守他应当把信交给B还是C时,这位看守是一个富有同情心的人,感到他正面临两难境地：

如果他把某位将要获释的人告诉A,那么,他认为A就会有1/2的概率被判死刑,因为或者A,或者余下的那人一定被处死.如果他隐瞒这信息,A的被处死的概率仍是1/3.

现问看守的担心是否正确?因为A已经知道B和C两人中一定有一人会获释,他被处死的概率怎么可能会因他知不知道这个人是谁所影响?拓展例6答案是：A被处死的概率不变,而这位看守的担心是错误的.即使把将会获释的人告诉A,A被处死的概率仍然是1/3,但是,另外一个人被处死的概率变为2/3.怎么可能会这样呢?我们先给出一个直接的解法（列举法），看下表：拓展