概率论 课件（第一讲：导论）

概率论与数理统计中国人民大学数学学院概率统计教学团队ProbabilityandStatistics导论01/教材与配套辅导书概率论与数理统计第四版中国人民大学龙永红主编

高校经济管理学科数学基础面向21世纪课程教材“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材高等教育出版社概率论与数理统计中的典型例题分析与习题第三版中国人民大学龙永红主编《概率论与数理统计》第四版的配套辅导书高等教育出版社01/教材与配套辅导书概率论与数理统计(第5版)英文版

ProbabilityandStatistics（FifthEdition)德沃尔（JayL.Devore)著高等教育出版社

课外阅读参考02/阅读参考教材深度拓展学习参考概率论及其在投资、保险、工程中的应用英文版

Probability:TheScienceofUncertaintyWithApplicationstoInvestment,Insurance,andEngineering比恩(MichaelA.Bean)

著机械工业出版社02/阅读参考教材03/推荐读物

培养良好的听课习惯：04/学习建议在课堂上努力跟上教师的进度和思维,积极参与,勤于思考，勇于提出问题，积极回答问题，形成与教师的良性互动,提升课堂学习效率.

培养良好的复习习惯：04/学习建议及时复习每堂课的内容,对重要内容不仅要知其然和知其所以然,要善于从整体出发思考这些内容出现的必然性,前后内容相互联系和逻辑演进，要在复习中深入思考、自主探究、敢于试错，提升提出问题的能力.

培养良好的作业习惯：04/学习建议及时独立完成作业.作业的目的巩固所学内容的,也是深化理解知识内涵，拓宽思维视角，培养独立自主思考的重要途经，及时完成往往能达到事半功倍的效果;作业也是师生进行交流的重要渠道,只有独立完成才能反馈真实信息,否则会误人误己.05/引言—理解两类现象两类现象确定性现象能准确预知其结果的现象不确定性现象不能准确预知其结果的现象伽利略铁球实验：在比萨斜塔上同时抛下两个大小不同的铁球同时落地.一个铁球从已知高度垂直下落到达地面的时间是确定的？还是不确定的？如果是一片羽毛呢？富兰克林说：人的一生只有死亡和税收是不可避免的？毛泽东主席说：人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛.拉普拉斯说:生活中最重要的问题实际上多半是概率问题，严格来讲，人们甚至可以说几乎所有的知识都是或然的.05/引言—理解两类现象评述1：许多确定性现象往往是在给定理想条件下人们对自然规律的认识，在现实中，理想条件受其他因素干扰而破坏，影响程度及人们对结果精度的要求决定了我们将其视为确定性现象还是随机现象.评述2：一定意义上，现实世界中确定性现象是相对的，不确定性现象是绝对的，这既依赖于我们掌握的所考察的现象的知识、信息，也依赖于我们对结果及其测量的精度要求.评述3：不确定性和变化使得世界丰富多彩，使得我们生活更加趣味盎然，更使得我们满怀热情去探究未知，创造更美好的生活，但另一方面，不确定性也会给我们带来意想不到的损失甚至灾难.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！赌博是人类最古老的休闲活动，或许在远古时代就考虑过概率的基本思想，至少在经验层面对概率计算有直觉的、模糊的认识.在许多古老文明中都发现骰子，它们非常可能用于占卜或者赌博，不幸的是关于如何玩这些各式各样的赌博游戏，以及是否存在其中的各种可能性的计算，没有文字记录.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！基于不确定性事件的概率上的考虑用于实际决策，最早的文字记录可上溯到纪元之初的犹太文献，这些文献是关于各种犹太法律的应用.在记录犹太教士关于犹太律法解释方面的所作的讨论的犹太法典中，有关于由已知概率的事件，确定其复合事件概率的加法法则和乘法法则的应用.在与大自然的抗争中，在古代，人们就萌生了保险的思想和原始形态的保险方法.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！例1（犹太法典中的婚姻契约）：契约规定如果丈夫与妻子离婚或早于妻子去世，他必须支付给妻子的金额.另一方面如果妻子先去世，丈夫可以继承她的全部财产.妻子对这个契约享有的权利可以出售.问题是：这一权利可以出售多少钱？例2（罗马法律）：有关于终身年金的适当定价，继承的权利、海事贷款的讨论，但没有给出数值计算方面的记录.07/概率论的开端不太正经的发端——赌徒的好奇心！

赌徒梅勒（ChevalierdeMéré）向数学家帕斯卡(法)提出了一个令他苦恼很久的问题：

两个赌徒相约赌博，谁先赢满s局就算谁赢，赢者得到全部赌本。现在一个人赢了a局，另一个人赢了b局，其中a<s,b<s,赌博因故终止，问赌本该如何分配才合理？

帕斯卡将这一问题和他的解答寄给了费马(法)，此时的时间是1654年7月29日.

惠更斯（荷）到巴黎时听说了帕斯卡和费马通信的事，企图自己来解决这一问题，结果写成《论赌博中的计算》一书，时间是1657年.07/概率论的开端概率论最早的著作：《论赌博中的计算》——惠更斯Pascal

1623-1662Fermat

1601-1665Huyg(h)ens1629-169508/分赌本问题的思考

历史上曾有人认为上述问题的解是：按照已赢的局数来分赌本，即按照a:b的比例分配，甲得赌本的a/(a+b)，乙得赌本的b/(a+b),你认为合理吗？也有人提出按照还需要赢的局数的反比例：(s-b):(s-a)来分配，你认为合理吗？08/分赌本问题的思考2.假设甲、乙进行一局赌博，假设甲赢的机会是乙的3倍，赢者拿走全部赌本T，问在赌博前，甲乙各自“有望”（期望）得到多少赌本？赌博因故未能进行，赌本该如何分配才是合理的？甲期望得到赌本3T/4,甲期望得到赌本T/43.对甲、乙而言，下列情况，其各自面临的境况是否相同？在先赢满两局者胜的规则中，甲乙比分为1:0时在先赢满三局者胜的规则中，甲乙比分为2:1时在先赢满十局者胜的规则中，甲乙比分为9:8时为赢得全部赌本，甲还需要赢一局，乙需要赢两局08/分赌本问题的思考评述1：决定赌本分配的是剩余的总局数以及规则言明的每个玩家获得全部赌本需要赢的局数，而这种决定关系则基于未来赢得全部赌本之机会（概率）.评述2：因而赌本分配问题中，甲乙各分得赌本的比例由假设的剩余赌博中“甲在乙赢满(s-b)局之前先赢满(s-a)局”的概率:“乙在甲赢满(s-a)局之前先赢满(s-b)局”的概率所确定.09/赌本分配问题求解举例甲赢乙赢第4局第5局甲赢乙赢

设甲乙各自拿本金50个金币参与赌博，约定谁先赢3局可得到所有金币.已知前3局甲赢了2局，

乙赢了1局，但因故赌博终止，问总赌本100个金币应如何分配.

10/概率论的发展简史早期研究——18世纪特点：缓慢、断断续续，问题较具体、理论发展少，方法主要是组合推理，感兴趣的数学家很少.重要成果：1713年，贝努利《猜度术》，贝努利定理，大数定律的最早形式1718年，德莫弗《机会的学说》，德莫弗-拉普拉斯定理的特殊形式，中心极限定理的一部分1764年，贝叶斯去世三年后，其临终前完成的论文发表，主要考虑从观察数据确定概率，现在被称作贝叶斯定理10/概率论的发展简史发展的19世纪特点：沿袭确定概率的方向，系列的统计方法及其基础性概率理论成果产生，分析（微积分）方法普遍使用.重要成果：◆拉普拉斯：1812年,《概率的解析理论》，数学上严格化的初次尝试，提出了概率的古典定义，正态规律的推导◆高斯：奠定了最小二乘法和误差理论的基础，正态分布，亦称高斯分布◆泊松：推广大数定律，引入重要的泊松分布◆切比雪夫：大数定律的创建者之一◆马尔可夫：独立随机变量和，古典极限理论，推广大数定律和中心极限定理11/概率论的现代化迈入现代化的20世纪初19世纪末到20世纪初，以切比雪夫、马尔科夫、李雅普诺夫师徒为代表的彼得堡学派把概率论推到现代化的门槛，后由学派后继者柯尔莫哥洛夫的概率公理化推进数学主流.马尔科夫：随机过程开创者，马尔科夫链1933年，柯尔莫哥洛夫，《概率论的基础》建立了概率论的公理化体系.11/概率论的现代化金融数学的先驱——LouisBachelier

在1900年，索邦大学的学生LouisBachelier提交了其博士论文“ThéoriedelaSpéculation”(投机理论)，指导老师是法国大数学家HenriPoincaré.

论文预见了许多当今金融理论和概率论后续的主要发展.巴舍利耶的文章的三个主要方面：他认为在纯粹投机市场中的股票价格是纯随机(Random)的发展了布朗运动的数学理论计算了几个期权的价格12/概率论的发展阶段总结萌芽时期(1654年之前)主要手段:数据统计，主要涉及保险、赌博、占卜等实际问题古典概率论时期(1654—1812)主要手段：排列组合方法,主要研究离散型随机变量,标志性著作是1657年惠更斯的《论赌博中的计算》近代概率论时期(1812—1933)主要手段：微积分等分析方法,以研究连续型随机变量为主;

标志性著作是1812年拉普拉斯的《分析概率论》现代概率论时期(1933年之后)主要手段：以集合论和测度论成果为基础，建立概率论的公理化体系;标志性著作是1933年拉柯尔莫戈洛夫的《概率论的基础》概率论萌芽古典概率论惠更斯《论赌博中的计算》1657近代概率论拉普拉斯《分析概率论》1812现代概率论柯尔莫戈洛夫《概率论基础》193316541812193313/概率论与数理统计的关系(1)数理统计：从样本的特征推断总体的特征总体样本概率论数理统计概率论：从总体的特征导出样本的特征假设我们认为“90年代出生的人有生二胎意愿的占60%”，那么我们可能会问：随机调查100位90年代出生的人，至少有70人有生二胎意愿的可能性有多大？或者问：我们预期100人的样本中预期有多少人有生二胎的意愿？概率论问题假设我们调查获得100位90年代出生的人的样本，其中有65人有生二胎意愿，那么我们可能会问：这一样本信息能否提供潜在证据支持我们做出“90年代出生的人中有超过50%的人有有生二胎的意愿？统计推断问题

概率论、数理统计均为研究不确定性现象（也称随机现象）的学科，它们沿着“逆向而行”的方向揭示包含在不确定性现象中的统计规律，相互对照、相互支持

构成不确定性科学的整体.13/概率论与数理统计的关系(1)数理统计：从样本的特征推断总体的特征概率论：从总体的特征导出样本的特征

概率论、数理统计均为研究不确定性现象（也称随机现象）的学科，它们沿着“逆向而行”的方向揭示包含在不确定性现象中的统计规律，相互对照、相互支持

构成不确定性科学的整体.概率论研究随机现象一般规律，为随机性规律的定量描述提供逻辑体系和规则。数理统计研究如何收集、处理数据，并从实际数据出发针对不确定性对象做出合理判断。提供理论支撑提供分析框架概率论数理统计提供实际判断提出理论需求总体样本概率论数理统计

跟整个数学学科一样，尽管许多学者处于学科内在的兴趣进行纯粹的概率论研究，不断完善和推动概率论学科的发展，但概率论的诞生和许多持续不断的重要发展来自于数学以外的实际问题的动机.

事实上费马那个时期以来，概率论的发展受到赌博、人口统计、保险、遗传学、量子物理等等领域研究的极大影响.

另一方面，概率论自身无论对经济学还是工程都具有深刻的影响，或许可以说，在过去200年的世界历史中，概率论扮演着重要角色.例如：

海事保险使得海运托运人免除对海难导致破产的担心，从而促进了商业海运业大规模发展，进而奠定了19世纪英国的经济和政治的优势地位，也促进了国际贸易的发展.14/概率论的应用

如今，概率论已广泛应用于工程、金融、医学、气象、管理等领域.例如：

工程应用：概率论用于对测量及其变化的不确定性的量化，用于描述和分析系统的寿命（可靠性）并帮助工程师设计成本有效的且可靠的系统，生产过程中的质量控制，分析和设计含有多服务窗口和多顾客的等待服务系统的排队论.

精算科学：主要分析未来不确定性事件所产生的财务后果.特别是分析大的不可预见的损失对财务产生的负面影响，设计缓冲这些损失造成的有害影响.

金融工程：这是一个较新并快速发展的学科，主要聚焦于金融市场的风险分析以及管理这些风险的产品与技术的设计.14/概率论的应用15/概率的经验基础——统计规律性概率论把具有统计规律的不确定现象称为随机现象，并以此为研究对象。随机现象不确定性现象无法准确其结果抛掷一枚，将出现正面还是反面？确定明天是否会下雨？某只股票明天收盘价会是多少？某新型号手机今年的销量是多少？许多不确定性现象大量重复出现时其结果表现出量的规律性不确定性统计规律性抛掷一枚均匀硬币很多次，出现正面和反面次数大致相同；天气预报显示明天降水概率为30%。

历史上研究随机现象的规律性的最著名的试验是抛硬币试验，大量重复抛掷时，发现出现正面和反面的次数大致相当，即出现正面的次数占抛掷的总次数的比例（即频率）与出现反面次数占抛掷的总次数比例均大致为0.5。试验者德摩根(DeMorgan)

2048

10610.5181蒲丰(Buffon)

404020480.5069皮尔森（PearsonK)

1200060190.5016皮尔森（PearsonK)

24000120120.500515/概率的经验基础——统计规律性频率的稳定性体现了概率的客观存在，是一个特定随机现象的特定事件的内在属性。对于特定的随机现象，一个特定事件的概率是一个固定值，不因随机试验而改变。频率是概率在随机试验中的外在表现，是对概率的实际测量，大量重复试验得到的频率近似于概率，频率是概率的估计。每做一组试验，频率会变，即估计会变，概率却永远不变。

概率的频率解释也称为客观解释16/概率的频率解释16/概率的频率解释

考虑抛掷一枚硬币，在没有任何抛掷这枚硬币的历史数据情况下，只能作出正面朝上的概率在0到1之间这一结论。

如果被告知已进行1000次抛掷中观察到有550次正面朝上，对正面朝上的概率做出一个估计：55%，但这只是一个估计，真实的概率还是不知道的。

假如进一步被告知，另外做的1000次抛掷中观察到510次正面朝上，重新将概率估计为53%（2000次抛掷中共出现1060次正面朝上），同样，真实的概率仍然是未知的。释例17/概率的贝叶斯解释主要观点与概率的频率解释相反，将概率视为对个人信念的度量，这一观点被称作概率的贝叶斯解释或主观解释。即使基于同一组试验数据，对于同一个事件，不同的人可能会设定不同的概率概率会随时间变化而变化，以反映新的信息以及个人意见的变化。17/概率的贝叶斯解释

在不知晓抛掷给定的硬币的任何历史数据情况下，贝叶斯主义者可能感觉硬币正反两面是对称的，于是他的信念：出现正面的概率为50%.

如果被告知已进行的1000次抛掷中观察到有550次出现正面，会认为出现正面的概率接近55%，原先对概率的信念是不正确的。

假如进一步被告知，另外再做的1000次抛掷中观察到510次出现正面，那么会认为出现正面的概率接近53%，而不是原先认为的接近55%.

抛掷硬币出现正面的概率不是固有的常数，而是随时间变化的量以反映试验提供的信息和由此产生的新的看法。释例18/贝叶斯解释还是频率解释？

持主客观两种不同观点的概率学家之间一直存在争论，而且不同时间阶段，两种观点分别在学术界占据主导地位。

随着概率论面向日益广泛的实践应用，两种观点各自表现出不同优势和局限。

如今一个普遍的认识是，针对不同的实际问题的不同特征，往往需要采用不同的概率解释，而且经常需要联合使用贝叶斯方法和频率方法。19/概率模型构成的三要素

概率论通过概率模型来对随机试验结果的可能性进行量化和推断。作为随机现象的数学描述，概率模型需要遵循一个一般性框架，并具有自身的一般性逻辑体系。19/概率模型