2026年秋高一数学中档题专练专题 2-2 基本不等式【九大题型】（解析版）

专题2-2基本不等式（1）

基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型

高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；

高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”

高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”

模块一知识点与重点题型梳理

【题型1】直接利用基本不等式求最值

【题型2】凑配法求最值

【题型3】分离常数法求最值

【题型4】“1”的妙用：乘“1”法

模块二解题技巧突破

【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换

【题型6】二次比一次型换元法求最值

【题型7】分母换元法（1）：单换元

【题型8】分母换元法（2）：双换元

【题型9】和，积，平方和之间的转化

模块三【课后作业】

模块一知识点与重点题型梳理

【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，当且仅当ab时，等号成立．其中，叫作a，b的算

22

术平均数，ab叫作a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．

ab

基本不等式：若a，bR，则ab（或ab2ab），当且仅当ab时取等号

2

2

aba2b2

常用不等式：若a，bR，则ab，当且仅当ab时取等号；

42

方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等

式来求最值

【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（）

11

A．有最大值为1B．有最小值为1C．有最大值为D．有最小值为

22

【答案】C

11x2y11

【解析】x>0，y0，且x2y2，xyx2y()2（1）2，

22222

11

当且仅当x2y1，即x1，y时，取等号，故xy的最大值是：，故选：C．

22

【例题2】已知a0,b0,ab3，则ab的最大值为．

9

【答案】

4

2

ab9

【解析】a0,b0,ab3，由不等式可知ab，

24

39

当且仅当ab时等号成立，即ab的最大值为.

24

【例题3】已知正数a，b满足a24b216，则ab的最大值为．

【答案】4

【解析】因为a24b21624a2b24ab，所以ab4，

当且仅当a2b22时，等号成立．故ab的最大值为4．

14

【例题4】若x0，y0，10，则xy的最小值为______．

xy

4

【答案】

25

14444414

【简析】102525xy，当且仅当，即x0.2,y0.8，

xyxyxyxy25xy

等号成立.

14

【巩固练习1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）若x0，y0，且xy4，则的最小值

xy

为.

【答案】2

【分析】利用基本不等式，可得答案.

14414

【详解】由x0,y0，则22，当且仅当，即x1,y4，等号成立.

xyxyxy

14

所以的最小值为2.

xy

【巩固练习2】若a0，b0，且a4b1，则a216b2的最小值是________

【答案】1

2

2

【详解】a216b224ab，则2a216b2a216b224aba4b，

2

a4b11

所以a216b2，当且仅当a4b时，等号成立，

222

所以22有最小值1

a16b2

1

【巩固练习3】若x0,则2x的最小值是;此时x的值为.

x

【答案】4;1

111

【解析】因为x0，所以2x2+2x4，当且仅当x，即x1时等号成立.

xxx

1

故2x的最小值是4，此时x的值为1.

x

【巩固练习4】已知x0，y0，且x2y1，则2x4y的最小值是________

【答案】22

xy1

【详解】由于20,40，所以2x4y22x4y=22x2y22，当且仅当x=2y=时等号成立

2

【题型2】凑配法求最值

配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

常见的配凑法求最值模型

nn

(1)模型一：mx2mn(m0,n0)，当且仅当x时等号成立；

xm

nnn

(2)模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，当且仅当xa时等号

xaxam

成立

1

【例题1】若x2，则x的最小值为.

x2

【答案】0

1

【解析】由x2，得x20，0，

x2

111

所以xx222(x2)20，

x2x2x1

1

当且仅当x2即x=1时等号成立.

x2

【例题2】已知，则的最小值是（）

8

�>22�+�−2

A．6B．8C．10D．12

【分析】利用基本不等式性质求解即可.

【详解】因为，所以

所以�>2�−2>0，

88

当且仅2�当+�−2=2�−2，+即�−2+4时≥，2等16号+成4立=．12

8

所以2�的−最2小=值�−为2.�=4

8

2�+�−21216

【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知x(0,5)，则x的最小值为（）

5x

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】运用基本不等式计算即可.

161616

【详解】由题意得5x0，则x5x525x53，

5x5x5x

16

当且仅当5x，即x1时，等号成立．

5x

16

故x的最小值为3．

5x

1

【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当x2取得最小值时，x（）

x21

A．0B．1C．1D．1

【答案】A

【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最

小值时的情况.

11

【详解】将x2变形为x211.

x21x21

1

设tx21（t1），那么式子就变为t1.

t

111

根据均值不等式则t2t2，当且仅当t时等号成立.

ttt

1

由t（t1），即t21，解得t1（t1舍去，因为tx211）.

t

当t1时，也就是x211，那么x20，所以x0.

1

当x2取得最小值时，x0.

x21

9

【巩固练习2】已知实数x＞3，则4x的最小值是（）

x3

A．24B．12C．6D．3

【分析】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．

99

【详解】解4�：+∵�−x3＞=3，∴x﹣3＞+0�−，3+

4（x﹣3）12≥12+224，

999

当4�且+仅�−当3=4x﹣12+时�−，3取+得最小值42(4�．−3)×�−3=

9

�−3

=4

【巩固练习3】3x2（x0）的最小值为．

x1

【答案】431

【解析】因为x0，所以x11，

444

所以3x23x3123x11431，

x1x1x1

422

当且仅当3x1时，即x1时，等号成立，

x13

【题型3】分离常数法求最值

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

例1：yx2x1x2x1x124（x>0）

xxxx

2x2x222

例2：y2x2x12x12

x1x1x1x1

2x2

【例题1】若x1，则函数yx的最小值为（）

x1

．4．5．7．9

【A答案】CBCD

【解析】因为x1，所以x10，

2x14444

所以yx2x2xx2x132x137，

x1x1x1x1x1

4

当且仅当x1，即x3时取等号，

x1

所以函数yx2x2的最小值为7；故选：C

x1

x24

【例题2】的最小值是______.

x21

【答案】23

22

x4x13323

【详解】x2123，当且仅当x1时，即

x21x21x21x21x21

x2时取等号

x2y27

【巩固练习1】已知x2，y0，2xy3，则的最小值为（）

x2y

．4．6．8．10

【答案】B

ABCD

【分析】将已知条件等式化为2x2y7，整体代入结合基本不等式即可得解．

【详解】因为x2，y0，2xy3，所以2x2y7，x20，

x2y27x2y22x2y2y2x22y2x2

所以2226，

x2yx2yx2yx2y

17x2y27

当且仅当x2y，即x，y时等号成立，即的最小值为6，故选：．

33x2y

B

3t3

【巩固练习2】已知t0，则t的最小值为.

2t1

【答案】31

【解析】因为t0，

33

2t1

3t332t1

所以t22t1

2t12t122t12

32t1

1213，

22t12

32t131

当且仅当，即t时，等号成立.

22t122

3t3

所以t的最小值为31.

2t1

a22

【巩固练习3】已知aR，则的最小值是______，此时a=______．

a21

【答案】2；0

2

a221

【分析】化简a1，根据基本不等式求解即可.

a21a21

【详解】显然，a210，

a2211

则，a212a212，

a21a21a21

21

当且仅当a1，即a0时，等号成立.

a21

a22

所以，的最小值是2，此时a0.

a21

【题型4】“1”的妙用：乘“1”法

方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运

用基本不等式的条件，即积为定值．

主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，

再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件．

12

【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足a2b1，则的最小值是________

ab

【答案】9

12122b2a2b2a2b2a1

【详解】()(a2b)5529，当且仅当ab时等

ababababab3

号成立

【例题2】已知x0,y0且x2yxy，则x2y的最小值是．

【答案】8

【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．

21

【详解】因为x2yxy，所以1，

xy

21x4yx4yx4y

所以x2yx2y22428，当且仅当，即x4,y2时

xyyxyxyx

取等号．所以x2y的最小值为8

11

【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知x0,y0，且2y1，则2x的最小值为（）

xy

A．4B．421C．6D．8

【答案】D

11

【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当x2,y时，2x的最小值为8.

4y

1

【详解】由2y1可得：

x

111111

2x2y2x24xy244xy424xy8；

yxyxyxyxy

11

当且仅当4xy，即当x2,y时，等号成立.

xy4

1

即2x的最小值为8.

y

【例题4】已知a0，b0，且abab，则2aba7b的最小值是（）

A．6B．9C．16D．19

【答案】C

11

【解析】因为abab且a0，b0，所以1，

ab

119ba9ba

则2aba7b2aa2b7ba9ba9b1021016，

ababab

9ba

ab4

当且仅当时，即当a4，b时，等号成立.

113

1

ab

因此，2aba7b的最小值是16.故选：C.

121

【巩固练习1】已知x0，y0，且x2y，则的最小值为．

2xy

【答案】16

21218y2x8y2x

【解析】2x2y88216,

xyxyxyxy

8y2x1121

当且仅当时等号成立.即当x,y时，取得最小值为16.

xy48xy

x4y

【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知x,y0,，且x2y2，则的最小值

xy

是.

【答案】223

x4y14

【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

xyyx

x4y14

【详解】因为x,y0,，且x2y2，所以

xyyx

1141x8yx8y

x2y33223，

2yx2yxyx

x8y

当且仅当，即x422，y21时取等号.

yx

33

【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足2y1，则2x的最小

xy

值为（）

A．36B．24C．18D．12

【答案】B

【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得.

3

【详解】因x0,y0，2y1，

x

33399

则2x2x2y124xy1224xy24，

yyxxyxy

91

当且仅当4xy，即x6，y时，等号成立．

xy4

11

【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知xy3，且x0，y0，则的最小值

xy1

是（）

1

A．1B．2C．D．

222

【答案】A

1

【分析】由xy3，可得xy11，利用1的代换结合基本不等式求出最小值．

4

1

【详解】xy3，xy14，xy11

4

111111y1x1y1x

xy12221

xy14xy14xy14xy1

xy3

x2

当且仅当y1x，即时取等号.

y1

xy1

33

【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知a0，b0，且2b2，则2a的最小值

ab

是.

【答案】12

【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果.

【详解】根据题意可知：

31331919

2a2b2a64ab61224ab12；

b2ab2ab2ab

91

当且仅当4ab，即a3,b时，等号成立；

ab2

3

因此2a的最小值是12.

b

模块二解题技巧突破

【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换

方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目

的．

1a

【例题1】已知a0，b0，ab1，则的最小值为．

ab

【答案】3

1a

【分析】利用基本不等式求得的最小值．

ab

1aabababa

【详解】依题意1123．

abababab

1

当且仅当ab时等号成立．

2

21

【例题2】已知实数x，y0满足xy1，则的最小值为（）

xxy

．6．4+22．4+23．8

【答A案】CBCD

【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．

【详解】由条件xy1可得

212(xy)(xy)22yxy3yx

224423．

xxyxxyxyxxy

33

x+y=1x=

2

当且仅当3yx，即时等号成立

=31

xyy=

2

1a

【巩固练习1】若a0，b0，且a4b1，则有最小是________

ab

【答案】5

1aa4ba4ba4ba

【详解】1125，

abababab

4ba1

当且仅当，即a2b时，等号成立，

ab3

1a

所以有最小值5

ab

1y1

【巩固练习2】正实数x，y满足xy1，则的最小值是（）

xy

11

．322．222．5．

2

【答A案】BBCD

1y1

【分析】中的“1”用“xy”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．

xy

【详解】因为正实数x，y满足xy1，

1y1xyyxy2yx2yx

所以222222，

xyxyxyxy

xy11y1

当且仅当，即x22,y21时等号成立．故的最小值是222．

x2yxy

y2x

【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知x0,y0，且2xy1，则的最小值为（）

xy

A．4B．42C．421D．221

【答案】D

y2xy2x

【分析】由2xy1，可得1，再利用基本不等式计算即可得.

xyxy

y2xy1y2xyy2xy2x

【详解】112221，

xyxyxyxyxy

y2x2

当且仅当，即y21,x1时，等号成立.

xy2

【题型6】二次比一次型换元法求最值

x11

(a0,c0)c

基本模型：ax2bxcc2acb，当且仅当x时等号成立

axba

x

【例题1】已知，则的最小值为（）

2

�−�+4

�>0�

A．5B．3C．D．或3

【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果.

2−5−5

�−�+44

【详解】由，得�=�+�−1，

2

�−�+444

当且仅当�>，0即�时等=号�成+立�−，1所≥以2�⋅�的−最1=小值3为3．

2

4�−�+4

�=��=2�

x2x3

【例题2】函数yx2的最小值为．

x2

【答案】11

(x2)25(x2)99

【解析】由yx25，又x20，

x2x2

99

所以y2(x2)511，当且仅当x2，即x5时等号成立，

x2x2

所以原函数的最小值为11.

a23a11

【例题3】已知a1，则的最小值为.

a1

【答案】5

【解析】令ta1(t0)，则at1，

a23a11(t1)23(t1)11t2t9999

所以t12t15，当且仅当t，即t3时

a1ttttt

a23a11

取等号，所以的在最小值为5.

a1

x24x6

【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当x2时，函数y的最小值为．

x2

【答案】22

【解析】因为x2，则x20，则

2

x24x6x2222

yx22x222，

x2x2x2x2

当且仅当x22时，等号成立，

x24x6

所以，当x2时，函数y的最小值为22.

x2

故答案为：22.

x2x1

【巩固练习2】若x1，则函数y的最小值为.

x1

【答案】3

22

x2x1x2x1x11x1x111

【解析】由题意，yx11，

x1x1x1x1

111

因为x1，所以yx112x113，当且仅当x1，即x2时等号成立.

x1x1x1

x2x1

所以函数y的最小值为3.

x1

x27x10

【巩固练习3】求yx1的最小值.

x1

【答案】9

【解析】将分子配方凑出含有x1的项，再将其分离，利用基本不等式即可求

2

x27x10x15x14

解.y

x1x1

4

x15，

x1

x1，x10，

4

y2x159，

x1

4

当且仅当x1即x1时，等号成立.

x1

【题型7】分母换元法（1）：单换元

对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

单分母换元：把其中一个分母进行换元

114

【例题1】已知0a，则的最小值是________

22a12a

．6．8．4．9

14

【分析A】可以设b12a，则B有2ab1，求C的最小值，用乘“1”法D即可

2ab

【答案】9

1414b8a

【详解】解：设b12a，则有2ab1，2ab529

2a12a2ab2ab

128114

当且仅当=，即a=时取等号，所以+的最小值是9．

2126212

−��

�−��−�

mm

【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知m2n0，则的最小值为（）

m2nn

A．322B．322C．232D．322

【答案】B

【分析】根据题意，m(m2n)2n，将所求式子变形，利用基本不等式求解.

【详解】由m2n0，

令xm2n0，m(m2n)2nx2n，

mmx2nx2n2nx2nx

332322，

m2nnxnxnxn

2nm2n

当且仅当即m22n时等号成立.

m2nn

19

【例题3】已知abc1，其中a，b，c0，则的最小值为．

abc

【答案】16

【解析】因为abc1，a,b,c0，

1919bc9abc9a

则[a(bc)]()1010216，

abcabcabcabc

bc9a13

当且仅当，即a,bc时取等号，

abc44

19

所以的最小值为16

abc

28

【巩固练习1】若0a4，则的最小值是．

a4a

9

【答案】

2

28128124a8a

【解析】因为a4a4，所以a4a10．

a4a4a4a4a4a

24a8a

因为0a4，所以0,0，

a4a

24a8a24a8a24a8a4

所以28，当且仅当，即a时，等号成立，

a4aa4aa4a3

28199

则810．故答案为：

a4a422

4ab

【巩固练习2】若a0，b0，c0，abc2，则的最小值为．

abc

【答案】222

4ab42

【分析】令2cm,cn,(m0,n0)，则mn2，由此可将变形为1，结合

abcmn

基本不等式，即可求得答案。

【详解】由题意，a0，b0，c0，abc2得：ab2c，

设2cm,cn,(m0,n0)，则mn2，

4ab42c4242

故11

abc2cc2ccmn

mn422nm2nm

()1312+2=2+22，

2mnmnmn

当且仅当m22n2，即m422,nc222时取得等号，

4ab

故的最小值为222

abc

111

【巩固练习3】已知x(0，)，则的最小值是______.

3x13x

【答案】423