2026年秋高一数学中档题专练专题5-2 三角函数的概念（解析版）

专题5-2三角函数的概念

【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型）

【题型2】三角函数的符号与所在象限判断

【题型3】求任意角的三角函数值

【题型4】单位圆上的动点与旋转点

【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题

【题型6】正、余弦齐次式的计算

【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用

【题型8】利用同角关系化简求值

【题型9】证明三角恒等式

一、三角函数的定义

1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，则：

y叫做的正弦函数，记作sin.即ysin；

x叫做的余弦函数，记作cos.即xcos；

yysin

叫做的正切函数，记作tan.即tanx0。

xxcos

2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：

正弦函数：ysinx,xR

余弦函数：ycosx,xR

正切函数：ytanx,xkkZ

2

3、三角函数另一种定义：设点Px,y（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距

yxy

离为：rx2y2，则：sin，cos，tan.

rrx

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关

二、三角函数值的符号及公式一

1、三角函数值的符号

【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，

准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键；

（2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到

诱导公式一

sin(2k)sin

cos(2k)cos

tan(2k)tan其中kZ

【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内

角的三角函数值．

（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．

三、特殊角的三角函数值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

2353

0

64323462

sin123321

010－1

222222

cos321123

10---－10

222222

tan33

0133－10

33

【题型1】利用三角函数的定义求值（3种类型）

三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法

1、已知角的终边上一点P的坐标，求角的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出

未知数，从而求解问题；

3、已知角的终边所在的直线方程（ykx，k0），求角的三角函数值

方法：先设出终边上的一点Pa,kaa0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求

解（注意的符号，对分类讨论），结论：tank

【例题1】若角的终边经过点2,3，则sin（）

3223

A．13B．13C．13D．13

13131313

【答案】D

3313

sin

【解析】因为角的终边经过点2,3，则2.故选：D

23313

【例题2】已知P1,m是角的终边上一点，tan2，则sin（）

255525

A．B．C．D．

5555

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义求出m的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.

【详解】由三角函数的定义知:

tanm2，

225

所以sin.

55

【例题3】已知角的终边落在直线y2x上，则sin的值为（）

2552525

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.

【详解】设直线y2x上任意一点P的坐标为(m,2m)（m0），

2

则OPm22m5m（O为坐标原点），

y2m2m

根据正弦函数的定义得：sin，

rOP5m

2525

m0时，sin；m0时，sin，

55

所以选项D正确，选项A，B，C错误

【巩固练习1】如果角的终边过点P2sin60,2cos60，则cos（）

1133

A．B．C．D．

2222

【答案】D

【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得.

x3

【详解】由题可得P(3,1)，因为r312，所以cos.

r2

【巩固练习2】若角的终边经过点P(3,4)，则sintan等于（）

882911

A．B．C．D．

15151515

【答案】A

【分析】根据三角函数定义可得.

【详解】因为角的终边经过点P(3,4)，则r(3)2425，

44

所以sin,tan，

53

448

所以sintan.

5315

【巩固练习3】已知角的顶点为原点，起始边为x轴非负半轴，若点P4,y是角终边上一点，

25

且sin，则y（）

5

A．8B．8C．6D．6

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义可得出关于y的等式，即可解出y的值.

25

【详解】因为点P4,y是角终边上一点，且sin，

5

y25

由三角函数的定义可得sin，则y0，解得y8.

y2425

5

【巩固练习4】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点Px,6，且cos，则

13

x的值为（）

2555

A．B．C．D．

5222

【答案】C

x5

cos

【解析】因为角终边经过点Px,6，所以2，

x2613

x0

5

所以225，解得x.故选：C

x2

4

【巩固练习5】已知角的终边经过点P(4m,3m)(m0)，则2sincos的值可能为（）

3322

A．B．-C．D．

5555

【答案】CD

【分析】根据三角函数的概念求解sin,cos，即可得2sincos的值.

【详解】已知角的终边经过点P(4m,3m)(m0)

3m3m4m4m

sincos

所以22，22

4m3m5m4m3m5m

34342

则当m0时，sin,cos，此时2sincos2；

55555

34342

当m0时，sin,cos，此时2sincos2；

55555

22

所以2sincos的值可能为或.

55

sin2cos

【巩固练习6】如果角的终边在直线y2x上，则（）

3sincos

4455

A．B．C．D．

5544

【答案】B

【解析】因为角的终边在直线y2x上，所以tan2.

sin2cos

sin2costan2224

所以cos

3sincos3sincos3tan13215

cos

【题型2】三角函数的符号与所在象限判断

简记：siny；cosx；y.

tan

x

【例题1】已知sin0，tan0，则角的终边位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.

【详解】由sin0，tan0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，

可得角的终边位于第四象限.

【例题2】已知点Pcos,tan是第三象限的点，则的终边位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】∵点Pcos,tan是第三象限的点，∴cos0，tan0，

由cos0可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；

由tan0可得，的终边位于第一象限或第三象限，

综上所述，的终边位于第三象限．故选:C

sin

【巩固练习1】已知costan0，0，则角的终边在（）

tan

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【分析】根据所给条件得到sin0、tan0，cos0，即可判断.

sin

【详解】因为costan0，即cossin0，

cos

sinsin

又0，所以tan0，即tan0，所以cos0，

tancos

所以角的终边在第三象限.

sintan

【巩固练习2】若0，0，则是（）

tancos

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】A

sintansin

【解析】由cos0，0，得cos0，sin0，

tancoscos2

所以是第一象限角.故选：A.

【巩固练习3】若是第二象限角，则（）

A．cos0B．tan0

2

C．sinπ0D．cosπ0

【答案】B

【解析】若α是第二象限角，则coscos0，故A错误；

为第一、三象限角，则tan0，故B正确；

22

sinπ0，故C错误；

cosπ0，故D错误.

sinxcosxtanx

【巩固练习4】（多选）若1，则x可能在的象限是（）

sinxcosxtanx

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】BCD

sinxcosxtanx

【分析】对角x的终边的位置进行分类讨论，求出的值，即可得出结论.

sinxcosxtanx

sinxcosxtanx

【详解】当x是第一象限角时，31，故x一定不是第一象限角；

sinxcosxtanx

sinxcosxtanx

当x是第二象限角时，1111，即x可以是第二象限角；

sinxcosxtanx

sinxcosxtanx

当x是第三象限角时，1111，即x可以是第三象限角；

sinxcosxtanx

sinxcosxtanx

当x是第四象限角时，1111，即x可以是第四象限角．

sinxcosxtanx

【题型3】求任意角的三角函数值

求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”：用公式一或三来转化.

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.

(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.

17

【例题1】sin的值为（）

4

3322

A．B．C．D．

2222

【答案】D

17ππ2

【解析】sinsin4πsin.故选：D.

4442

o

【巩固练习1】sin1380的值为（）

1133

A．－B．C．－D．

2222

【答案】D

3

【解析】sin1380osin4360o60osin60o故选：D.

2

π2

【巩固练习2】“2kπkZ”是“sin”成立的（）

42

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

πππ2

【解析】若2kπkZ，则sinsin2kπsin,kZ；

4442

2π

若sin，不一定有2kπkZ，

24

3π3π3π2

例如2kπkZ，则sinsin2kπsin,kZ；

4442

π2

综上所述：“2kπkZ”是“sin”成立的充分不必要条件.故选：A.

42

【题型4】单位圆上的动点与旋转点

考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标

【例题1】（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知平面直角坐标系xOy，点P在半径为2的圆O上，

1

现点P从圆O与y轴非负半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点P的纵坐标

6

为.

【答案】1

【解析】由题意，点P顺时针转过了60角，

1

故xOP30,sinxOP，

2

yPrsinxOP1.

【巩固练习1】在直角坐标系xOy中，若点P从点3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时

11π

针方向运动到达点Q，则点Q的坐标为（）

6

333333333333

A．,B．,C．,D．,

22222222

【答案】C

【解析】根据题意可知，作出图示如下：

π

根据题意可得OP3，POQ，作QQx轴且垂足为Q1；

61

333

利用三角函数定义可得OQ3cosPOQ，QQ13sinPOQ；

122

333

又Q点在第四象限，所以点Q的坐标为,.

22

【巩固练习2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P、Q

π

从点A1,0出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转

12

11π

弧度，则P、Q两点在第1804次相遇时，点P的坐标是（）

12

1313

A．,B．,

2222

1313

C．,D．,

2222

【答案】C

π11π

【解析】相遇时间为t18042π3608秒，

1212

π2π

故P转过的角度为3608300π，

123

2π2π13

故对应坐标为cos,sin，即,.

3322

【巩固练习3】在直角坐标系xOy中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点P0

为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每5s转一圈，则2s后P0P的长为（）

4422

A．2sinB．2cosC．4sinD．4cos

5555

【答案】C

【解析】由题意可知，一个质点在圆O上每5s逆时针方向转一圈，

4π

那么2s后，到达P点，所以POP，

05

而在POP0中，OPOP02且为圆的半径，

2π

取PP的中点T，如图，则POT，

05

PT2π12π

所以sinPOTsin，则PTPP2sin，

OP5205

2π

所以PP4sin，故选：C

05

【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题

(1)若已知sin或cos，可以先应用公式sin2＋cos21，根据角终边所在的象限，判断三角

sin

函数的符号，求得的值，再由公式tan求得tan的值．

cos

sin

(2)若已知tanm，可以应用公式tanmsinmcos，再代入

cos

sin2＋cos21，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。

【例题1】计算：

3π

(1)已知(π,)，tan2，求cos的值.

2

8

(2)已知cos，求sin，tan的值

17

5

【答案】(1)cos；

5

(2)答案见解析.

【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求cos即可；

（2）讨论为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值.

sin

【详解】（1）由tan2，sin2cos21得：4cos2cos21，

cos

3π5

又(π,)，所以cos.

25

8

（2）因为cos，所以为第二或第三象限角，又sin2cos21.

17

1515

若为第二象限角，则sin,tan；

178

1515

若为第三象限角，则sin,tan.

178

1

【巩固练习1】设为第二象限角，若tan，则sincos.

2

55

【答案】/

55

【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出sin,cos，求和即可.

【详解】为第二象限角，则sin0，cos0，

5

sin1sin

15

若tan，则有cos2，解得，

22225

sincos1cos

5

5255

所以sincos.

555

3

【巩固练习2】若tan，0π，则sincos（）

4

1111

A．B．C．D．

5353

【答案】C

3

【解析】因为tan＜0，0π，

4

π

所以π，所以sin＞0,cos＜0，

2

sin33

因为tan，所以sincos，

cos44

925

又因为sin2cos2cos2cos2cos21，

1616

164

所以cos2，所以cos，

255

343

所以sin，

455

341

所以sincos.故选：C

555

12

【巩固练习3】（1）若是ABC的一个内角，且cos，求sin,tan的值;

13

8

（2）若sin，求tan的值;

17

55

【答案】（1）sin，tan;（2）答案见解析

1312

【分析】根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可；

12

【详解】解:（1）若是ABC的一个内角，且cos，

13

π

所以＜＜π，

2

2

2125

所以sin1cos1，

1313

5

sin5

所以tan13;

12

cos12

13

8

（2）因为sin＞0，所以是第一、第二象限角.

17

2

28158

当是第一象限角时，cos1sin1，此时tan；

171715

2

28158

当是第二象限角时，cos1sin1，此时tan，

171715

88

综上，当是第一象限角时，tan;当是第二象限角时，tan.

1515

【题型6】正、余弦齐次式的计算

解题思路

(1)对只含有sin，cos的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为

只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．

asinbcosasinbcos

(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos，cos2，将

csindcoscsindcos

正、余弦转化为正切，从而求值．

(3)对于形如Asin2＋Bsincos＋Ccos2的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形

Asin2＋Bsincos＋Ccos2

为sin2＋cos2，转化为形如的式子求值．

sin2cos2

1sin2cos

【例题1】已知tan，则的值为（）

35cossin

55

A．1B．1C．D．

164

【答案】C

1

【解析】因为tan，

3

15

2

sin2costan25

所以33.故选：C.

116

5cossin5tan5()16

33

【例题2】（23-24高一上·湖北·期末）已知tan3，则3cos22sincos的值为．

9

【答案】

10

【分析】由齐次式法结合平方关系即可求解.

3cos22sincos32tan9

【详解】3cos22sincos.

sin2cos2tan2110

5

【例题3】已知sincos，则tan.

5

1

【答案】2或

2

5221

【解析】由sincos两边平方得sin2sincoscos12sincos，

55

2

解得sincos，

5

sincostan21

所以，即2tan25tan20，解得tan2或.

sin2cos2tan2152

【巩固练习1】已知tan2，则sin2sincos（）

2266

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【解析】由题意知tan2，

sin2sincostan2tan426

则sin2sincos，故选：D

sin2cos2tan21415

12sincos1

【巩固练习2】已知，则tan（）

cos2sin23

1111

A．B．C．或1D．或1

3232

【答案】B

【分析】利用弦化切可得出关于tan的等式，即可求得tan的值.

2

12sincoscos2sin22sincoscossin

【详解】因为

cos2sin2cos2sin2cossincossin

cossin1tan11

，解得tan.

cossin1tan32

【巩固练习3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知tan是关于x的方程2x2x10的一个实根，

且是第一象限角，求3sin2sincos2cos2的值；

9

【答案】．

5

1

【分析】解方程2x2x10，求出tan，利用同角三角函数关系式能求出结果．

2

1

【详解】解方程2x2x10，得x1，x，

122

1

tan是关于x的方程2x2x10的一个实根，且是第一象限角，则tan，

2

11

22232

3sinsincos2cos3tantan29

3sin2sincos2cos242．

2221

sincostan115

4

【巩固练习4】已知tan2，求：

3sincos2cos2

（1）sin4cos4；（2）.

12cos2

34

【答案】（1）；（2）

53

【解析】（1）sin4cos4sin2cos2sin2cos2sin2cos2

sin2cos2

sin2cos22tan213

cos；

sin2cos2sin2cos2tan215

cos2

3sincos2cos2

22

3sincos2cos3sincos2cos23tan24

（2）cos=.

12cos2sin2cos2sin2cos2tan213

cos2

【巩固练习5】已知sincos3costan，则cos2tan1（）

3421

A．-B．C．D．

5533

【答案】A

12

【分析】根据题意可得tan，根据齐次式法可得cos2tan，即可得结果.

25

1

【详解】因为sincos3costan3sin，可得tan，

2

1

sincostan2

可得cos2tancossin2，

2221

sincostan115

4

23

所以cos2tan11.

55

sincos

【巩固练习6】已知2，则sincos（）

sincos

6333

A．B．C．D．

551020

【答案】C

【分析】由已知求出tan3，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于sin,cos的齐次分式，

化弦为切，即可求解.

sincos

【详解】若cos0，则1，不合题意，所以cos0，

sincos

sincostan1

由2，可得2，解得tan3，

sincostan1

sincostan33

所以sincos.

sin2cos2tan2132110

【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用

对于sin＋cos，sin－cos，sincos这三个式子，知一可求二：

2

sincos12sincos但是要特别注意角的象限决定正负号。

4

【例题1】（高一上·山东青岛·期中）已知sincos，,，则sincos（）

342

2211

A．B．C．D．

3333

【答案】A

7

【分析】将题设条件等式两边平方，可得2sin