2026秋北师大版高一数学同步备课讲义（必修一）1.1 集合的概念与表示（题型专练）（原卷版）

1.1集合的概念与表示

题型一：集合的概念

1．下列各组对象可以构成集合的是（）

A．数学必修第一册课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

2．以下对象的全体不能构成集合的个数是（）

（1）高一（1）班的高个子同学；（2）所有的数学难题；

（3）北京市中考分数580以上的同学；（4）中国古代四大发明；

（5）我国的大河流；（6）大于3的偶数．

A．2B．3C．4D．6

3．下列选项中，能够构成集合的是（）

A．南充高中高2024级个子较高的学生

B．高中数学人教A版必修第一册中的难题

C．关于x的方程x2-1=0的所有实根

D．无限接近于π的所有实数

4．给出下列说法：

①所有接近于0的数构成一个集合；

②2019年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；

③高科技产品构成一个集合；

④所有不大于3的自然数构成一个集合；

31

⑤1，0.5，，组成的集合含有4个元素．

22

其中正确的是（）

A．①②④B．②③⑤C．③④⑤D．②④

题型二：元素与集合的关系（基础）

1．下列说法错误的是（）

A．0ÎNB．-5ÎZ

C．πÎQD．-3ÎR

2．下列关系中正确的个数为（）

①2ÎR，②2ÎZ，③0ÎN，④-3ÎQ．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．给出下列关系：（1）πÎR；（2）3ÎQ；（3）-3ÎZ；（4）-3ÏN；（5）0ÏQ，其中正确的个数是

（）

A．1B．2

C．3D．4

2

4．给出下列6个关系：①ÎR，②3ÎZ，③0ÏN*，④4ÎN，⑤πÏQ，⑥-2ÏZ．其中正确命

2

题的个数为（）

A．4B．2

C．3D．5

题型三：集合的表示（列举法）

ì3ü

1．已知集合A=íxÎNÎZý，则用列举法表示A=（）

îx-1þ

A．-2,0,1,2,4B．-2,0,2,4

C．0,2,4D．2,4

2．集合xÎN*∣x-3<2的另一种表示法是（）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}

C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}

3．用列举法表示集合x|-2£x£2,xÎN=________________.

4．用适当的方法表示下列集合：

(1)一年中有31天的月份的全体；

(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体；

(3)梯形的全体构成的集合；

(4)所有能被3整除的数的集合；

题型四:集合的表示（描述法）

ìx+y=1

1．方程组í的解集是（）

îx-y=-3

A．{x,y∣x=-1，或y=2}B．1,-2

ììx=1üììx-2y=-5ü

C．íx,y|íýD．íx,y|íý

îîy=-2þîîx+y=1þ

2．（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（）

A．奇数集可以表示为xÎZx=2k+1,kÎZ

B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为xx<10

C．xx>2表示大于2的全体实数

D．不等式x2-1>0的解集表示为xx2-1>0

3．用描述法表示下列集合：

(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；

(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合；

2

(3)使函数y=有意义的实数x组成的集合．

x-1

4．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．

(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合C；

(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合D；

(4)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合E；

(5)不等式2x-3<5的解组成的集合F．

题型五：集合相等

1．下列四组中表示同一集合的为（）

A．M=-1,3，N=3,-1

B．M=-1,3，N=3,-1

C．M=x,y|y=x2+3x，N=x|y=x2+3x

D．M=0，N=0

2．下列说法中正确的是（）

①空集Æ与Æ表示同一个集合；

②由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；

③方程x2x+1=0的所有解的集合可表示为0,0,-1；

④集合x4<x<5可以用列举法表示．

A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．只有②和④

3．（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（）

A．M={3,-1}，P={-1，3}

B．M={(3,1)},P=(1,3)

C．M=yy=x2+1,xÎR，P=tt³1

D．M=yy=x2-1,xÎR，P={(x,y)|y=x2-1,xÎR}

b

4．若由a，，1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2021+b2021的值为_____________．

a

题型六:集合的互异性

2

1．（多选）已知集合M={1,m+2,m+4}，且5ÎM，则m的可能取值有（）

A．1B．－1

C．3D．2

2．若-3Îa-3,2a-1,a2-1，则a的值为___________．

xyzxyz

3．已知x,y,z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是M，则M中元素个数为

xyzxyz

________________．

4．已知集合A=1,2,3，B=1,m,m+2，若2-mÎA，则实数m=_____________.

题型七：集合的新定义（基础）

1．已知集合A=-1,0,1,B=1,2,C=x∣x=a+b,aÎA,bÎB，则集合C的元素个数为（）

A．2B．3

C．4D．5

2．定义集合运算AÄB=xx=x1×x2,x1ÎA,x2ÎB，若A=1,3,4，B=1,4，则AÄB既有元素之和为

（）

A．48B．54

C．42D．36

ì6ü

3．已知集合A=1,2,3,4,5，B=íxÎN|ÎNý，记A-B=xxÎA且xÏB.则A-B=___________，

î6-xþ

B-A=______________.

4．定义集合运算：AÄB=z|z=xyx+y,xÎA,yÎB，若集合A=0,2，B=-1,1，则集合AÄB中所

有元素之和为_____________．

题型一：元素与集合的关系（提升）

1．已知集合A=x∣3ax-2£0，若1ÎA且2ÏA，则（）

12

A．<a<B．a<0

33

122

C．<a£D．a>

333

2．集合P=xx=2k,kÎZ,Q=xx=2k+1,kÎZ,R=xx=4k+1,kÎZ，且aÎP,bÎQ，则有（）

A．a+bÎPB．a+bÎQ

C．a+bÎRD．a+b不属于P,Q,R中的任意一个

3．（多选）设a,bÎA=x∣x=3m+1,mÎZ,cÎB=x∣x=3k-1,kÎZ，则（）

A．a+bÎAB．abÎA

C．a+bÎBD．acÎB

4．已知集合A=xx=3k-1,kÎZ,B=xx=3k+1,kÎZ,C=xx=3k,kÎZ，且aÎA,bÎB,cÎC，则

（）

A．2aÏBB．2bÏA

C．a+bÎCD．b+cÎA

题型二：集合新定义（元素的关系）

x-1

1．已知非空数集T满足：任意的xÎT，则ÎT，若集合T中含有4个元素，则这四个元素之积为（）

x+1

A．-2B．-1

C．1D．2

1ì1ü

2．（多选）若xÎA，则ÎA，就称A是伙伴关系集合．集合M=í-1,0,,2,3ý的所有非空子集中具有伙

xî2þ

伴关系的是（）

ì11üì1ü

A．í,,2,3ýB．í-1,,2ý

î32þî2þ

ì1ü

C．í,2ýD．{-1}

î2þ

x

3．（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若x,yÎM，则ÎM；②若x,yÎM，则x+yÎM.下列说法

y

中正确的有（）

A．-1ÎM.B．2025ÎM.

C．若x,yÎM，则xyÎM.D．若x,yÎM，则x-yÎM.

a

4．当一个非空数集G满足“如果a,bÎG，则a+b,a-b,abÎG，且b¹0时，ÎG”时，我们称G就是一

b

个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则2021ÎG；③集合

P=xx=2k,kÎZ是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（）

A．1B．2

C．3D．4

题型三：集合中元素的个数

1．若集合A=x|ax2-2x+2=0中只有一个元素，则a=（）

A．0B．1

1

C．0或D．0或1

2

2．（多选）若集合A=x|k-1x2+k+2x+3=0有且只有一个元素，则实数k的值可以为（）

A．4B．3

C．2D．1

3．已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aÎR．

(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；

(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围；

(3)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．

4．已知集合A=xax2+bx+1=0,aÎR,bÎR.

(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；

(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.

1+a

1．已知集合A的元素为实数，满足①a¹0且a¹1；②若aÎA，则ÎA.

1-a

(1)若a=2，求A；

(2)集合A有没有可能是单元素集?

a-1

(3)若aÎA，证明：ÎA.

a+1