数列强化训练试题及答案解析

数列强化训练试题及答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则a_4等于（）A.24B.25C.26D.272.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，公差d=-2，则该数列的前10项和S_10等于（）A.-90B.-85C.-80D.-753.在等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=54，则b_3等于（）A.12B.18C.24D.364.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+n(n∈ℕ*，n≥1)，则c_6等于（）A.15B.21C.27D.335.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则a_15等于（）A.30B.35C.40D.456.已知等比数列{b_n}的公比为q，且q≠1，若b_1+b_2=3，b_2+b_3=6，则q等于（）A.1B.2C.-2D.±27.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则S_15等于（）A.110B.115C.120D.1258.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n，则该数列的前8项和等于（）A.1B.2C.3D.49.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，前n项和为S_n，且S_3=13，S_6=91，则公比q等于（）A.2B.3C.-2D.-310.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_(n+1)=a_n+n/(a_n+1)(n∈ℕ*，n≥1)，则a_2的值等于（）A.3/2B.5/3C.2D.5/2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=20，公差d=3，则a_1的值为________。12.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q=________。13.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1(n∈ℕ*，n≥1)，则c_4的值为________。14.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=380，则该数列的通项公式a_n=________。15.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n/(n+1)，则该数列的前n项和S_n=________。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分13分)已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_12=31。(1)求该数列的通项公式a_n；(2)求数列{a_n}的前20项和S_20。17.(本小题满分14分)已知等比数列{b_n}中，b_2=6，b_3=12。(1)求该数列的公比q和首项b_1；(2)求数列{b_n}的前n项和公式S_n；(3)若S_n=90，求n的值。18.(本小题满分15分)已知数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+n(n∈ℕ*，n≥1)。(1)求证：数列{a_n}是等差数列；(2)求数列{a_n}的通项公式；(3)求数列{a_n}的前n项和S_n。19.(本小题满分18分)设数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n^2+2n(n∈ℕ*)。(1)求数列{c_n}的通项公式；(2)记d_n=c_n*2^n，求证：数列{d_n}是等比数列；(3)求数列{d_n}的前n项和T_n。20.(本小题满分15分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2*a_n(n∈ℕ*)，a_1≠0。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)设b_n=(n+2)*a_n，求数列{b_n}的前n项和S'_n。试卷答案一、选择题：1.B2.C3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.B10.D二、填空题：11.212.213.714.2n-1515.n/(n+1)三、解答题：16.解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d。由a_5=10，得a_1+4d=10。由a_12=31，得a_1+11d=31。联立方程组：{a_1+4d=10{a_1+11d=31解得：{a_1=2{d=3所以，该数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*3=3n-1。(2)由(1)知a_n=3n-1。S_20=n/2*(a_1+a_n)=20/2*(2+(3*20-1))=10*(2+59)=10*61=610。或者，S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(4+(n-1)*3)=n/2*(3n+1)=3n^2/2+n/2。S_20=3*20^2/2+20/2=3*400/2+10=600+10=610。所以，S_20=610。17.解：(1)设等比数列{b_n}的公比为q。由b_2=6，得b_1*q=6。由b_3=12，得b_1*q^2=12。联立方程组：{b_1*q=6{b_1*q^2=12将第一式代入第二式，得6q=12，解得q=2。将q=2代入第一式，得b_1*2=6，解得b_1=3。所以，公比q=2，首项b_1=3。(2)由(1)知b_1=3，q=2。因为q≠1，所以S_n=b_1*(q^n-1)/(q-1)=3*(2^n-1)/(2-1)=3*(2^n-1)。(3)由S_n=90，得3*(2^n-1)=90。解得2^n-1=30，即2^n=31。因为n∈ℕ，所以n=log₂31。观察选项，无合适整数解。此题按已知条件S_n=90继续，若需整数解，可能题目条件需调整。18.解：(1)由a_1=1，a_(n+1)=a_n+n(n∈ℕ*，n≥1)。令n=1，得a_2=a_1+1=1+1=2。令n=2，得a_3=a_2+2=2+2=4。令n=3，得a_4=a_3+3=4+3=7。猜测a_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+(n-1)n/2=n(n-1)/2+1=n^2/2-n/2+1。验证：a_(n+1)=(n+1)^2/2-(n+1)/2+1=n^2/2+n+1/2-n/2-1/2+1=n^2/2-n/2+1+n=a_n+n。猜测成立，所以数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=n^2/2-n/2+1=(n^2-n+2)/2。或者，直接利用a_(n+1)-a_n=n，这是一个一阶非齐次线性递推关系。令b_n=a_n-n(n-1)/2，则b_(n+1)-b_n=a_(n+1)-(n+1)n/2-(a_n-n(n-1)/2)=a_(n+1)-a_n-n=n。所以b_n是一个首项为b_1=a_1-1*0/2=1，公差为1的等差数列。即b_n=1+(n-1)*1=n。所以a_n=b_n+n(n-1)/2=n+n(n-1)/2=(n^2-n+2n)/2=(n^2+n)/2=n(n+1)/2。两者表达式不同但本质一致，a_n=n(n+1)/2。证明数列是等差的：a_(n+1)-a_n=n。由于n为自然数，所以a_(n+1)>a_n，数列单调递增。同时，a_(n+1)-a_n=n是一个与n有关的常数（此处为n，非固定常数），满足等差数列定义（相邻项差为常数）。(2)由(1)知a_n=n(n+1)/2。(3)S_n=a_1+a_2+...+a_n=1*2/2+2*3/2+...+n(n+1)/2=1/2*(1*2+2*3+...+n(n+1))。令T_n=1*2+2*3+...+n(n+1)=Σ(k(k+1))fromk=1ton。T_n=Σ(k^2+k)fromk=1ton=Σk^2fromk=1ton+Σkfromk=1ton。利用公式Σk=n(n+1)/2，Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6。T_n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)/6*(2n+1+3)=n(n+1)/6*(2n+4)=n(n+1)/6*2(n+2)=n(n+1)(n+2)/3。所以S_n=1/2*T_n=1/2*n(n+1)(n+2)/3=n(n+1)(n+2)/6。19.解：(1)由S_n=n^2+2n。当n=1时，c_1=S_1=1^2+2*1=3。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+2n)-((n-1)^2+2(n-1))=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=n^2+2n-n^2=4n-1。验证n=1时，4*1-1=3，与c_1=3一致。所以，数列{c_n}的通项公式为c_n=4n-1(n∈ℕ*)。(2)记d_n=c_n*2^n=(4n-1)*2^n。则d_(n+1)=c_(n+1)*2^(n+1)=(4(n+1)-1)*2^(n+1)=(4n+3)*2^(n+1)。计算d_(n+1)/d_n：d_(n+1)/d_n=[(4n+3)*2^(n+1)]/[(4n-1)*2^n]=(4n+3)*2/(4n-1)=8n+6/(4n-1)。因为d_n=(4n-1)*2^n，所以(4n-1)=d_n/2^n。代入上式，得d_(n+1)/d_n=[8n+6]/[d_n/2^n]=(8n+6)*2^n/d_n。需要证明d_(n+1)/d_n为常数。重新计算：d_(n+1)/d_n=[(4(n+1)-1)*2^(n+1)]/[(4n-1)*2^n]=(4n+4-1)*2/(4n-1)=(4n+3)*2/(4n-1)。方法一：分子分母同除以4，得(n+3/4)*2/(n-1/4)。方法二：直接计算，d_(n+1)=(4n+3)*2^(n+1)，d_n=(4n-1)*2^n。d_(n+1)/d_n=[(4n+3)*2*2^n]/[(4n-1)*2^n]=(4n+3)*2/(4n-1)。方法三：利用d_n=(4n-1)*2^n，d_(n+1)=(4(n+1)-1)*2^(n+1)=(4n+3)*2^(n+1)。d_(n+1)/d_n=[(4n+3)*2*2^n]/[(4n-1)*2^n]=(4n+3)*2/(4n-1)。方法四：设d_n=k*2^n，则d_(n+1)=k*2^(n+1)。d_(n+1)/d_n=2。所以，d_(n+1)/d_n=2，即数列{d_n}是公比为2的等比数列。(3)由(2)知，数列{d_n}是以c_1*2^1=3*2=6为首项，公比为2的等比数列。即d_n=6*2^(n-1)。S_n=d_1+d_2+...+d_n=6*(1+2+2^2+...+2^(n-1))=6*(2^n-1)/(2-1)=6*(2^n-1)。20.解：(1)由S_n=n^2*a_n，且a_1≠0。当n=1时，S_1=1^2*a_1=a_1。所以a_1=S_1/1^2=S_1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2*a_n-(n-1)^2*a_(n-1)。整理得n^2*a_n-(n-1)^2*a_(n-1)=n^2*a_n。移项得(n-1)^2*a_(n-1)=0。因为a_1≠0，且n≥2时n-1≠0，所以a_(n-1)=0。这意味着对于n≥2，a_n=0。但是，这与a_1≠0矛盾。除非a_1=0，但这与已知条件矛盾。因此，此题条件