2025-2026年重庆市人教版高中三年级数学上册第10单元数列知识巩固习题

2025-2026年重庆市人教版高中三年级数学上册第10单元数列知识巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4=1+2+4，...，c_{10}=1+2+4+6+...+20=1+2×(1+2+3+...+10)=1+2×55=111。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项A、C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_2=2+log_2(2)=3，f_3=3+log_2(3)，...，f_5=2+(log_2(2)+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5))=2+log_2(120)=2+6.9069≈8.9069。选项无正确答案，需修正题目条件。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12，a_4+a_5+a_6=3a_4+3d=18，两式相减得3(a_4-a_1)=6，即3×3d=6，解得d=2。选项B正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）A.10B.12C.15D.20解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前5项和为(0+log_3(2))+(1+log_3(2))+...+(4+log_3(2))=10+5log_3(2)≈15.32。选项C最接近。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n^2，则i_4的值等于（）A.20B.30C.40D.50解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n^2，可得i_2=1+1^2=2，i_3=2+2^2=6，i_4=6+3^2=15。选项无正确答案，需修正题目条件。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，得q^2=8，故q=±2√2，前6项和S_6=1×(1-(±2√2)^6)/(1-±2√2)=127。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3，a_1=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_3的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_3=4×3-1=11。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值等于_________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=2+3，c_3=5+6，...，c_6=2+3+6+9+12+15=47。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_4的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故e_4=2×4-1=7。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2^n，则f_4的值等于_________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2^n，可得f_2=3+2，f_3=5+4，f_4=9+8=17。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，a_3+a_5=22，则该数列的公差d等于_________。解：由等差数列性质a_3+a_5=2a_1+8d=22，代入a_1=5得10+8d=22，解得d=2.75。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-2，则数列{log_3(h_n)}的前3项和等于_________。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=3^n-2-(3^{n-1}-2)=2×3^{n-1}-1，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=log_3(2×3^{n-1}-1)，前3项和为log_3(1)+log_3(5)+log_3(17)=log_3(85)≈4.43。9.若数列{i_n}满足i_1=0，i_{n+1}=i_n+n，则i_5的值等于_________。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，可得i_2=0+1，i_3=1+2，...，i_5=6+5=11。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的前5项和S_5等于_________。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，得q^2=4，故q=±2，前5项和S_5=2×(1-(±2)^5)/(1-±2)=34。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，当n≥2时a_n=4n-5，验证n=1时a_1=-1≠4×1-5，故该数列不是等差数列。错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q一定是2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，得q^3=16，故q=2√2，不一定是2。错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，则该数列是等比数列。（）解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，取n=1得c_2=2c_1+1=3，取n=2得c_3=2c_2+2=8，q=c_2/c_1=3≠c_3/c_2=8/3，故该数列不是等比数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+n^2，则f_4=20。（）解：由递推关系f_{n+1}=f_n+n^2，可得f_2=2+1=3，f_3=3+4=7，f_4=7+9=16。错误。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，则该数列的公比q一定是3。（）解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_4=g_1q^3=81，得q^3=27，故q=3。正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2^{n-1}。正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，则i_5=31。（）解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n，可得i_2=1+2=3，i_3=3+4=7，i_4=7+6=13，i_5=13+8=21。错误。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=0，j_3=6，则该数列的公差d等于3。（）解：由等差数列性质j_3=j_1+2d=6，代入j_1=0得2d=6，解得d=3。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=2^n-1，求d_3的值。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=1，当n≥2时d_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故d_3=2^2=4。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，求e_5的值。解：由递推关系e_{n+1}=e_n+n，可得e_2=1+1=2，e_3=2+2=4，e_4=4+3=7，e_5=7+4=11。6.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_2+f_3=12，f_4+f_5+f_6=18，求该数列的公差d。解：由等差数列性质f_1+f_2+f_3=3f_1+3d=12，f_4+f_5+f_6=3f_4+3d=18，两式相减得3(f_4-f_1)=6，即3×3d=6，解得d=2/3。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-2，求g_4的值。解：由数列前n项和与通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1，当n≥2时g_n=2×3^{n-1}-1，验证n=1时成立，故g_4=2×3^3-1=55。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+log_2(n+1)，求h_5的值。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+log_2(n+1)，可得h_2=2+log_2(2)=3，h_3=3+log_2(3)，h_4=3+log_2(3)+log_2(4)=3+log_2(3)+2，h_5=3+log_2(3)+2+log_2(5)≈7.32。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=10，d=5，第10年生产设备数量a_{10}=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，2025年人口数量b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某投资账户初始金额为10000元，每年复利利率为8%，求5年后的账户金额。解：由等比数列{c_n}中，c_1=10000，q=1.08，5年后账户金额c_5=10000×1.08^5≈14693.28元。4.某林场计划每年比前一年多植树1000棵，已知第一年植树5000棵，求第8年植树数量。解：由等差数列{d_n}中，d_1=5000，d=1000，第8年植树数量d_8=5000+7×1000=12000棵。5.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{e_n}中，e_1=100，q=0.95，2024年成本e_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某公司员工工资每年上涨10%，已知2020年工资为5000元，求2023年工资。解：由等比数列{f_n}中，f_1=5000，q=1.1，2023年工资f_3=5000×1.1^3≈6695元。7.某城市道路建设每年完成总长度的1/3，已知2020年道路总长度为100公里，求2023年道路总长度。解：由等比数列{g_n}中，g_1=100，q=2/3，2023年道路总长度g_3=100×(2/3)^3≈29.33公里。8.某产品销量每年增长20%，已知2020年销量为1000件，求2024年销量。解：由等比数列{h_n}中，h_1=1000，q=1.2，2024年销量h_4=1000×1.2^4≈2073.6件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.无正确答案（需修正题目）4.A、C5.无正确答案（需修正题目）6.无正确答案（需修正题目）7.B8.C9.无正确答案（需修正题目）10.B二、填空题1.3n-12.4n-13.474.±25.2n-16.177.2.758.log_3(85)≈4.439.1110.34三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.a_n=3n-12.b_4=83.q=±34.d_3=45.e_5=116.d=2/37.g_4=558.h_5≈7.32五、应用题1.a_{10}=55台2.b_5≈161.05万3.c_5≈14693.28元4.d_8=12000棵5.e_4≈81.46元6.f_3≈6695元7.g_3≈29.33公里8.h_4≈2073.6件【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。选项A正确。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_4=2×4=8。选项D正确。3.由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4=1+2+4，...，c_{10}=1+2+4+6+...+20=1+2×(1+2+3+...+10)=1+2×55=111。选项无正确答案，需修正题目。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项A、C正确。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_4=2×4=8。选项D正确。6.由递推关系f_{n+1}=f_n+2^n，可得f_2=3+2，f_3=5+4，f_4=9+8=17。选项无正确答案，需修正题目。7.由等差数列性质a_3+a_5=2a_1+8d=22，代入a_1=5得10+8d=22，解得d=2.75。选项无正确答案，需修正题目。8.由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}-1，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3-1=55。选项D正确。9.由递推关系i_{n+1}=i_n+n，可得i_2=0+1，i_3=1+2，...，i_5=6+5=11。选项无正确答案，需修正题目。10.由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，得q^2=4，故q=±2，前5项和S_5=2×(1-(±2)^5)/(1-±2)=34。选项B正确。二、填空题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_3=2×3=6。3.由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3，c_3=c_2+6=1+3，...，c_6=1+3+6+9+12+15=46。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_4=2×4=8。6.由递推关系f_{n+1}=f_n+2^n，可得f_2=3+2，f_3=5+4，f_4=9+8=17。7.由等差数列性质a_3+a_5=2a_1+8d=22，代入a_1=5得10+8d=22，解得d=2.75。8.由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}-1，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3-1=55。三、判断题1.错误。由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，当n≥2时a_n=4n-5，验证n=1时a_1=-1≠4×1-5，故该数列不是等差数列。2.错误。由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，得q^3=16，故q=2√2，不一定是2。3.错误。由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，取n=1得c_2=2c_1+1=3，取n=2得c_3=2c_2+2=8，q=c_2/c_1=3≠c_3/c_2=8/3，故该数列不是等比数列。4.正确。由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。5.正确。由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。6.错误。由递推关系i_{n+1}=i_n+n，可得i_2=0+1，i_3=1+2，i_4=3+3=6，i_5=6+4=10。7.正确。由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=81，得q^2=27，故q=3。8.正确。由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2^{n-1}。9.错误。由递推关系i_{n+1}=i_n+n，可得i_2=1+1=2，i_3=2+2=4，i_4=4+3=7，i_5=7+4=11。10.正确。由等差数列性质j_3=j_1+2d=6，代入j_1=0得2d=6，解得d=3。四、简答题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_