2025-2026年天津市北师大版初中数学代数运算专项训练习题

2025-2026年天津市北师大版初中数学代数运算专项训练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.计算（﹣3a²b）²•（﹣ab）³的结果是（）A．9a⁵b⁵B．﹣9a⁵b⁵C．﹣6a⁴b⁴D．6a⁵b⁵解析：原式=9a⁴b²•（﹣a³b³）=﹣9a⁷b⁵，故选B。2.若代数式（m﹣2）x²+3x+1在x=1时值为5，则m的值是（）A．2B．3C．4D．5解析：代入x=1得（m﹣2）•1²+3•1+1=5，解得m=3，故选B。3.化简分式$$\frac{x²-9}{x²+6x+9}$$的结果是（）A．$$\frac{x-3}{x+3}$$B．$$\frac{x+3}{x-3}$$C．1D．0解析：原式=$$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)²}$$=$$\frac{x-3}{x+3}$$，故选A。4.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±1解析：由判别式△=m²﹣4=0得m=±2，但选项中无2，故命题错误，正确答案应为±2。5.计算（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣b）²的结果是（）A．2a²+5b²B．2a²﹣5b²C．a²+5b²D．a²﹣5b²解析：原式=a²﹣4b²+a²﹣2ab+b²=2a²﹣3b²，故选B。6.若x=2是方程2x²﹣kx+4=0的一个根，则k的值是（）A．4B．6C．8D．10解析：代入x=2得2•2²﹣k•2+4=0，解得k=6，故选B。7.化简根式$$\sqrt{50}$$的结果是（）A．5$$\sqrt{2}$$B．$$\sqrt{25}$$C．10$$\sqrt{5}$$D．25$$\sqrt{2}$$解析：原式=$$\sqrt{25×2}$$=5$$\sqrt{2}$$，故选A。8.若关于x的方程ax+b=0的解是x=﹣$$\frac{1}{2}$$，则$$\frac{a}{b}$$的值是（）A．﹣2B．2C．$$\frac{1}{2}$$D．﹣$$\frac{1}{2}$$解析：代入x=﹣$$\frac{1}{2}$$得a•（﹣$$\frac{1}{2}$$）+b=0，即a=﹣2b，故$$\frac{a}{b}$$=﹣2，故选A。9.若a﹣b=3，ab=2，则a²+b²的值是（）A．5B．7C．9D．11解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=3²+2×2=11，故选D。10.若分式$$\frac{x²-1}{x²+x-2}$$的值为0，则x的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2解析：分子x²﹣1=0得x=±1，但x=1时分母为0，故x=﹣1，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若x=2是方程3x²﹣mx+2=0的一个根，则m的值是______。参考答案：4解析：代入x=2得3•2²﹣m•2+2=0，解得m=4。2.化简（a+1）²﹣（a﹣1）²的结果是______。参考答案：4a解析：原式=a²+2a+1﹣（a²﹣2a+1）=4a。3.若分式$$\frac{x-1}{x²-1}$$的值为0，则x的值是______。参考答案：1解析：分子x﹣1=0得x=1，分母x²﹣1≠0，故x=1。4.若关于x的一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则p²﹣4q的值是______。参考答案：＞0解析：由判别式△=p²﹣4q＞0得p²﹣4q＞0。5.计算$$\sqrt{72}$$的结果是______。参考答案：6$$\sqrt{2}$$解析：原式=$$\sqrt{36×2}$$=6$$\sqrt{2}$$。6.若a+b=5，ab=3，则a²+b²的值是______。参考答案：13解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=5²﹣2×3=13。7.化简分式$$\frac{x³-1}{x²-1}$$的结果是______。参考答案：x+1解析：原式=$$\frac{(x-1)(x²+x+1)}{(x-1)(x+1)}$$=$$\frac{x²+x+1}{x+1}$$（x≠±1）。8.若关于x的方程ax+b=0的解是x=3，则$$\frac{a}{b}$$的值是______。参考答案：﹣$$\frac{1}{3}$$解析：代入x=3得a•3+b=0，即a=﹣$$\frac{b}{3}$$，故$$\frac{a}{b}$$=﹣$$\frac{1}{3}$$。9.若分式$$\frac{x²-4}{x²+x-6}$$的值为1，则x的值是______。参考答案：2解析：原式=$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}$$=1（x≠2），解得x=2。10.若a﹣b=2，ab=1，则a²+b²的值是______。参考答案：6解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=2²+2×1=6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若x=1是方程ax+b=0的解，则a+b=0。参考答案：×解析：代入x=1得a+b=0，故正确。2.若a²=b²，则a=b。参考答案：×解析：a=±b，故错误。3.若分式$$\frac{x²-1}{x²+1}$$的值为0，则x=1。参考答案：√解析：分子x²﹣1=0得x=±1，但x=﹣1时分母为1≠0，故x=1。4.若关于x的一元二次方程x²+mx+n=0有两个相等的实数根，则m²=4n。参考答案：√解析：由判别式△=m²﹣4n=0得m²=4n。5.若a+b=0，ab=0，则a=b=0。参考答案：√解析：ab=0得a=0或b=0，若a=0则b=0，故a=b=0。6.若x=2是方程x²+px+q=0的一个根，则x=﹣$$\frac{p}{2}$$。参考答案：√解析：由韦达定理x₁+x₂=﹣p得x₂=﹣p﹣x₁=﹣p﹣2，故x₂=﹣$$\frac{p}{2}$$。7.若a﹣b=1，ab=2，则a²+b²=5。参考答案：√解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=1²+2×2=5。8.若分式$$\frac{x²-9}{x²+3x}$$的值为0，则x=3。参考答案：√解析：分子x²﹣9=0得x=±3，但x=﹣3时分母为0，故x=3。9.若a+b=5，ab=6，则a²+b²=49。参考答案：√解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=5²﹣2×6=25﹣12=49。10.若关于x的方程ax=b的解是x=0，则a=0。参考答案：×解析：若a=0则方程无解，故a≠0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.化简（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）²的结果。参考答案：a²﹣5b²解析：原式=4a²﹣b²﹣（a²+2ab+b²）=3a²﹣2ab﹣2b²。2.若关于x的方程mx+1=0的解是x=﹣2，求m的值。参考答案：$$\frac{1}{2}$$解析：代入x=﹣2得m•（﹣2）+1=0，解得m=$$\frac{1}{2}$$。3.若a+b=3，ab=2，求a²+b²的值。参考答案：7解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=3²﹣2×2=7。4.化简根式$$\sqrt{45}$$的结果。参考答案：3$$\sqrt{5}$$解析：原式=$$\sqrt{9×5}$$=3$$\sqrt{5}$$。5.若分式$$\frac{x²-4}{x²-2x}$$的值为2，求x的值。参考答案：2解析：原式=$$\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$$=1（x≠0且x≠2），故x=2。6.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。参考答案：m＜﹣2或m＞2解析：由判别式△=m²﹣4＞0得m＜﹣2或m＞2。7.若a﹣b=1，ab=3，求a²+b²的值。参考答案：10解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=1²+2×3=7。8.化简分式$$\frac{x³-1}{x²+x+1}$$的结果。参考答案：x-1解析：原式=$$\frac{(x-1)(x²+x+1)}{x²+x+1}$$=x﹣1（x≠1）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知一个长方形的周长为20cm，长比宽多3cm，求长方形的长和宽。参考答案：长=7cm，宽=4cm解析：设宽为xcm，则长为（x+3）cm，由2（x+x+3）=20得x=4，故长=7cm，宽=4cm。2.若关于x的方程ax+b=0的解是x=﹣$$\frac{1}{3}$$，且a=2，求b的值。参考答案：b=﹣$$\frac{2}{3}$$解析：代入x=﹣$$\frac{1}{3}$$得2•（﹣$$\frac{1}{3}$$）+b=0，解得b=﹣$$\frac{2}{3}$$。3.若a+b=4，ab=3，求a²+b²的值。参考答案：10解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=4²﹣2×3=10。4.化简（a+2）（a﹣2）+（a﹣1）²的结果。参考答案：2a²﹣3a+3解析：原式=a²﹣4+a²﹣2a+1=2a²﹣2a﹣3。5.若分式$$\frac{x²-1}{x²+x-2}$$的值为1，求x的值。参考答案：2解析：原式=$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$=1（x≠1且x≠﹣2），解得x=2。6.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，求m的值。参考答案：m=±2解析：由判别式△=m²﹣4=0得m=±2。7.若a﹣b=2，ab=1，求a²+b²的值。参考答案：6解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=2²+2×1=6。8.化简根式$$\sqrt{80}$$的结果。参考答案：4$$\sqrt{5}$$解析：原式=$$\sqrt{16×5}$$=4$$\sqrt{5}$$。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件x元，若销售量为（50﹣$$\frac{1}{2}$$x）件，求当销售量为40件时，x的值。参考答案：x=30解析：由50﹣$$\frac{1}{2}$$x=40得x=30。2.若关于x的方程ax+b=0的解是x=3，且a=5，求b的值。参考答案：b=﹣15解析：代入x=3得5•3+b=0，解得b=﹣15。3.若a+b=6，ab=5，求a²+b²的值。参考答案：26解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=6²﹣2×5=26。4.化简（a+3）（a﹣3）﹣（a+1）²的结果。参考答案：﹣8a﹣8解析：原式=a²﹣9﹣（a²+2a+1）=﹣8a﹣10。5.若分式$$\frac{x²-4}{x²-2x}$$的值为2，求x的值。参考答案：2解析：原式=$$\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$$=1（x≠0且x≠2），故x=2。6.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。参考答案：m＜﹣2或m＞2解析：由判别式△=m²﹣4＞0得m＜﹣2或m＞2。7.若a﹣b=3，ab=2，求a²+b²的值。参考答案：11解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=3²+2×2=11。8.化简根式$$\sqrt{108}$$的结果。参考答案：6$$\sqrt{3}$$解析：原式=$$\sqrt{36×3}$$=6$$\sqrt{3}$$。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.试述一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²﹣4ac的几何意义。参考答案：△＞0时方程有两个不相等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程无实数根。2.试述分式$$\frac{a}{b}$$（b≠0）的值为0的条件。参考答案：分子a=0且分母b≠0。3.试述平方根的性质。参考答案：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。4.试述完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²的几何意义。参考答案：表示边长为a+b的正方形的面积。5.试述一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解的唯一性。参考答案：方程有且只有一个解x=﹣$$\frac{b}{a}$$。6.试述根式$$\sqrt{a}$$（a≥0）的化简方法。参考答案：将a分解为完全平方数与质因数的乘积，如$$\sqrt{72}$$=6$$\sqrt{2}$$。7.试述多项式除以单项式的法则。参考答案：将多项式的每一项分别除以单项式，如（6x³y²+9x²y³）÷3xy²=2x²+3xy。8.试述一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式。参考答案：x₁=$$\frac{﹣b+\sqrt{b²﹣4ac}}{2a}$$，x₂=$$\frac{﹣b-\sqrt{b²﹣4ac}}{2a}$$。9.试述分式加减法的法则。参考答案：通分后分子相加减，如$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$=$$\frac{ad+bc}{bd}$$。10.试述平方差公式（a+b）（a﹣b）=a²﹣b²的几何意义。参考答案：表示边长为a+b的长方形与边长为b的正方形面积之差。八、综合题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.若关于x的方程ax+b=0的解是x=﹣2，且a=3，求b的值。参考答案：b=6解析：代入x=﹣2得3•（﹣2）+b=0，解得b=6。2.若a+b=5，ab=6，求a²+b²的值。参考答案：13解析：由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=5²﹣2×6=13。3.化简（a+2）（a﹣2）+（a﹣1）²的结果。参考答案：2a²﹣3a+3解析：原式=a²﹣4+a²﹣2a+1=2a²﹣2a﹣3。4.若分式$$\frac{x²-1}{x²+x-2}$$的值为1，求x的值。参考答案：2解析：原式=$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$=1（x≠1且x≠﹣2），故x=2。5.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，求m的值。参考答案：m=±2解析：由判别式△=m²﹣4=0得m=±2。6.若a﹣b=3，ab=2，求a²+b²的值。参考答案：11解析：由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=3²+2×2=11。7.化简根式$$\sqrt{80}$$的结果。参考答案：4$$\sqrt{5}$$解析：原式=$$\sqrt{16×5}$$=4$$\sqrt{5}$$。8.若某商品的成本为每件10元，售价为每件x元，若销售量为（50﹣$$\frac{1}{2}$$x）件，求当销售量为40件时，x的值。参考答案：x=30解析：由50﹣$$\frac{1}{2}$$x=40得x=30。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.D5.B6.B7.A8.A9.D10.B解析：1.原式=9a⁴b²•（﹣a³b³）=﹣9a⁷b⁵；2.代入x=1得m﹣2+3+1=5，解得m=3；3.原式=$$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)²}$$=$$\frac{x-3}{x+3}$$；4.△=m²﹣4=0得m=±2；5.原式=a²﹣4b²+a²﹣2ab+b²=2a²﹣3b²；6.代入x=2得8﹣2k+4=0，解得k=6；7.原式=$$\sqrt{36×2}$$=6$$\sqrt{2}$$；8.代入x=﹣$$\frac{1}{2}$$得﹣$$\frac{1}{2}$$a+b=0，即a=﹣2b，故$$\frac{a}{b}$$=﹣2；9.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=3²+2×2=11；10.分子x²﹣1=0得x=±1，但x=1时分母为0，故x=﹣1。二、填空题1.412.4a13.114.＞015.6$$\sqrt{2}$$16.1317.x+118.﹣$$\frac{1}{3}$$19.220.6解析：11.代入x=2得3•4﹣m•2+2=0，解得m=4；12.原式=a²+2a+1﹣（a²﹣2a+1）=4a；13.分子x﹣1=0得x=1，分母x²﹣1≠0，故x=1；14.由判别式△=p²﹣4q＞0得p²﹣4q＞0；15.原式=$$\sqrt{36×2}$$=6$$\sqrt{2}$$；16.由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=5²﹣2×3=13；17.原式=$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$$=x+1（x≠±1）；18.代入x=3得a•3+b=0，即a=﹣$$\frac{b}{3}$$，故$$\frac{a}{b}$$=﹣$$\frac{1}{3}$$；19.原式=$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}$$=1（x≠2），解得x=2；20.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=2²+2×1=6。三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.×解析：21.若x=1则a+b=0，但若a+b=0则x可取任意值，故错误；22.a=±b，故错误；23.分子x²﹣1=0得x=±1，但x=﹣1时分母为1≠0，故x=1；24.由判别式△=m²﹣4n=0得m²=4n；25.ab=0得a=0或b=0，若a=0则b=0，故a=b=0；26.由韦达定理x₁+x₂=﹣p得x₂=﹣p﹣x₁=﹣p﹣2，故x₂=﹣$$\frac{p}{2}$$；27.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=1²+2×2=7；28.原式=$$\frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}$$=1（x≠0且x≠3），故x=3；29.由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=5²﹣2×6=25﹣12=49；30.若a=0则方程无解，故a≠0。四、简答题1.原式=4a²﹣b²﹣（a²+2ab+b²）=3a²﹣2ab﹣2b²2.代入x=﹣2得2•（﹣2）+b=0，解得b=43.由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=4²﹣2×3=104.原式=$$\sqrt{36×2}$$=6$$\sqrt{2}$$5.原式=$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$=1（x≠0且x≠1），故x=16.由判别式△=m²﹣4＞0得m＜﹣2或m＞27.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=1²+2×3=78.原式=$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$$=1（x≠1且x≠﹣1）五、应用题1.设宽为xcm，则长为（x+3）cm，由2（x+x+3）=20得x=4，故长=7cm，宽=4cm2.代入x=﹣$$\frac{1}{3}$$得2•（﹣$$\frac{1}{3}$$）+b=0，解得b=﹣$$\frac{2}{3}$$3.由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=4²﹣2×3=104.原式=a²﹣4+a²﹣2a+1=2a²﹣2a﹣35.原式=$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$=1（x≠1且x≠﹣2），解得x=16.由判别式△=m²﹣4＞0得m＜﹣2或m＞27.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=2²+2×1=68.原式=$$\sqrt{16×5}$$=4$$\sqrt{5}$$9.由50﹣$$\frac{1}{2}$$x=40得x=3010.代入x=3得5•3+b=0，解得b=﹣1511.由（a+b）²=a²+b²+2ab得a²+b²=6²﹣2×5=2612.原式=a²﹣4+a²﹣2a+1=2a²﹣2a﹣313.原式=$$\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$$=1（x≠0且x≠2），故x=214.由判别式△=m²﹣4＞0得m＜﹣2或m＞215.由（a﹣b）²=a²+b²﹣2ab得a²+b²=3²+2×2=1116.原式=$$\sqrt{36×3}$$=6$$\sqrt{3}$$六、案例分析题1.△＞0时方程有两个不相等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程无实数根2.分子a=0且分母b≠03.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根4.表示边长为a+b的正方形的面积5.方