【八年级上册数学】【等边三角形】九大题型

八上数学【等边三角形】九大题型

【知识点1等边三角形】

定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。.

等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】

【例1】（2022•泰兴市期末）（1）如图1,NA0B和NC0D都是直角

①若NB0C=60。,则/B0D=°,ZA0C=°；

②改变NB0C的大小，则NBOD与NAOC相等吗？为什么？

（2）如图2,NA0B=/C0D=80°，若NAOD=NB0C+40。，求NAOC的度数；

（3）如图3,将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重

合放置，若NBAE=10°,NHAF=30°,则/1=°.

【变式1T】（2022•巫溪县校级月考）已知：如图，aABC是等边三角形，D是

BC延长线上的点,BE、CE分别平分NABC和NACD,求NBEC的度数.

E

BD

【变式『2】（2022•太原期末）问题情境：如图1,点D是aABC外的一点，点

E在BC边的延长线上，BD平分NABC,CD平分NACE.试探究ND与NA的数

量关系.

（1）特例探究：

如图2,若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则ND=；

如图3,若4ABC是等腰三角形，顶角NA=100。，其余条件不变，则ND

=;这两个图中，ND与NA度数的比是；

（2）猜想证明：

如图1,AABC为一般三角形，在（1）中获得的ND与NA的关系是否还成立？

若成立，利用图1证明你的结论：若不成立，说明理由.

【变式1-3]（2022•龙港区期末）已知aABC,AEFG是边长相等的等边三角形,

点D是边BC,EF的中点.

（1）如图①，连接AD,GD,贝IJNADC的大小=（度）；

NGDF的大小=（度）；

AD与GD的数量关系是；

DC与DF的数量关系是；

（2）如图②，直线AG,FC相交于点M,求NAMF的大小.

【题型2共顶点的等边三角形（手拉手图形）】

【例2】（2022•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），

在AE同侧分别作等边aABC和等边aCDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于

点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ〃AE；③0P=0Q；④ZXCPQ为等边三角形；⑤NA0B=60°.其

中正确的有.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【变式2-1］（2022•西青区期末）如图，^ABC和4CDE都是等边三角形，点E

在4ABC内部，连接AE,BE,BD.若NEBD=50°,则NAEB的度数是

BC

D

【变式2-2](2022•兴化市校级月考)如图1,等边AABC中，D是AB边上的

点，以CD为一边，向上作等边△£口(：,连接AE.

(1)求证：△DBC也AEAC；

(2)求证：AE/7BC；

(3)如图2,若D在边BA的延长线上，且AB=6,AD=2,试求AABC与4EAC

面积的比值.

⑵

【变式2-3](2022•赫山区期末)如图,△ABC和4CDE都为等边三角形，E在

BC上，AE的延长线交BD于F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求NAFB的度数:

(3)求证：CF平分NAFD；

(4)直接写出EF,DF,CF之间的数量关系.

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】

【例3】(2022•禅城区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为

(2,0),以线段0C为边在第一象限内作等边△0BC,点D为x轴正半轴上

一动点(0D>2)，连结BD,以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE,直线

CE与y轴交于点A,则点A的坐标为()

A.(0,-V3)B.(0,-2V3)C.(0,-2)D.(0,-272)

【变式3-1](2022•龙口市期木)如图,在直角坐标系xOy中，直线MN分别与

x轴，y轴交于点M,N,且0M=4,Z0MN=30°,等边AAOB的顶点A,B分

别在线段MN,0M上，点A的坐标为()

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(V3,1)D.(|,V3)

【变式3-2](2022•新洲区期末)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正

半轴上，点B在第二象限,AO=a,AB=b,B0与x轴正方向的夹角为150°,

且a?-b2+a-b=0.

(1)试判定aABO的形状；

(2)如图1,若BCJ_BO,BC=BO,点D为CO的中点，AC、BD交于E,求证：

AE=BE+CE；

(3)如图2,若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边ABEG,延

长GA交x轴于点P,问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论.

蚤2

【变式3-3］（2022•汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（-2,

0),B(2,0),C(6,0),D为y轴正半轴上一点，且N0DB=30°,延长

DB至E,使BE=BD.P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上,

且NEMA=60°，AM交BE于N.

(1)求证：BE=BC；

(2)求证：ZANB=ZEPC；

(3)当P点运动时，求BP-BN的值.

【题型4与等边三角形有关的线段长度的计算】

【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边

BC上一点，且BD=M：D.点E,F分别在边AB,AC上，且NEDF=90°,M为

2

边EF的中点，连接CM交DF于点N.若DF〃AB,则CM的长为（)

E

A.-V3B.I”C.|V3D.V3

46

【变式4-1］（2022•西乡县期末）如图，AABC是等边三角形，BD是中线，过

点D作DIUAB于E交BC边延长线于F,AE=1,求BF的长.

【变式4-2］（2022•浙江模拟）如图，等边AABC的边长为10,点P是边AB的

中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2,过P作PEJ_AC于E,连PQ交

AC边于D,求DE的长

【变式4-3］（2022•崇川区校级月考）如图，在AABC中，AB=AC,D、E是4

ABC内两点，AD平分NBAC,ZEBC=ZE=60°,若BE=30cm,DE=2cm,则

BC=cm.

R

【题型5等边三角形的证明】

【例5】(2022•建水县校级期中)如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一

点，以AD为边作NADE=60。，DE与aABC的外角平分线CE交于点E,连接

AE.求证：4ADE是笔边三角形.

【变式5-1]如图，已知AABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点

D,使得ACDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，

求证：aCMN是等边三角形.

【变式5-2](2022•龙口市期末)如图，E是NA0B的平分线上一点，EC10B,

ED±0A,C、D是垂足，连接CD交OE于点F,若NA0B=60°.

(1)求证：AOCD是等边三角形;

(2)若EF=5,求线段0E的长.

c

R

【变式5-3]（2022•韶关期末）已知：如图，△ABC、ACDE都是等边三角形,

AD、BE相交于点。，点M、N分别是线段AD、BE的中点.

（1）求证：AD=BE；

（2）求ND0E的度数;

（3）求证：△MNC是等边三角形.

【题型6与等边三角形有关的规律问题】

【例6】（2022•思明区校级期中）如图,已知NM0N=30°,点Ai,A2,A3…在

射线ON上，点B”B2?B3…在射线0M上,△ABA2,AA2B2A3,AAsB3Al…均为

等边三角形，若0A1=2,则人的边长为

M

【变式6-1]（2022•简阳市期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如

下运动：从坐标原点开始起跳记为A”然后沿着边长为1的等边三角形跳跃

即A[fA2fA3-A1-A.5.........已知A3的坐标为（1,0）,则A'2018的坐标

是

环

5-

【变式6-2］（2022•定兴县二模）如图，AABC是一个边长为2的等边三角形，

ADdBC,垂足为点D。.过点D。作D°D」AB,垂足为点再过点D作DQ_L

ADo,垂足为点D2；又过点D2作D2D3_LAB,垂足为点D3；…；这样一直作下去，

得到一组线段:DODHD,D2,D2D3,…,则线段DJ）2的长为，线段以.

R的长为（n为正整数）.

【变式6-3］（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点九是面积为3的等边△ABC的两

条中线的交点，以BA1为一边，构造等边△BAC,称为第一次构造；点人2是4

BAC的两条中线的交点，再以BA?为一边，构造等边ABA2c2,称为第二次构

造；以此类推，当第n次构造出的等边△BAL的边与等边aCBA的边AB

第一次在同一直线上时，构造停止.则构造出的最后一个三角形的面积

是.

【题型7利用等边三角形的性质进行证明】

【例7】（2000•内蒙古）如图，已知aABC为等边三角形，延长BC到D,延长

BA到E,并且使AE=BD,连接CE,DE.求证：EC=ED.

【变式7-1］如图，在等边三角形ABC中，BO,C0分别平分NABC,ZACB,0E〃

AB,OF〃AC,试说明BE=EF=FC.

【变式7-2］（2022•绵竹市期末）在等边AABC中，点E是AB上的动点，点E

与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.

（1）如图1,若点E是AB的中点，求证：BD=AE；

（2）如图2,若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？

若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明.

BDBD

图1图2

【变式7-3](2022•建平县期末)如图(1),等边AABC中，D是AB边上的动

点，以CD为一边，向上作等边△£口(：,连接AE.

(1)ZWBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；

(2)试说明AE〃BC的理由；

(3)如图(2),将(1)动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角

形，请问是否仍有AE〃BC?证明你的猜想.

【题型8与等边三角形有关的动点问题】

【例8】(2022•香洲区期中)如图，在等边aABC中，AB=9cm,点P从点C出

发沿CB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以

5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发，它们移动的口寸间为t秒钟.

(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来.

(2)请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？

(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿aABC三

边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

R

【变式8-1](2022•渭滨区期末)如图，在等边△ABC中，AB=12cm,现有M,

N两点分别从点A,B同时出发，沿aABC的边按顺时针方向运动，已知点M

的速度为Icm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次到达B点时，M,N同

时停止运动，设运动时间为t(s).

(1)当t为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

(2)当点M,N在BC边上运动时，是否存在使AM=AN的位置？若存在，请求

出此时点M,N运动的时间；若不存在，请说明理由.

【变式8-2](2022•金牛区校级期中)如图1,点P、Q分别是等边4ABC边AB、

BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们

的运动速度相同，连接AQ、CP交干点M.

(1)求证：△ABQ04CAP；

(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，NQMC变化吗？若变化，请说明

理由；若不变，求出它的度数.

(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、

CP交点为M,则NQMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度

数.

【变式8-3］（2022♦禄劝县期末）如图，在等边AABC中，AC=6,点0在AC上,

且A0=2,点P是AB上一动点，连接0P,将线段0P绕点。逆时针旋转60°

得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？

【知识点2含30°角的直角三角形】

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边

的一半。

【题型9含30。角的直角三角形性质】

【例9】（2022•尚志市期中）己知：如图△ABC中，AB=AC,ZC=30°,AB±

AD,DE1AC.

（1）求证：AE=EC；

（2）若DE=2,求BC的长.

【变式9-1］（2022•武清区期中）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,

点P为BC边的中点，PDLAC于点D.

求证：CD=3AD.

【变式9-2］（2022•涅中县校级月考）如图，已知NA0B=60°,点P在边OA

上，0P=12,点M,N在边OB上，PM=PN,若MN=5,求OM的长度.

【变式9-3］（2022•尚志市期中）如图所示，等边AABC中，AD_LBC于D,点P

是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合）,过点P作

PE1BC,垂足为E,过E作EF_LAC,垂足为F.

（1）如图1,求证：2BD=2CF+BE；

（2）若AB=4,过F作FQJ_AB,垂足为Q,PQ=1,求BP的长.

参考答案及解析

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】

【例1】（2022•泰兴市期末）（1）如图1,NA0B和/COD都是直角

①若NB0C=60°,则NB0D=30°,ZA0C=30；

②改变NB0C的大小，则/BOD与NA0C相等吗？为什么？

（2）如图2,ZA0B=ZC0D=80°,若NA0D=NB0C+40。，求NA0C的度数；

（3）如图3,将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若/

BAE=10°,ZHAF=30°,则N1=20°.

【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据角的和差即可得到结果；

（3）根据等边三角形的性质得到NDAH=NEAF=NBAC=60°,根据角的和差即可得到结

论.

【解答】解：（1）・・,NAQB和NC0D都是宜角，ZB0C-600,

.,.ZB0D=30°,ZA0C=30°,

故答案为：30,30；

（2）VZA0B=ZC0D=80o,

.,.ZAOC=ZBOD=i（ZAOD-ZBOC）,

2

VZA0D=ZB0C+40°,

/.ZA0C=20°；

（3）VZDAH=ZEAF=ZBAC=60°,

・・・NDAE=NHAF=30°,

/.Zl=60°-30°-10°=20°.

故答案为：20.

【变式IT】（2022•巫溪县校级月考•）已知：如图，AABC是等边三角形，D是BC延长线上

的点，BE、CE分别平分NABC和NACD,求NBEC的度数.

E

0CD

【分析】AABC是等边三角形的外角是120。，平分后是60。，又由角平分线与角的对边

垂直可知所求角是直角三角形内的一个锐角，故而可解得.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，且有BE、CE分别平分NABC和NACD,AC±BE,

AZECD=(180°-60°)4-2=120°4-2=60°,

Z.ZACE=60°,

又・・・AC_LBE,

・・・NBEC=180°-90°-60°=30°.

【变式1-2](2022•太原期末)问题情境：如图1,点D是△ABC外的一点，点E在BC边的

延长线上，BD平分NABC,CD平分NACE.试探究ND与NA的数量关系.

(1)特例探究：

如图2,若aABC是等边三角形，其余条件不变，则ND=3(T:

如图3,若aABC是等腰三角形，顶角NA=100°,其余条件不变，则ND=50。；

这两个图中，ND与NA度数的比是1：2；

(2)猜想证明：

如图1,4ABC为一般三角形，在(1)中获得的ND与NA的关系是否还成立？若成立，利

用图1证明你的结论；若不成立，说明理由.

【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用NA和ND表示出

NACE,再根据角平分线的定义得到NACE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用NA和ND表示出NACE,再

根据角平分线的定义得到/ACE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【解答】解：(1)如图2,二,△ABC是等边三角形,

AZABC=60°,ZACE=120°,

•・・BD平分NABC,CD平分NACE.

・・・NDBC=30°,ZDCE=60°,

VZDCE=ZD+ZDBC,

・・・ND=30°；

如图3,■△ABC是等腰三角形,ZA=100°,

AZABC=ZACB=40°,ZACE=140°,

•・・BD平分NABC,CD平分/ACE.

.,.ZDBC=20°,ZDCE=70°,

VZDCE=ZD+ZDBC,

・・・ND=50°；

故答案为30°,50°,1：2；

(2)成立,

如图1,在△ABC中，ZACE=ZA+ZABC,

在ZiDBC中,ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

〈CD平分NACE,BD平分/ABC,

AZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

XVZACE=ZA+ZABC,

・・・2NDCE=NA+2NDBC,・・・(2)

由(1)X2-(2),

A2ZD+2ZDBC-(ZA+2ZDBC)=0,

・・・NA=2ND.

【变式1-3](2022•龙港区期末)已知AABC,AEFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC,

EF的中点.

(1)如图①，连接A【)，GD,则/ADC的大小=9()(度):/GDF的大小=90

(度)；

AD与GD的数量关系是AD=GD；DC与DF的数量关系是DC=DF；

（2）如图②，直线AG,FC相交于点M,求NAMF的大小.

A

图①图②

【分析】（1）如图①中，根据等边三角形的性质解答即可.

（2）如图连接AD,DG,利用等边三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：（1）如图①，连接AD,GD,二•△ABC是等边三角形，BD=DC,则NADC的大

小=90°；

•「△EGF是等边三角形，ED=DF,

图②

.'.ZGDF=90°；

VBC=EF,

.,.AD=GD；DC=DF；

故答案为：90；90；AD=GD；DC=DF.

(2)连接AD,DG,

由(1)得：NADC=NGDF=90°,

・•・ZADC-ZGDC=ZGDF-ZGDC,

即N1=N2,

由（1）得：AD=GD,

18O0-Z1

AZDGA=ZDAG=

2

由（1）得：DC=DF,

・・・N3=NDCF=『

AZDGA=Z3,

VZAMF=ZAGF+Z5,

・・・ZAMF=ZDGA+Z5+Z4

=N3+N5+N4

=180°-ZGDF

=180°-90°

=90°.

【题型2共顶点的等边三角形（手拉手图形）】

【例2】（2022•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（小与点A,E重合），在AE同侧

分别作等边4ABC和等边4CDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,

连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ〃AE；③0P=0Q；④△CPQ为等边三带形；⑤NA0B=60°.其中正确的有

①②④⑤.（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACDgABCE,即可得出AD=BE,①正确.

④先证明4ACPg△BC'Q,即可判断出CP=CQ,即可得④正确；

②根据NPCQ=60°,可得aPCQ为等边三角形，证出NPQC=NDCE=60°,得出PQ〃AE,

②正确.

③没有条件证出0P=0Q,得出③错误；

⑤NA0B=NDAE+NAE0=/DAE+NADC=NDCE=60°,⑤正确；即可得出结论.

【解答】解：:△ABC和ACDE都是等边三角形，

.e.AC=BC,CD=CE,ZACE=ZDCE=60°,

ZACR+ZRCD=/DCR+/RCI),

.,-ZACD=ZBCE,

在AACD^fllABCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,

.,.△ACD^ABCE(SAS),

AAD=BE,结论①正确.

•••△AC修△BCE,

AZCAD=ZCBE,

XVZACB=ZDCE=60°,

.,.ZBCD=180°-60°-60°=60°,

・・・NACP=NBCQ=60°,

在AACP和ABCQ中，

ZACP=ZBCQ,ZCAP=ZCBQ,AC=BC,

.'.△ACP^ABCQ（AAS）,

・・・AP=BQ,CP=CQ,

又・・・NPCQ=60°,

•••△PCQ为等边三角形，结论④正确；

・・・NPQC=NDCE=60°,

・・・PQ〃AE,结论②正确.

VAACD^ABCE,

.e.ZADC=ZAEO,

・•・ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

，结论⑤正确.

没有条件证出0P=0Q,③错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤.

故答案为：④⑤.

【变式2-1］（2022•西青区期末）如图，△ABC和4CDE都是等边三角形，点E在△：*（：内部,

连接AE,BE,BD.若NEBD=50°,则NAEB的度数是110°.

【分析】由已知条件推导出4ACE空ZXBCD,从而NDBC=NCAE,再通过角之间的转化，利

用三角形内角和定理能求出NAEB的度数.

【解答】解：:△ABC和ZXCDE都是等边三角形，

AAC=BC,CE=CD,ZABC=ZACB=ZBAC=ZECD=60°，

又丁ZACB=ZACE+ZBCE,NECD=NBCE+NBCD,

AZBCD=ZACE,

AC=BC

在AACEfilABCD中,zBCD=zACE，

(CE=CD

.'.△ACE^ABCD(SAS),

ZCAE=ZDBC,

・•・ZEBD-ZEBC=ZBAC-ZBAE,

VZEBD=50°,

.*.50°-ZEBC=60°-ZBAE,

.*.50°-(60°-ZABE)=60°-ZBAE,

.•.ZABE+ZBAE=70°,

AZAEB=180°-(ZABE+ZBAE)=180°-70°=110°,

故答案为：110°.

【变式2-2](2022•兴化市校级月考)如图1,等边AABC中，D是AB边上的点，以CD为一

边，向上作等边△EDC,连接AE.

(1)求证：△DBCgZiEAC；

(2)求证：AE/7BC；

(3)如图2,若D在边BA的延长线上，且AB=6,AD=2,试求aABC与aEAC面积的比

【分析】(1)首先证明NBCD=NACE,然后利用SAS证明△DBCgZ\EAC即可；

(2)根据全等的性质可得NEAC=NB=60°,进而可得NEAC=NACB,从而可得AE〃BC；

(3)利用等边三角形的性质可得BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,然后再证明aDBC

^△EAC,再推出NEAC=NACB,进而可得AE〃BC,进而利用三角形面积解答即可.

【解答】证明：(1)VZACB=60°,ZDCE=60°,

AZBCD=60°-ZACD,ZACE=60°-ZACD,

/.ZBCD=ZACE,

rec=AC

在aDBC和AEAC中，jZBCD=ZACE

(EC=DC

/.△DBC^AEAC(SAS)；

(2)VADBC^AEAC,

/.ZEAC=ZB=60°，又NACB=60°,

.\ZEAC=ZACB,

・・・AE〃BC；

(3):△ABC、AEDC为等边三角形

.*.BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=GO0,

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即NBCD=NACE,

BC=AC

在ADBC和AEAC中｛/BCD=/ACE，

、CD=CE

/.△DBC^AEAC(SAS),

.,.ZEAC=ZB=60°,AE=BD=AB+AD=8,

XVZACB=60°,

.*.ZEAC=ZACB,

.♦.AE〃BC.

/.△ABC与AEAC面积比=更=上=

AE6+24

【变式2-3](2022•赫山区期木)如图，Z^ABC和aCDE都为等边三角形，E在BC上，AE的

延长线交BD于F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求NAFB的度数；

(3)求证：CF平分NAFD；

(4)直接写出EF,DF,CF之间的数量关系.

【分析】(1)要证明边相等可证明边所在的三角形全等，由△ABC和4CDE都为等边三角

形，可得NACE=NBCD=60°,AC=BC,CE=CD,继而证明三角形全等，即可解答题目；

(2)由三角形全等可得NCAE=NCBD,结合NAEC=NBEF即可证明；

(3)作CM_LAF于点M,CN_LDF于点N,连接CF,利用全等三角形的性质证明CM=CN,即

可解答题目；

(4)延长AF到点Q,使FQ=DF,连接DQ,则只需证明CF=EQ,所以考虑证明△CDF^A

EDQ,自己试着解答.

【解答】(1)证明：^AEC和ACDE都为等边三角形，

AZACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,

AAACE^ABCD(SAS),

AAE=BD.

(2)解：•.•△ACE-BCD,

・•・ZCAE=ZCBD,

又NAEC=NBEF,

・・・NAFB=NACB=60°.

(3)证明：作CMJ_AF于点M,CNJ_DF于点N,连接CF,

VZCAE=ZCBD,ZAMC=ZBNC=90°,AC=BC,

AACAM^ACBN(SAS),

则CM=CN,

・・・CF平分NAFD.

(4)解：延长AF到点Q,使FQ=DF,连接DQ,

VZAFB=ZACB=60°,

则/DFQ=60°,

•••△DFQ是等边三角形，

则DQ=DF,NFDQ=NCDE=60°,

・•・ZCDF=ZEDQ,

VCD=DE,ZCDF=ZEDQ,DQ=DF,

AACDF^AEDQ（SAS）,

・・・CF=EQ,

则CF=EF+FQ=EF+DF.

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】

【例3】（2022•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2,0）,以

线段0C为边在第一象限内作等边△0BC,点D为x轴正半轴上一动点（OD>2）,连结BD,

以线段BD为边在第一象限内作等边ABDE,直线CE与y轴交于点A,则点A的坐标为

A.(0,-V3)B.(0,-2>/3)C.(0,-2)D.(0,—2或)

【分析】根据“手拉手”全等可得NBCE=NB0D=60'，进而可得N0CA=60°,即可求解

A点坐标.

【解答】解：:△0BC,ABDE为等边三角形，

・・.B0=BC,BD=BE,N0BC=NDBE=NBC0=60°,

AZOBD=ZCBE,

(BO=BC

在△OBD和ACBE中，rOBD=乙CBE，

(BD=BE

/.△OBD^ACBE(SAS),

・・・NBCE=NB0D=60°,

/.Z0CA=60°,

VZC0A=90°,

A0A=V3OC=2V3,

即A点坐标为：(0,-2V3),

故选：B.

【变式3-1](2022•龙口市期末)如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交

于点M,N,且0M=4,Z0MN=30°,等边AAOB的顶点A,B分别在线段MN,QM上，点A

的坐标为()

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(V3,1)D.(1,V3)

【分析】根据/0MN=30°和AAOB为等边三角形，记明aOAM为直角三角形，即可得出答

案.

【解答】解：•・•直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N,0M=4,Z0MN=30°,

/.Z0NM=60°,

VAAOB为等边三角形，

.,.ZA0B=60o,ZAM0=30°,

AZ0AM=90°,

・・・OA_LMN,即AOAM为直角三角形，

・・.0A=10M=-x4=2,

22

过点A作AC_LOB于点C,

AAC=V3,

・••点A的坐标为(1,V3).

故选：A.

A\OUBx

【变式3-2](2022•新洲区期末)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B

在第二象限，AO=a,AB=b,BO与x轴正方向的夹角为150°,且a?-b?+a-b=0.

(1)试判定△ABO的形状；

(2)如图1,若BC=BO,点D为CO的中点，AC、BD交于E,求证：AE=BE+CE；

(3)如图2,若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边ABEG,延长GA交x轴

于点P,问：AP与A0之间有何数量关系？试证明你的结论.

【分析】(1)/XABO为等边三角形，理由为：根据(a2-b2)+(a-b)=0,得到a=b,

再由B0与x轴正方向的夹角为150°得到NA0B=6(T,即可得证；

(2)在AC上截取AM-CE,先证NAEB—60。，方法是根据题意得到△ABO为等边三角形,

△BOC为等腰直角三角形，确定出/ABD度数，根据AB=BC,且NABC=120°,得到NBAE

度数，进而确定出NAEB为60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=CB,且夹角NBAC

=NBCA,利用SAS得到ABCM与aBAE全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=BE,

得到aBEM为等边三角形，得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代换即可得证；

(3)AP=2AO,理由为：由题意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性质得到NABG=NOBE,

利用SAS得到AABG与AOBE全等，利用全等三角形的对应角相等得到NGAB=NB0E=6(F,

利用外角的性质得到NAP0=30°,在Rt^AOP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的

一半得到AP=2A0.

【解答】(1)解：结论：△ABO为等边三角形，

理由：'.•a?・b,+a・b=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)=0

/.a・b=0,得至I」a=b,即AO=AB

VOB与x轴正半轴夹角为150°

AZA0B=150°-90°=60°

•••△AOB为等边三角形；

(2)证明:在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM.

:△AOB为等边三角形，ABOC为等腰直角三角形

AZ0BC=90°,ZAB0=60°

•・・D为CO的中点

・・・BD平分N0BC,即NCBD=N0BD=45°

.,.ZABD=105°,ZABC=150°

.,.ZBAC=ZBCA=15°

AZAEB=60°

(AB=CB

在AABE和△CBM中，zBAE=4BCM，

(AE=CM

AAABE^ACBM(SAS)

Z.BM=BE

•••△BEM为等边三角形

ABE=EM

.,.AE=AM+EM=CE+BE；

(3)解：结论:AP=2A0,

理由：:△AOB与△BGE都为等边三角形

，BE=BG,AB=OB,ZEBG=Z0BA=60°

・•・ZEBG+ZEBA=ZOBA+ZEBA

即NABG=N0BE

AR=OR

zABG=4OBE，

{BE=BG

.,.△ABG^AOBE(SAS)

.--ZBAG=ZB0E=60°

・•・NGA0=ZGAB+ZBA0=120°

NGAO为aAOP的外角

且/AOP-90。

AZAPO=30°

在RlZ\AOP中，NAPO=30°

AAP=2A0.

【变式3-3](2022•汉阳区校级期中)如图，平面直角坐标系中，已知A(-2,0),B(2,

0),C(6,0),D为y轴正半轴上一点，且NODB—30°,延长DB至E,使BE—BD.P为

x轴正半轴上一动点(P在C点右边)，M在EP上，且NEMA=60°,AM交BE于N.

(1)求证:BE=BC；

(2)求证：ZANB=ZEPC；

(3)当P点运动时，求BP-BN的值.

【分析】(1)根据点A、B的坐标求出AD—BD,根据直角三角形两锐角互余求出NABD—

60°,然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD=AB=4,再求出BC

=4,从而得到BC=BD,然后等量代换即可得证；

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NBAN+NANB=NABD=

60°,ZBAN+ZEPC=ZEMA=60°,即可得证；

(3)求出aBCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=CE,然后求出AB=CE,

再求出NABN=NECP=120。，然后利用“角角边”证明AABN和AECP全等，根据全等三

角形对应边相等BN=CP,冉根据BP-CP=BC等量代换即可得解.

【解答】(1)证明：VA(-2,0),B(2,0),

AAD=BD,AB=4,

VZ0DB=30°,

AZABD=90°-30°=60°,

•••△ABD是等边三角形，

ABD=AB=4,

VB(2,0),C(6,0),

・・・BC=6-2=4,

ABC=BD,

又・・・BE=BD,

・・・BE=BC；

(2)证明：由三角形的外角性质得，NBAN+NANB=NABD=60°,

NBAN+NEPC=NEMA=60°,

所以，ZANB=ZEPC；

(3)解：VBE=BD=BC,ZCBE=ZABD=60°,

•••△BCE是等边三角形，

/.BC=CE,

VAB=BC=4,

AAB=CE,

VZABD=ZBCE=60°,

・・・NABN=NECP=120°,

(ZANB=zEPC

在aABN和4ECP中，zABN=NECP，

(AB=CE

AAABN^AECP(AAS),

ABN=CP,

VBP-CP=BC,

・・・BP・BN=BC=4,

故BP-BN的值为4,与点P的位置无关.

【题型4与等边三角形有关的线段长度的计算】

【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且

BD=#D.点E,F分别在边AB,AC上，且NEDF=90°,M为边EF的中点，连接CM交DF

于点N.若DF〃AB,则CM的长为()

总,

BD1

A.B.273C.2D.j

3463

【分析】根据等边三角形边长为2,在RtZXBDE中求得DE的长,再根据CM垂直平分DF,

在RtACDN中求得CN,最后根据线段和可得CM的长.

【解答】解：・・,等边三角形边长为2,BD=|CD,

.*.BD=-,CD=-,

33

•,・等边三角形ABC中,DF/7AB,

・・・NFDC=NB=60°,

VZEDF=90°,

.\ZBDE=30o,

.'.DE±BE,

.,.ZBED=90°,

VZB=60°,

.-.ZBDE=30°,

ABE=iBD=i,

23

・・.DE=JBD2_BE2邛

如图,连接DM,则RtZXDEF中，DM=-EF=FM,

2

•・・NFDC=NFCD=60°,

•••△CDF是等边三角形，

ACD=CF=-,

3

ACM垂直平分DF,

...NDCN=30°,DN=FN,

ARtACDNDN=-,CN=—,

33

•・・M为EF的中点,

AMN=-DE=—,

26

・・・CM=CN+MN=独+更=超，

366

故选：c.

【变式4-1］（2022•西乡县期末）如图，aABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE_LAB

于E交BC边延长线于F,AE=1,求BF的长.

【分析】根据等边三角形的性质和中线的性质解答即可.

【解答】解：・・・△ABC是等边三角形，BD是中线，

/.ZA=ZACB=60°,AC=BC,AD=CD=Uc,

2

•・・DE_LAB于E,

AZADE=90°-ZA=30°,

・・・CD=AD=2AE=2,

AZCDF=ZADE=30°,

・・・NF=/ACB・NCDF=30°,

・・・ZCDF=ZF,

・・・DC=CF,

・•・BF=BC+CF=2AD+AD=6.

【变式4-2］（2022•浙江模拟）如图，等边AABC的边长为10,点P是边AB的中点，Q为BC

延长线上一点，CQ：BC=1：2,过P作PEJ_AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长

【分析】过P点作PF〃BC交AC于F点，根据等边三角形的性质和判定求出AAPF是等边

三角形，推出AP=AF=PF=CQ,根据等腰三角形性质求出AE=EF,根据AAS证APFD和4

QCD全等，求出FD=CD,推出DE=，C,代入求出即可.

【解答】解：过P点作PF〃BC交AC于F点，

•・•等边aABC的边长为10,点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2,

.*.AB=BC,ZB=ZACB=ZA=60°,

.\AP-CQ,

・・・PF〃AB,

・・・NAPF=NB=60°,/AFP=NACB=60°,

・・.NA=/APF=NAFP=60°,

.,•△APF是等边三角形，

VPE1AC,

・・・EF=1AE,

:△APF是等边三角形，AP=CQ,

・・・PF=CQ

VPF^AB,

・・・NQ=NFPD,

在APDF和aODC中

(NFPD=zQ

,.JzFDP=zQDC,

(PF=CQ

.,.△PDF^AQDC,

・・・DF=CD,

・・・DF=kF,

2

・・・DE=EF+DF=抑+#F=|AC,

AED=5.

【变式4-3](2022•崇川区校级月考)如图，在AABC中，AB=AC,D、E是△ABC内两点,

AD平分NBAC,ZEBC=ZE=60°,若BE=30cm,DE=2cm,则BC=32cm.

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30,DE=2,进而得出ABEM为等边

三角形，AEFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.

【解答】解：延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,

VAB=AC,AD平分NBAC,

Z.AN1BC,BN=CN,

・・・/EBC=NE=60°,

•••△BEM为等边三角形，

•••△EFD为等边三角形，

・・・BE=30,DE=2,

・・・DM=28,

:△BEM为等边三角形，

・・・/EMB=60°,

VAN1BC,

AZDNM=90°,

.,.ZNDM=30°,