线段的垂直平分线1

线段的垂直平分线

三十年前，海盗们把抢来的财宝埋在海岸边，并绘制了一幅藏宝图。为了保密，埋藏地点没作任何标志，藏宝图上没有标上财宝的埋藏地点。但海盗们知道埋藏地点到两棵大槐树A、B的距离刚好相等。你能在图上标出财宝的埋藏地吗？情境引入宝藏在哪儿？引言：通过这节课的学习，我们来解决上面的问题。第一步：将一张长方形的纸片对折。第二步：剪下（或用刀子裁）一个角。第三步：再把这个角展开。探究新知做一做1.得到的是什么样三角形？说一说2.折痕所在的直线是三角形的对称轴吗？BCAD等腰三角形折痕所在的直线是等腰三角形的对称轴。3.它与底边BC又有什么关系？由“三线合一”，直线AD垂直BC，又平分BC.引入定义垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的定义：议一议如图，直线l是线段AB的垂直平分线，则l⊥AB,l平分AB.ABl1.线段是轴对称图形吗？2.你能找出线段的对称轴吗？是线段垂直平分线就是线段的一条对称轴在线段BC的垂直平分线上任意取一点P,连PB、PC,量一量，线段PB、PC之间有什么关系？再取一点Q试试.试一试PB=PC,QB=QCBCADPQ从中你可得到什么猜想？线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这是为什么？因为线段BC沿直线AD对折后，B与C重合，故线段PB与线段PC重合，QB与QC重合.所以PB=PC,QB=QC线段垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。得出结论几何语言：如图，P是线段AB的垂直平分线上的一点，则PA=PB.PAB想一想反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离相等，那么点P一定在线段AB的垂直平分线上吗？得出结论线段垂直平分线的判定定理：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。几何语言：如图，PA=PB，则P在线段AB的垂直平分线上.PAB具体证明见课本现在你能在图上找到财宝的埋藏地点吗？连AB,作线段AB的垂直平分线，与海岸线的交点就是财宝的埋藏地点。小试身手应用新知例1、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D，E，BC=6，AC=4，求△CAE的周长。ABCEDDE是AB的垂直平分线分析：则有AE=

.BE从而△CAE的周长=AC+AE+EC

BEBC=AC+

+EC=AC+

=

.10例2、如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.ABCO引导：1.欲证点O在AC的垂直平分线上，只要证

=

。2.点O在AB,BC的垂直平分线上，所以

=

，

=

。3.根据等量代换

=

，从而得证。OBOAOCOAOAOCOBOC例2、如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.ABCO证明：∴点O在AC的垂直平分线上.()∵点O在AB,BC的垂直平分线上，∴OA=OC.()∴OA=OB，OC=OB。()请在括号中注明依据1、如图,在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D，E，若∠B=30°，∠BAC=90°，求证：△CAE是等边三角形。ABCED变式训练从而△CAE是等边三角形思路导引：DE是AB的垂直平分线,则有EA=

。所以∠BAE=

=

。∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-30°=60°∠C=180°-∠B-∠BAC=60°EB∠B30°2、如图,在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°,AD平分∠BAC.求证：点D在AB的垂直平分线上。ABCD分析：1.欲证点O在AB的垂直平分线上，只要证DA=DB。2.欲证DA=DB，只要证∠DAB=∠B=30°2、如图,在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°,AD平分∠BAC.求证：点D在AB的垂直平分线上。ABCD证明：∴点