新人教版高中数学必修第一册 4.4　4.4.3　不同函数增长的差异 教案

4.4.3不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数在不同区间增长快慢的差异．核心素养：借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.知识点三种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数一元一次函数解析式y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)单调性在(0，＋∞)上单调递eq\x(\s\up1(01))增图象(随x的增大)逐渐与eq\x(\s\up1(02))y轴平行逐渐与eq\x(\s\up1(03))x轴平行直线逐渐上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越eq\x(\s\up1(04))快y的增长速度越来越eq\x(\s\up1(05))慢y的增长速度eq\x(\s\up1(06))不变增长关系存在一个x0，当x＞x0时，axeq\x(\s\up1(07))＞kxeq\x(\s\up1(08))＞logax指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()(3)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)下列函数中y随x的增大而增大且增大的速度越来越快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝100x D．y＝e－x(2)如图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数 B．幂函数C．对数函数 D．指数函数(3)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点答案(1)A(2)C(3)D题型一三类函数模型增长差异的比较例1甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________.[解析]在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得①错误．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以x＝2时，乙在甲的前面；②错误．因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以x＝5时，甲在乙的前面；③正确．当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面；④正确．当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱；⑤正确．当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)的上方，所以最终走在最前面的是甲．故填③④⑤.[答案]③④⑤常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[跟踪训练1](1)下列函数中，增长速度越来越快的是()A．y＝2020x B．y＝2020C．y＝log2020x D．y＝2020x(2)下面对函数f(x)＝，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快答案(1)A(2)C解析(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，故选A.(2)观察函数f(x)＝，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．故选C.题型二不同增长的函数模型的图象特征例2函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数的图象，判断feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))与geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，f(2021)与g(2021)的大小关系．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，从图象上可以看出，当1<x<2时，f(x)<g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))；当x>2时，f(x)>g(x)，∴f(2021)>g(2021)．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练2]函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．解由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x).题型三函数模型的选择例3某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．几类不同增长的函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越大，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[跟踪训练3]某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由．解用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数在定义域内是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2 D．y＝6x答案B解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x45678910y15171921232527A．一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型答案A解析利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，由此判断该函数模型是一次函数模型．3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．答案甲解析把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案：甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1000元、1500元时，应分别选择________方案．答案乙、甲、丙解析将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．5．画出函数f(x)＝eq\r(x)与函数g(x)＝eq\f(1,4)x2－2(x≥0)的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象可得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．一、选择题1．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数较适合的是()A．y＝logax(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝logax＋b(a＞1)答案C解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数答案D解析对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．(多选)当a>1时，下列结论正确的是()A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快答案AD解析结合指数函数及对数函数的图象可知A，D正确．故选AD.5．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x答案B解析在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x的图象，如图所示．由图可得，在区间(2,4)上从上往下依次是y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x的图象．所以x2＞2x＞log2x.故选B.二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________.答案y＝x2解析当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长得快．7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________.答案②③解析由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了总产量C随时间t的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，容器内水面的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.答案(4)(1)(3)(2)解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．三、解答题9．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．10．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小关系．解(1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2020>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2020)>g(2020)．又g(2020)>g(6)，∴f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．1．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，xn>logaxC．对任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax答案D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”2．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x答案D解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.3．若已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为________.答案>log2x解析作出f(x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，>log2x；x＝4或x＝16时，xeq\f(1,2)＝log2x；在(4,16)内<log2x；在(16,20)内>log2x.4．若x2＜logmx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．解设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图