新人教版高中数学必修第一册 3.2　3.2.2　奇偶性 教案

3.2.2奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，并会用符号语言描述.2.了解奇偶函数的图象特征，会判断简单函数的奇偶性．教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数、偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性．教学难点：1.函数的奇偶性与单调性结合问题.2.函数奇偶性的判定．核心素养：1.借助奇偶函数的图象特征培养直观想象素养.2.通过解决函数奇偶性与单调性的应用问题提升逻辑推理、数学运算素养.知识点一偶函数、奇函数的定义(1)偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果eq\x(\s\up1(01))∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．(2)奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果eq\x(\s\up1(02))∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．知识点二偶函数、奇函数的图象特征(1)偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以eq\x(\s\up1(01))y轴为对称轴的轴对称图形；反之，eq\x(\s\up1(02))如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.(2)奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以eq\x(\s\up1(03))坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，eq\x(\s\up1(04))如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数.1．函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点(1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．(2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．2．函数奇偶性的四个关注点(1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质．(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合．(4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．3．奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．4．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性函数奇偶性一次函数y＝kx＋b(k≠0)当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数反比例函数y＝eq\f(a,x)(a≠0)奇函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()(5)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．()(6)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．做一做(1)下列函数是偶函数的是()A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝eq\f(1,\r(x)) D．y＝x2，x∈[0,1](2)已知函数f(x)为定义在区间[3－a,5]上的奇函数，则a＝()A．－2 B．3C．8 D．无法确定(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3 B．－3C．2 D．7(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案(1)B(2)C(3)C(4)－5题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.))[解](1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法①确定函数的定义域；②看定义域是否关于原点对称．(ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数；(ⅱ)对称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(若f－x＝－fx，则函数为奇函数；,若f－x＝fx，则函数为偶函数；,若f－x与fx无上述关系，则函数,为非奇非偶函数.))(2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．[跟踪训练1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；(2)f(x)＝eq\f(\r(2－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.))解(1)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函数．(2)x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))解得－eq\r(2)≤x<0或0<x≤eq\r(2)，它关于原点对称．于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝eq\f(\r(2－x2),x)，显然它是奇函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0.故该函数为奇函数.题型二奇、偶函数的图象及应用例2已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．[结论探究]本例条件下，当a取何值时，方程f(x)＝a有四个不同的根？解结合图象知当－1<a<0时，方程f(x)＝a有四个不同的根．[条件探究]若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，单调递增区间为(－1,1)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2，＋∞)．1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇、偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．[跟踪训练2]已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).题型三函数奇偶性的应用[命题角度1]利用函数的奇偶性求参数的值例3(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝(2)已知函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.[解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a.解得a＝eq\f(1,3).所以f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋1＋b.根据偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，即eq\f(1,3)(－x)2＋b(－x)＋1＋b＝eq\f(1,3)x2＋bx＋1＋b.所以2bx＝0.由x的任意性知b＝0.(2)解法一：因为f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)，f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即eq\f(－x＋1－x＋a,－x)＋eq\f(x＋1x＋a,x)＝0.所以eq\f(x2＋a＋1x＋a－[x2－a＋1x＋a],x)＝0.所以2(a＋1)x＝0.所以a＋1＝0，即a＝－1.解法二：由题意知f(－1)＝0.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0.所以f(1)＝0，即eq\f(1＋11＋a,1)＝0.所以a＝－1.[答案](1)eq\f(1,3)0(2)－1[命题角度2]利用奇偶性求函数值例4已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)．[解]解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝－25＋a－23＋b－2－8，'''①,f2＝25＋a·23＋b·2－8，②))①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.[命题角度3]利用奇偶性求函数解析式例5若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．[解]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2，x>0，,0，x＝0，,x2－x，x<0.))1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．2．利用函数的奇偶性求函数值的思路已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求f(－a)．3．求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.[跟踪训练3](1)若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a的值为________；(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________；(3)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.答案(1)4(2)－1(3)x(x＋1)解析(1)f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)．则a－4＝0，即(2)由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1.联立方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－gx＝x3＋x＋1，,fx＋gx＝－x3－x＋1.))解得f(x)＝1，g(x)＝－x3－x.所以f(1)＋g(1)＝1＋(－1－1)＝－1.(3)当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x>0时，f(x)＝x(x＋1).题型四函数的奇偶性与单调性的综合应用例6(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．[解](1)因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，因为f(x)在[2,6]上单调递减，所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)．(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)．又f(x)在区间[0,2]上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|1－m|>|m|，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))解得－1≤m<eq\f(1,2).即m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解．[跟踪训练4](1)设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为________.(2)已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，求满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围．答案(1)f(π)>f(－3)>f(－2)(2)见解析解析(1)由偶函数的单调性，知若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．(2)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.即x的取值范围为[1,3]．1．函数f(x)＝x3的图象()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称答案D解析f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称．2．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2，a，b∈R，且f(－1)＝0，则f(1)＝()A．－2 B．2C．4 D．－4答案C解析因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋2＋ax3＋bx＋2＝4，所以f(－1)＋f(1)＝0＋f(1)＝4，所以f(1)＝4.3．若函数f(x)＝eq\f(2x＋1x－a,x)(a∈R)为奇函数，则实数a＝()A．eq\f(1,2) B．0C．－1 D．1答案A解析根据题意，函数f(x)＝eq\f(2x＋1x－a,x)(a∈R)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2x＋1x－a,x)＝－eq\f(－2x＋1－x－a,－x)，变形可得(2a－1)x＝0，则有a＝eq\f(1,2).4．已知函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，则f(a＋b)＝________.答案－1解析根据题意，由函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，则(a－3)＋(a＋1)＝0，解得a＝1，则f(x)＝2x3－3x－bx2，若其为奇函数，必有b＝0，则f(x)＝2x3－3x，又由a＝1，b＝0，则f(a＋b)＝f(1)＝－1.5．设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a解由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为a2－2a＋3＝(a－1)2a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<eq\f(2,3).综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))).一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(x2－1,x)的图象一定关于()A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线x＝1对称答案C解析函数的定义域为{x|x≠0}，则f(－x)＝eq\f(x2－1,－x)＝－eq\f(x2－1,x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称．2．已知函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2的图象关于原点成中心对称，则a＝()A．1 B．－1C．－2 D．2答案B解析∵函数图象关于原点对称，∴函数是奇函数．则f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a＋1)x2＝－x3－(a＋1)x2.所以(a＋1)＝－(a＋1)．所以a＋1＝0，解得a＝－1.3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝|2x| B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝|x| D．y＝x|x|答案D解析由于y＝|2x|在定义域R上为偶函数，不符合题意；y＝－eq\f(1,x)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调，不符合题意；y＝|x|为偶函数，不符合题意；由于y＝f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))单调递增．4．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，则当x∈(－∞，0)时，f(x)等于()A．x(1＋x) B．－x(1＋x)C．x(1－x) D．－x(1－x)答案C解析当x<0时，－x>0，代入函数在(0，＋∞)上的解析式，即得f(－x)＝－x(1－x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)．5．(多选)关于函数f(x)＝eq\f(x,x－1)，下列结论正确的是()A．f(x)的图象过原点B．f(x)是奇函数C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减D．f(x)是定义域上的增函数答案AC解析函数f(x)＝eq\f(x,x－1)＝eq\f(x－1＋1,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)，f(0)＝0，A正确；图象关于点(1,1)对称，B错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，整个定义域上不具有单调性，故C正确，D错误．故选AC．二、填空题6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________.答案f(0)>f(1)>f(－2)解析当m＝1时，f(x)＝6x＋2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．7．已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________.答案[－3，－1)∪(1,3]解析∵当0<x≤3时，函数单调递增，由图象知1<f(x)≤3，当－3≤x<0时，0<－x≤3，即此时函数也单调递增，且1<f(－x)≤3，∵函数是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴1<－f(x)≤3，即－3≤f(x)<－1，∴f(x)的值域是[－3，－1)∪(1,3]．8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥0，,－x2－x，x<0))是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，则实数a＝________，实数m的取值范围用区间表示为________.答案1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))解析函数为奇函数，则满足f(－x)＝－f(x)，当x＝1时，f(1)＝1－a，f(－1)＝－1＋1＝0，则由f(－1)＝－f(1)，得1－a＝0，得a＝1，此时f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≥0，,－x2－x，x<0，))当x≥0时，抛物线y＝x2－x的对称轴为x＝eq\f(1,2)，则函数f(x)的图象如图：则函数的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，∵在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤\f(1,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－\f(1,2)，,m≤0，))即－eq\f(1,2)≤m≤0，即实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1，x>0，,－\f(1,2)x2－1，x<0.))解(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．(2)使函数有意义需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))所以该函数的定义域为{1}，因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝－eq\f(1,2)(－x)2－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1))＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝eq\f(1,2)(－x)2＋1＝eq\f(1,2)x2＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2－1))＝－f(x)．综上可知，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋1，x>0，,－\f(1,2)x2－1，x<0))是奇函数．10．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)≥0的解集．解(1)根据题意，函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，则f(0)＝0，设x<0，则－x>0，则f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝x(x－1)，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xx＋1，x≥0，,xx－1，x<0.))(2)根据题意，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xx＋1，x≥0，,xx－1，x<0，))则f(x)在[－3,3]上为减函数，则f(1－m)＋f(1－m2)≥0⇒f(1－m)≥－f(1－m2)⇒f(1－m)≥f(m2－1)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤m2－1，,－3≤1－m≤3，,－3≤1－m2≤3.))解得m＝－2或1≤m≤2，即不等式的解集为{m|m＝－2或1≤m≤2}．1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C．2．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)是偶函数，f(4)＝2，f(x)在(－∞，2)上单调递增，则不等式f(4x－1)>2的解集为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(5,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C．(－∞，－1)∪(17，＋∞)D．(－1,17)答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(4)＝f(0)＝2，故f(4x－1)>2⇔0<4x－1<4⇔eq\f(1,4)<x<eq\f(5,4).3．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(x－2)>0的解集是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(5,2)或x<\f(3,2)))解析∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，∴不等式f(x－2)>0等价为f(|x－2|)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即|x－2|>eq\f(1,2)，即x－2>eq\f(1,2)或x－2<－eq\f(1,2)，即x>eq\f(5,2)或x<eq\f(3,2)，∴不等式f(x－2)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(5,2)或x<\f(3,2))).4．已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．解因为函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故eq\f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.所以f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq\f(a×12＋1,b×1)＝eq\f(a＋1,b)＝3，所以a＋1＝3b.①由f(2)＝5，即eq\f(a×22＋1,b×2)＝eq\f(4a＋1,2b)＝5.②解①②组成的方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2).))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝0.))5．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋