新人教版高中数学必修第一册 5.1　5.1.2　弧度制 教案

5.1.2弧度制(教师独具内容)课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用．教学难点：角度与弧度的互化及扇形面积公式的运用．核心素养：1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助弧度制与角度制的互化提升学生的数学运算素养.知识点一度量角的两种制度(1)角度制①定义：用eq\x(\s\up1(01))度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的eq\x(\s\up1(02))eq\f(1,360)为1度的角，记作1°.(2)弧度制①定义：以eq\x(\s\up1(03))弧度为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于eq\x(\s\up1(04))半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度记作eq\x(\s\up1(05))1_rad.知识点二弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\x(\s\up1(13))eq\f(π,4)eq\x(\s\up1(14))eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\x(\s\up1(15))eq\f(2π,3)eq\x(\s\up1(16))eq\f(3π,4)eq\x(\s\up1(17))eq\f(5π,6)π知识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝eq\x(\s\up1(01))αR.(2)扇形面积公式：S＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(1,2)lR＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(1,2)αR2.(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正确．(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．()(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．()(3)160°化为弧度制是eq\f(8π,9)rad.()(4)用弧度表示的都是正角．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)eq\f(7π,5)化为角度是________.(2)75°化为弧度是________.(3)半径为3，圆心角为60°的扇形的面积为________.(4)若圆的半径为r，则该圆上长为2r的弧所对的圆心角为________.答案(1)252°(2)eq\f(5π,12)(3)eq\f(3π,2)(4)2rad题型一角度与弧度的互化与应用例1(1)将下列角度与弧度进行互化：①20°＝________；②－15°＝________；③eq\f(7π,12)＝________；④－eq\f(11π,5)＝________.(2)把－157°30′化成弧度为________.(3)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________(用弧度表示)．[解析](1)①20°＝20×eq\f(π,180)＝eq\f(π,9).②－15°＝－15×eq\f(π,180)＝－eq\f(π,12).③eq\f(7π,12)＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.④－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.(2)－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7π,8)rad.(3)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z),当k＝0时，θ＝72°＝eq\f(2π,5)；当k＝1时，θ＝432°＝eq\f(12π,5)，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq\f(2π,5)，eq\f(12π,5).[答案](1)①eq\f(π,9)②－eq\f(π,12)③105°④－396°(2)－eq\f(7π,8)(3)eq\f(2π,5)，eq\f(12π,5)弧度与角度的互化将角度转化为弧度时，要先把带有分、秒的部分化为度，牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可．[跟踪训练1]将下列各角度与弧度互化：(1)67.5°；(2)112°30′；(3)eq\f(9π,4)；(4)3.解(1)67.5°＝67.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(3π,8)rad.(2)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.(3)eq\f(9π,4)rad＝eq\f(9,4)×180°＝405°.(4)3rad＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈3×57.30°＝171.90°.题型二利用弧度表示角例2用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．[解](1)以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)).(2)以OA为终边的角为eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ<α<\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))，M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(2π,3)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ<α<\f(π,3)＋2kπ，k∈Z或\f(2π,3)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角．用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．[跟踪训练2]用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．解由题意可知，30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).题型三扇形的弧长公式与面积公式的应用例3已知扇形的周长为8cm.(1)若该扇形的圆心角为2rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S.(1)由题意，得2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2cm，l＝4cm，所以S＝eq\f(1,2)lr＝4(cm2)．(2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0,4)，则S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2cm时，Smax＝4cm2，此时l＝4cm，圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.[结论探究]在本例的条件下，若扇形的面积为3cm2，求扇形圆心角的弧度数．解设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，面积为S.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得l＝6cm，r＝1cm或l＝2cm，r＝3cm.所以α＝eq\f(l,r)＝6或eq\f(2,3).[条件探究]在本例的条件中，若“周长为8cm”改为“面积为8cm2解设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则由S＝eq\f(1,2)αr2，得8＝eq\f(1,2)×2×r2.所以r＝2eq\所以l＝αr＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解．(2)注意点①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．[跟踪训练3]已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝75°，R＝12cm，求扇形的弧长l和面积；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)因为α＝75°＝eq\f(5π,12)，l＝αR＝12×eq\f(5π,12)＝5π(cm)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝30π(cm2)．(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25.此时l＝10cm，α＝2rad.1．将eq\f(2,3)弧度化为角度的结果为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,π)))° B．120°C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,270)))° D．270°答案A解析∵1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴eq\f(2,3)rad＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,π)))°.2．已知α＝－3rad，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵α＝－3rad≈－3×57.30°＝－171.9°，∴角α的终边在第三象限．故选C.3．半径为2，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形的面积是()A.eq\f(4π,3) B．πC．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,3)答案A解析设该扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，面积为S，则S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2α＝eq\f(1,2)×22×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3).4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，则α＝________.答案eq\f(5π,6)解析因为－570°＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6)，所以α＝eq\f(5π,6).5．已知扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．解(1)由题意可得2r＋αr＝C，则αr＝C－2r.所以扇形面积S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)(C－2r)r＝－r2＋eq\f(1,2)Cr，故当r＝eq\f(1,4)C时，S取得最大值eq\f(1,16)C2，此时α＝eq\f(C,r)－2＝2.(2)由题意可得S＝eq\f(1,2)αr2，则αr＝eq\f(2S,r).所以扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋eq\f(2S,r)≥4eq\r(S)，当且仅当2r＝eq\f(2S,r)，即r＝eq\r(S)时取等号，即r＝eq\r(S)时，C取得最小值4eq\r(S)，此时α＝eq\f(2S,r2)＝2.一、选择题1．1920°化为弧度为()A.eq\f(16,3)rad B．eq\f(32,3)radC．eq\f(16π,3)rad D．eq\f(32π,3)rad答案D解析1920°＝5×360°＋120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(2π,3)))rad＝eq\f(32π,3)rad.2．在[0,2π)范围内，与角－eq\f(2π,3)终边相同的角是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(4π,3)答案D解析与角－eq\f(2π,3)终边相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))，k∈Z，令k＝1可得与角－eq\f(2π,3)终边相同的角是eq\f(4π,3)，故选D.3．已知扇形的弧长是4cm，面积是4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．4 D．1或4答案B解析设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为4，面积为4，所以扇形的面积为eq\f(1,2)×4×r＝4，解得r＝2.所以扇形的圆心角的弧度数为eq\f(4,2)＝2.故选B.4．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中角的终边所在的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z，故选C.5．(多选)扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数可能是()A．1 B．2C．3 D．4答案AD解析设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)lr＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4，,r＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2，,r＝2.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4，,r＝1))时，其圆心角的弧度数α＝eq\f(l,r)＝4；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2，,r＝2))时，其圆心角的弧度数α＝eq\f(l,r)＝1.故选AD.二、填空题6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))解析因为y轴对应的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ|－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)).7．已知扇形圆心角的弧度数与其半径的长度数相等，且该扇形的面积为4，则该扇形的圆心角等于________.答案2解析设该扇形的圆心角为αrad，半径为r，则r＝α，该扇形的面积S＝eq\f(1,2)r2α＝eq\f(1,2)×α2×α＝4.解得α＝2.故该扇形的圆心角等于2.8．若弧长为1，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S，则eq\f(1,\r(S))＝________，扇形的周长为________.答案22解析设扇形的半径为R，弧长为l.因为扇形的半径R＝eq\f(l,α)＝eq\f(1,2)，所以扇形的面积S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以eq\f(1,\r(S))＝eq\f(1,\r(\f(1,4)))＝eq\f(1,\f(1,2))＝2，扇形的周长为l＋2R＝1＋2×eq\f(1,2)＝2.三、解答题9．已知α＝1690°，(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25π,18).(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25π,18)(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25π,18)<4π，解得－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ是－eq\f(47π,18)，－eq\f(11π,18)，eq\f(25π,18)，eq\f(61π,18).10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形．∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3)rad.(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)rad，r＝10，∴弧长l＝αr＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)AB·eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(1,2)×10×5eq\r(3)＝25eq\r(3)，∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3))).1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．2sin1 D．eq\f(2,sin1)答案D解析设圆的半径为R，则sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，故所求弧长为l＝αR＝2×eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).2.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为()A．127.50° B．137.50°C．147.50° D．150.50°答案B解析由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形的圆心角分别为α，β，则eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，又α＋β＝360°，所以α＋eq\f(α,0.618)≈360°，解得α≈137.50°.3．若圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为________.答案eq\r(3)解析如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆弧长度为eq\r(3)R的圆心角的弧度数α＝eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).4．如图所示，已知一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的