新人教版高中数学必修第一册 5.4　5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 教案

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象(教师独具内容)课程标准：1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．教学重点：正弦函数、余弦函数图象的作法及应用．教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线的应用．核心素养：1.通过画正弦函数、余弦函数的图象培养直观想象素养.2.借助正弦曲线、余弦曲线的应用培养逻辑推理和数学运算素养.知识点一正弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做eq\x(\s\up1(01))正弦曲线.2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用eq\x(\s\up1(02))单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象eq\x(\s\up1(03))向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．(2)“五点法”①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点eq\x(\s\up1(04))(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象eq\x(\s\up1(05))向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．知识点二余弦函数的图象(1)余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做eq\x(\s\up1(01))余弦曲线.(2)余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\x(\s\up1(02))eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为eq\x(\s\up1(03))(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断eq\x(\s\up1(04))向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．正弦曲线和余弦曲线是向左、向右两边无限延伸的，正弦曲线与余弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数的图象向左、向右是无限伸展的．()(2)正弦函数y＝sinx的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．()(3)正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于x轴对称．()(4)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象与y轴的交点只有一个．()(5)将余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度即可得到正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象．()答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．做一做(1)函数y＝sinx，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.5的交点有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)用五点法画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))C．(π，0) D．(2π，0)(3)函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象()A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称(4)函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝0的交点有________个．答案(1)B(2)A(3)C(4)2题型一用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cosx(0≤x≤2π)．[解](1)①取值、列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101－sinx10121②描点、连线，如图所示．(2)①取值、列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描点、连线，如图所示．[条件探究]将本例(1)中的函数改为y＝－sinx(0≤x≤2π)，作出函数的简图．解列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－sinx0－1010描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．[跟踪训练1]用“五点法”画出函数y＝sinx＋2，x∈[0,2π]的简图．解(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx＋223212(2)描点：在平面直角坐标系中描出点(0,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，2)．(3)作图：将上述五点用光滑的曲线连接起来．题型二用图象变换法作函数图象例2作出函数y＝eq\r(1－cos2x)的图象．[解]y＝eq\r(1－cos2x)＝|sinx|，其图象如下图：用图象变换法作函数图象对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．(1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象．(2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．[跟踪训练2]作出函数y＝－sin|x|的图象．解y＝－sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－sinxx≥0，,sinxx<0.))其图象如图所示：题型三正弦函数、余弦函数图象的应用例3(1)求方程sinx＝eq\f(1,2)的解集；(2)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断方程sinx＝lgx的解的个数．[解](1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx的图象和直线y＝eq\f(1,2)，如图．由图可知，在x∈[0,2π]上，由sinx＝eq\f(1,2)可得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).故方程sinx＝eq\f(1,2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)).(2)建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈R的图象．描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图可知方程sinx＝lgx的解的个数为3.[条件探究]将本例(1)中的“sinx”改为“cosx”，应如何解答？解在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝cosx的图象和直线y＝eq\f(1,2)，如图．由图可知，在x∈[－π，π]上，由cosx＝eq\f(1,2)可得x＝－eq\f(π,3)或x＝eq\f(π,3).故方程cosx＝eq\f(1,2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).利用三角函数的图象解方程sinx＝a(或cosx＝a)的方法(1)作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)在x∈[0,2π](或x∈[－π，π])范围内确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)根据终边相同角的同一三角函数值相等确定sinx＝a(或cosx＝a)的解集．[跟踪训练3](1)求方程sinx＝eq\f(\r(3),2)的解集；(2)判断方程x2－cosx＝0的解的个数．解(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx的图象和直线y＝eq\f(\r(3),2)，如图．由图可知，在x∈[0,2π]上，由sinx＝eq\f(\r(3),2)可得x＝eq\f(π,3)或x＝eq\f(2π,3).故方程sinx＝eq\f(\r(3),2)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).(2)方程x2－cosx＝0的解的个数，即为函数y＝x2的图象与函数y＝cosx的图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2的图象和函数y＝cosx的图象，如图所示．由图可知，方程x2－cosx＝0的解的个数为2.1．用“五点法”画函数y＝1－2sinx的图象时，首先应描出的五点的横坐标是()A．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，π B．0，π，2π，3π，4πC．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π D．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)答案C解析所描出的五点的横坐标与正弦函数y＝sinx的五点的横坐标相同，即0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，故选C.2．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下描述：①向左、向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个答案D解析如图所示为y＝cosx的图象，可知①②③描述均正确．3．下列函数图象相同的是()A．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(π＋x)B．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))与g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))C．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(－x)D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sinx答案D解析A，B，C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．4．方程sinx＝eq\f(\r(2),2)的解集是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx和y＝eq\f(\r(2),2)的图象如图，由图可知，在x∈[0,2π]上，由sinx＝eq\f(\r(2),2)可得x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4).故方程sinx＝eq\f(\r(2),2)的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)).5．用“五点法”画出y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的简图．解列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π－2cosx－2020－2－2cosx＋313531描点、连线得到函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象，如图．一、选择题1．函数y＝－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是()答案D解析因为x＝0时，y＝－sin0＝0，故排除A，C；当x＝eq\f(3π,2)时，y＝－sineq\f(3π,2)＝1，排除B.故选D.2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根答案C解析求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象如图，显然有两个交点，即原方程有且仅有两个根．3.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))C．(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案C解析当0<x<1时，f(x)<0，而此时cosx>0，满足f(x)cosx<0；当1<x<3时，f(x)>0，由cosx<0(x∈(0,3))，解得eq\f(π,2)<x<3，故所求不等式的解集是(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3)).4．函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．5．方程2cos2x＋1＝0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(2π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z))答案D解析由2cos2x＋1＝0，得cos2x＝－eq\f(1,2).作出函数y＝cosx的图象和直线y＝－eq\f(1,2)，如图所示．由图象，得2x＝2kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z或2x＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.所以所求方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).故选D.二、填空题6．当x∈[－π，π]时，函数y＝eq\f(1,2)x与y＝sinx的图象的交点个数为________.答案3解析如图，有3个交点．7．方程2cosx＋eq\r(2)＝0的解集是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(3π,4)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))解析由2cosx＋eq\r(2)＝0，得cosx＝－eq\f(\r(2),2)，结合图象，知所求方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ－\f(3π,4)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)).8．定义在区间[0,2π]上的函数y＝2sinx的图象与y＝cosx的图象的交点个数为________.答案2解析画出函数y＝2sinx与y＝cosx在[0,2π]上的图象，如图所示．由图可知，在[0,2π]上，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在(π，2π]上有1个交点．所以函数y＝2sinx与y＝cosx在区间[0,2π]上的图象共有2个交点．三、解答题9．用“五点法”画出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．解列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在平面直角坐标系中描出五点(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，1)，然后用光滑曲线连接起来，就得到函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx－π≤x<0，,sinx0≤x≤π.))(1)作出该函数的图象；(2)若f(x)＝eq\f(1,2)，求x的值．解(1)作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx－π≤x<0，,sinx0≤x≤π))的图象，如图①所示．(2)因为f(x)＝eq\f(1,2)，所以在图①基础上再作直线y＝eq\f(1,2)，如图②所示，则当－π≤x<0时，由图象知x＝－eq\f(π,3)，当0≤x≤π时，由图象知x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).综上可知，x的值为－eq\f(π,3)或eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).1．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图象为()答案D解析由题意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx，0≤x≤\f(π,2)或\f(3π,2)≤x≤2π，,0，\f(π,2)<x<\f(3π,2).))显然只有D合适．2．(多选)在(0,2π)上使sinx＝|cosx|的x的值可以是()A.eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(5π,4) D．eq\f(7π,4)答案AB解析∵sinx＝|cosx|，∴sinx≥0，又x∈(0,2π)，∴x∈(0，π)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝sinx，x∈(0，π)与函数y＝|cosx|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4).故选AB.3．方程sinx＝eq\f(x,10)的根的个数是________.答案7解析在同一平面直角坐标系中画出函数y＝eq\f(x,10)和y＝sinx的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．4．已知函数f(x)＝eq