第2章　第8讲　函数与方程

第八讲函数与方程知识梳理知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点，是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．归纳拓展1．f(a)f(b)<0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．2．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．3．定义在R上的周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．()(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．()(5)函数y＝2x－x2只有两个零点．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×(5)×[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)函数y＝x2求零点不可用二分法．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．题组二走进教材2．(必修1P155T1改编)下列函数中，不能用二分法求零点的是()A．y＝2x B．y＝(x－2)2C．y＝x＋eq\f(1,x)－3 D．y＝lnx[答案]B[解析]对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点．3．(必修1P155T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为()x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64A．2 B．3C．4 D．5[答案]B[解析]由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．4．(必修1P144T2改编)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－xx＋2，x≤0))的零点有________个．[答案]3[解析]当x>0时，令f(x)＝0，可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0，可得x＝－2或x＝0，因此函数f(x)的零点个数为3.题组三走向考场5．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－eq\r(x)的零点所在区间是()A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)C．(0.5，1) D．(1，2)[答案]B[解析]由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝eq\r(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝0.3x－eq\r(x)在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．故选B．函数的零点考向1确定函数零点所在区间——自主练透1．(2026·宣城模拟)方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A．(1，2) B．(2，e)C．(e，3) D．(3，4)[答案]B[解析]对于方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0，有x>0，可得x＋lnx－e＝0，令f(x)＝x＋lnx－e，其中x>0，因为函数y＝x－e，y＝lnx均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0的根所在的区间是(2，e)．2．(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点所在区间为()A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[答案]BC[解析]易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选BC．名师点拨：确定函数零点所在区间的方法1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考向2函数零点个数的确定——师生共研1．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．0[答案]B[解析]解法一：(直接法)由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．2．(2026·河南二模)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个．[答案]4[解析]函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点．名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种方法1．直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．3．数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练】1．函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]由f(x)＝0可得|lnx|＝e－x，作出函数y＝|lnx|与y＝e－x的图象，如图所示，由图可知，函数y＝|lnx|与y＝e－x图象的交点个数为2，故函数f(x)的零点个数为2.2．函数f(x)＝sin2x－cosx在[0，3π]上的零点个数为________.[答案]7[解析]因为f(x)＝sin2x－cosx＝2sinxcosx－cosx＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))，令f(x)＝0，可得cosx＝0或sinx＝eq\f(1,2)，且x∈[0，3π]，若cosx＝0，则x＝eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)；若sinx＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)，eq\f(13π,6)，eq\f(17π,6).综上所述，函数f(x)在[0，3π]上的零点个数为7.考向3函数零点的应用——多维探究角度1与零点有关的比较大小已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为()A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1[答案]D[解析]由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝logeq\s\do7(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝logeq\s\do7(\f(1,2))x的图象；y＝log2x与y＝eq\r(x)的图象，由图可知：－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.角度2已知函数的零点或方程的根求参数(2025·北京卷)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do7(\f(1,2))x＋1，－1<x<0，,－x2＋2x，x≥0，))若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))[答案]D[解析]由图象得，0<m<1，不妨设a<b<c，则由对称性得b＋c＝2，0<logeq\s\do7(\f(1,2))(a＋1)<1，解得－eq\f(1,2)<a<0，故eq\f(3,2)<a＋b＋c<2，选D．名师点拨：1．比较零点大小常用方法(1)确定零点取值范围，进而比较大小．(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【变式训练】1．(角度1)(2026·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．a>b>c D．c>a>b[答案]B[解析]解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－eq\f(2,3)，f(0)＝1，∴a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(2,3)，g(1)＝1，∴b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，显然c＝0，∴a<c<b，故选B．解法二：(数形结合法)在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a<c<b，故选B．解法三：由概念知b>0，a<0，c＝0，∴b最大，选B．2．(角度2)(2026·河北保定期中)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x＋3|－1－m，x≤0，,lnx－m，x>0.))若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为____________.[答案](－1，2][解析]由题意，设函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x＋3|－1，x≤0，,lnx，x>0，))令f(x)＝0，即g(x)＝m，所以问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点，在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，当－1<m≤2时，函数g(x)与y＝m的图象有3个交点，故实数m的取值范围为(－1，2]．[引申1]本题中函数f(x)变为“f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－mx>0，,－x2－2x－mx≤0))”，问题不变．[解析]作出g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0))的图象如图所示．由于函数f(x)＝g(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0，1)．[引申2]本题条件变为“若f(x)恰好有2个零点”，求实数m的取值范围．[解析]由例题知m＝－1或m>2时，f(x)恰好有2个零点．即实数m的取值范围是{－1}∪(2，＋∞).二分法及其应用——自主练透1．(2025·广东梅州二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0近似解时，所取的第一个区间可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)[答案]B[解析]令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B．2．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为____________.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))[解析]区间(1，2)的中点x0＝eq\f(3,2)，令f(x)＝x3－2x－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(27,8)－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).3．用二分法求方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0在区间(2，3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2 B．3C．4 D．5[答案]C[解析]∵开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为eq\f(1,2n)，故有eq\f(1,2n)<0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.名师点拨：1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.一、嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为________.[答案]5[解析]令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.2．(2025·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是()A．2 B．3C．4 D．5[答案]D[解析]令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,x＋12，x≤0.))当t>0时，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.3．(2026·江西萍乡期中)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log3x|，x>0，,3x，x≤0，))若函数g(x)＝[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m恰有5个零点，则实数m的取值范围是()A．(0，1] B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C．[1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[答案]B[解析]作出函数f(x)的大致图象，如图所示．因为函数g(x)＝[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m恰有5个零点，所以方程[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m＝0有5个根．设t＝f(x)，则方程化为t2－2(m＋2)t＋4m＝0，易知此方程有两个不等的实根t1，t2，结合f(x)的图象可知，t1∈(0，1]，t2∈(1，＋∞)，令h(t)＝t2－2(m＋2)t＋4m，则由二次函数的零点的分布情况得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m＋22－16m>0，,h0>0，,h1≤0，))解得0<m≤eq\f(3,2).故选B．【变式训练】1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为()A．3 B．2C．0 D．4[答案]A[解析]y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1.当f(x)≤0时，f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，此时log2x＝0，计算得出x＝1，或者x＋1＝0，计算得出x＝－1.当f(x)>0时，log2f(x)＝1，即f(x)＝2时，若x＋1＝2，计算得出x＝1(舍去)，若log2x＝2，计算得出x＝4.综上所述，函数y＝f[f(x)]－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A2．(2026·河南名校联考)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋3，x≤0，))则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是()A．5 B．4C．3 D．6[答案]D[解析]函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝eq\f(2,3)和f(x)＝2的根．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋3，x≤0))的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝eq\f(2,3)和f(x)＝2共有6个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有6个零点．二、函数零点的综合问题已知定义域为R的偶函数满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝eq\f(1,|x－1|)在区间[－3，5]上所有解的和为()A．8 B．7C．6 D．5[答案]A[解析]因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，又g(x)＝eq\f(1,|x－1|)的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示：由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝eq\f(1,|x－1|)在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8，故选A．名师点拨：以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．【变式训练】(2026·山西五校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤0，,－x2＋x，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,32)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,32))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))[答案]A[解析]解法一：显然x≤0时，－2x＝a，有一根不妨记为x1，则x1＝－eq\f(a,2)(a≥0)，当x>0时－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则Δ＝1－4a>0，即a<eq\f(1,4)，从而－a2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))且x2x3＝a.∴x1x2x3＝－eq\f(a2,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,32)，0))，故选A．解法二：作出y＝f(x)及y＝a的图象，显然0<a<eq\f(1,4)，不妨设x1<x2<x3显然x1<0，x2>0，x3>0，∴x1x2x3<0排除C、D；又当x2趋近x3时，x2x3趋近eq\f(1,4)，x1趋近－eq\f(1,8)，故x1x2x3趋近－eq\f(1,32).故选A．提能训练练案[13]A组基础巩固一、单选题1．(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)＝x＋lnx－4的零点所在的区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)[答案]C[解析]函数f(x)＝x＋lnx－4的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数．且f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝－1＋ln3>0，则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋lnx－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C．2．(2026·陕西西安部分学校联考)已知函数f(x)＝lnx，则函数y＝f[f(x)]的零点为()A．1 B．0C．e D．eq\r(e)[答案]C[解析]由f(x)＝lnx可得f[f(x)]＝ln(lnx)，由f[f(x)]＝0可得，lnx＝1，解得x＝e.故选C．3．(2026·陕西咸阳模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0，))的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．2[答案]D[解析]当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.故选D．4．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1][答案]C[解析]结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，故选C．5．(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝lgx＋t在(1，10)上有零点，则t的取值范围为()A．(－10，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10)，0))C．(0，1) D．(－1，0)[答案]D[解析]因为f(x)在(1，10)上单调递增，所以f(1)f(10)<0，即t(1＋t)<0，解得－1<t<0.故选D．6．(2026·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为()x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.7[答案]B[解析]易知f(x)在[0，1]上单调递增，由表格得f(0.5625)f(0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625，0.625)内，∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.7．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是()A．5 B．6C．7 D．8[答案]C[解析]设至少需要计算n次，由题意知eq\f(1.5－1.4,2n)<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.8．(2026·海南模拟预测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2－x＋1，x≤0，,|log2x|，x>0，))若存在不相等的实数x1<x2<x3<x4，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,4)))[答案]C[解析]函数y＝－eq\f(1,4)x2－x＋1的图象对称轴x＝－2，ymax＝2，函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，函数值集合为(－∞，2]，在[－2，0]上单调递减，函数值集合为[1，2]，在(0，1]上单调递减，函数值集合为[0，＋∞)，在[1，＋∞)上单调递增，函数值集合为[0，＋∞)，令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有4个交点，在同一坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t，观察图象，得1≤t<2，x1＋x2＝－4，由1≤－log2x3<2，得eq\f(1,4)<x3≤eq\f(1,2)，由|log2x3|＝|log2x4|，得x3x4＝1，则x1＋x2＋x3＋x4＝－4＋x3＋eq\f(1,x3)，函数y＝x3＋eq\f(1,x3)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上单调递减，eq\f(5,2)≤x3＋eq\f(1,x3)<eq\f(17,4)，因此－eq\f(3,2)≤x1＋x2＋x3＋x4<eq\f(1,4)，所以x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,4))).故选C．二、多选题9．(2026·安康模拟)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是()A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝(x＋1)eq\s\up7(\f(3,2))－2C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2)[答案]BCD[解析]∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；∵f(x)＝(x＋1)eq\s\up7(\f(3,2))－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确；∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－eq\f(3,4)<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确．10．(2025·江苏南通期末)函数y＝lgx－eq\f(1,2)x＋1的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)[答案]AC[解析]求函数y＝lgx－eq\f(1,2)x＋1零点，令0＝lgx－eq\f(1,2)x＋1，即lgx＝eq\f(1,2)x－1，分别画出函数y1＝lgx(x>0)与函数y2＝eq\f(1,2)x－1的图象，得到两图象有两个公共点，由图象可知，f(x)有两个零点，分别在区间(0，1)和区间(2，3)上；区间(0，1)上的零点显而易见．令f(x)＝lgx－eq\f(1,2)x＋1，f(2)＝lg2－eq\f(1,2)×2＋1＝lg2>0，f(3)＝lg3－eq\f(1,2)×3＋1＝lg3－eq\f(1,2)＝lgeq\r(9)－eq\f(1,2)<lgeq\r(10)－eq\f(1,2)＝0，所以f(2)·f(3)<0，根据零点存在性定理，f(x)在(2，3)存在零点．故选AC．11．(2026·浙江杭州一模)设f(x)＝ex＋lnx，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)．若函数f(x)存在零点x0，则下面可能成立的是()A．x0<a B．x0>aC．x0<b D．x0>c[答案]BCD[解析]函数f(x)＝ex＋lnx的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝lnx均为增函数，故函数f(x)＝ex＋lnx是增函数，由于0<a<b<c，故f(a)<f(b)<f(c)，因为f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，所以f(a)，f(b)，f(c)中有1个是负数(一定是f(a))、两个正数或3个负数，当f(a)<f(b)<f(c)<0时，x0>c；当f(a)<0<f(b)<f(c)时，a<x0<b，故A不正确．选BCD．三、填空题12．(2026·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xlnx，x>0，,x2－x－2，x≤0，))则f(x)的零点为________.[答案]－1和1[解析]令f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,xlnx＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－x－2＝0，))解得x＝1或x＝－1，∴f(x)的零点为－1和1.13．(2026·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________.[答案]eq\f(3,2)[解析]因为函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是eq\f(1,2)，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为eq\f(3,2).14．(2026·广东阳江调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,logeq\s\do7(\f(1,2))x，x≥1，))若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________.[答案](－1，0)[解析]关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)．15．(2026·新疆喀什模拟预测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))是奇函数，则函数g(x)＝f(x)－eq\f(a,4)的零点个数为________.[答案]2[解析]因为f(x)为奇函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＝－f－1＝0，,f2＝4a＋2b＝－f－2＝－2，))联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))经验证符合题意，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,－x2＋x，x>0，))g(x)＝f(x)＋eq\f(1,4)，令g(x)＝f(x)＋eq\f(1,4)＝0，当x≤0时，得x2＋x＋eq\f(1,4)＝0，解得x＝－eq\f(1,2)，当x>0时，得－x2＋x＋eq\f(1,4)＝0，解得x＝eq\f(\r(2)＋1,2)，所以函数g(x)＝f(x)－eq\f(a,4)的零点个数为2.B组能力提升1．(2026·吉林长春质量监测)已知{an}为正项等比数列，若lga2，lga2024是函数f(x)＝3x2－12x＋9的两个零点，则a1a2025＝(A．10 B．104C．108 D．1012[答案]B[解析]由题意可得lga2，lga2024为方程3x2－12x＋9＝0的两个根，则lga2＋lga2024＝4，解得a2a2024＝104，由{an}是正项等比数列得a1a2025＝a2a2024＝104.2．(2026·江西景德镇质检)函数f(x)＝x2－sin3πx的零点个数是()A．5 B．6C．7 D．8[答案]B[解析]数形结合．故选B．3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eeq\f(1,2)－eq\f(5,2)<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C．4．(2