1.5 二次函数的应用 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

1.5二次函数的应用内容导航内容导航题型1根据实际问题列二次函数关系式题型2二次函数的应用_营销问题题型3二次函数的应用_最大面积题型4二次函数的应用_轨迹问题题型5二次函数的应用_拱桥问题题型6二次函数的应用_几何问题题型7二次函数的应用_行程问题题型8二次函数的应用_其他问题题型9二次函数综合题型10二次函数的函数综合题型11二次函数_含绝对值题型12二次函数_组合函数题型13二次函数_复杂函数探究题型14二次函数几何综合_基本型题型15二次函数几何综合_基本型_三角形题型16二次函数几何综合_基本型_四边形题型17二次函数几何综合_存在型题型18二次函数几何综合_存在型_三角形题型19二次函数几何综合_存在型_四边形题型20二次函数几何综合_存在型_角题型21二次函数几何综合_最值型题型22二次函数几何综合_最值型_面积题型23二次函数几何综合_最值型_线段长题型24二次函数几何综合_运动型题型25二次函数几何综合_变换型考点演练考点演练题型1根据实际问题列二次函数关系式解｜题｜知｜识根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【典例1】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x）【变式1】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x）题型2二次函数的应用_营销问题【典例1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？【变式1】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．题型3二次函数的应用_最大面积【典例1】甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米．（1）如图1，当AD≤MN时，①AD＝米（用含x的代数式表示）．②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长．（2）如图2，当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积．【变式1】如图，ABCD是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为xm．（1）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长；（2）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积．题型4二次函数的应用_轨迹问题【典例1】一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（）A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面【变式1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？题型5二次函数的应用_拱桥问题【典例1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线．（1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式．（2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm）【变式1】某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示，（1）求抛物线的解析式；（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？题型6二次函数的应用_几何问题【典例1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为．【变式1】为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃ABCD的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形EFGH种植南瓜．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．（1）求y关于x的函数表达式；（2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．题型7二次函数的应用_行程问题【典例1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）【变式1】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间0123刹车后行驶的距离y0274863发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；（3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．题型8二次函数的应用_其他问题【典例1】如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（）A．9 B．152 C．7 D．【变式1】如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（）A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同题型9二次函数综合【典例1】已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则△ACP面积的最大值为．题型10二次函数的函数综合【典例1】定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．（1）点A的相伴抛物线的解析式为；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为；（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．【变式1】已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（12，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a题型11二次函数_含绝对值【典例1】对于x的二次三项式ax2+bx+c（a＞0）．（1）当c＜0时，求函数y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（2）若不论k为任何实数，直线y=k(x−1)−k24与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a，b【变式1】对关于x的一次函数y=kx−k−14k2和二次函数y＝ax2+bx+（1）当c＜0时，求函数s＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值；（2）若直线y=kx−k−14k2和抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，k为任意实数，求a3+b3题型12二次函数_组合函数【典例1】已知函数y=−x2（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．题型13二次函数_复杂函数探究【典例1】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）．①若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An，…（n为正整数）．求AnAn﹣1的长（用含n的式子表示）．【变式1】在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如表．请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…0m﹣4﹣3﹣4﹣30…其中，m＝．（2）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有个实数根．②方程x2﹣2|x|＝0有个实数根．③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2个实数根时，n的取值范围是．题型14二次函数几何综合_基本型【典例1】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【变式1】如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，﹣1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线y=14x题型15二次函数几何综合_基本型_三角形【典例1】如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）．（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为．（2）等边△ABC的边长为．【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．题型16二次函数几何综合_基本型_四边形【典例1】如图，已知直线y=−12x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．题型17二次函数几何综合_存在型【典例1】如图，抛物线C1：y1＝ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．（1）直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标；（2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．①当m＝1时，求线段AB的长；②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【变式1】如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．题型18二次函数几何综合_存在型_三角形【典例1】如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为452，求点D（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．【变式1】如图，已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的函数解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．题型19二次函数几何综合_存在型_四边形【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积最大时，求点P的坐标；（3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．【变式1】已知二次函数C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）．（1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有.（填序号）①二次函数C1的图象开口向上；②二次函数C1的图象的对称轴是直线x＝1；③二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）；④函数值y随着x的增大而减小．（2）当m＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为；②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为；（3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．题型20二次函数几何综合_存在型_角【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．【变式1】在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．题型21二次函数几何综合_最值型【典例1】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．题型22二次函数几何综合_最值型_面积【典例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（12，52）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−2，0），直线BC的解析式为y=−2（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．题型23二次函数几何综合_最值型_线段长【典例1】如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．题型24二次函数几何综合_运动型【典例1】如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．【变式1】二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．题型25二次函数几何综合_变换型【典例1】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+254过点C（0，4）．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙（1）求抛物线解析式．（2）判断△CDM的形状，并证明你的猜想．（3）抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．【变式1】如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．过关验收过关验收1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y次手，那么y与到会人数x之间的函数关系式是（）A．y=12x2C．y＝x2﹣x D．y＝x2+x2．“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y1（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2＝x﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=1请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．3．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB＝5时，花圃面积为m2，花圃ABCD面积的最大值为m2．4．一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方12m的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为8m时，足球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高AB为2.44m，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）；（3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方2.31m处？5．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（）A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式．7．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道AB的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道AB的长为x米，足球场ABCD的面积为S平方米．（1）求出S关于x的函数关系式（结果保留π），并写出定义域；（2）当直道AB为米时，足球场ABCD的面积最大．8“十一”假期，全国各地的游客慕名前来杭州旅游，某景点检票口从早上7：30开始检票，等待检票人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上）（1）请观察图象，7：30时等待检票的游客有人；（2）当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式；（3）何时开始，游客可以随到随检？如图所示，抛物线y=−(x−3m)2（m＞0）的顶点为A，直线l：y=3（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标．12．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求函数的解析式；（2）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c；①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．答案解析题型1根据实际问题列二次函数关系式【典例1】婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x）【答案】A【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）．故选：A．【变式1】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x）【答案】A【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米．根据题意得：y＝x（18﹣4x）．故选：A．题型2二次函数的应用_营销问题【典例1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？【答案】（1）每件衬衫应降价20元（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝20，x2＝10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．（2）设商场平均每天盈利y元，则y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元．【变式1】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；（2）至少需要购进B款纪念品200个；（3）W＝﹣5（a﹣70）2+4500（60≤a≤100），W的最大值为4500．【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得200x+300y=14000100x+200y=8000解得x=40y=20答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400﹣m）个，由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000，解得m≥200，∴m的最小值为200，答：至少需要购进B款纪念品200个；（3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]＝（a﹣40）（200﹣5a+300）＝（a﹣40）（500﹣5a）＝500a﹣20000﹣5a2+200a＝﹣5（a﹣70）2+4500，∵﹣5＜0，60≤a≤100，∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500．题型3二次函数的应用_最大面积【典例1】甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米．（1）如图1，当AD≤MN时，①AD＝米（用含x的代数式表示）．②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长．（2）如图2，当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积．【答案】（1）①（52﹣2x）；②AB的长为23米；（2）当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积为240.25平方米．【解答】解：（1）①AD＝50+2﹣2x＝（52﹣2x）米，故答案为：（52﹣2x）；②x（52﹣2x）＝138，52x﹣2x2＝138，x2﹣26x+69＝0，（x﹣23）（x﹣3）＝0，解得：x1＝23，x2＝3，当x＝3时，52﹣2x＝46＞10，所以舍去；答：AB的长为23米；（2）设养鸡场的面积为y，y＝x×50+2+10−2x2=x（31﹣x）＝﹣x2∵﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∴y最大=4ac答：当AD＞MN时，求养鸡场可达到的最大面积为240.25平方米．【变式1】如图，ABCD是一块边长为8m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为xm．（1）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长；（2）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）BE的长为4m；（2）当x为2m时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72m2．【解答】解：（1）根据题意得：（8﹣x）（8+2x）＝82，解得x＝0（舍去）或x＝4，∴此时BE的长为4m；（2）设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为ym2，根据题意可得：y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64＝﹣2（x﹣2）2+72，∵﹣2＜0，∴当x＝2时，y取最大值，最大值为72，答：当x为2m时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72m2．题型4二次函数的应用_轨迹问题【典例1】一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（）A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面【答案】B【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4）＝﹣5（t﹣2）2+20，∵a＝﹣5＜0，∴当t＝2时，h最大＝20，∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米；当h＝0时，﹣5t2+20t＝0，解得：t1＝0，t2＝4，∴在4秒时返回地面，故选：B．【变式1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，209设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，209）代入y＝a（x﹣4）2209=16∴a=−1则抛物线的解析式为：y=−19（x﹣4）（2）令x＝7，则y=−1即点（7，3）在抛物线上，所以此球能准确投中．题型5二次函数的应用_拱桥问题【典例1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线．（1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式．（2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm）【答案】（1）该抛物线的表达式为y=−5144x（2）在河道中可通行的安全范围是2415【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，由题意得OA＝OB=12AB＝12米，点∴点A的坐标为（﹣12，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+5（a≠0），把A（﹣12，0）代入，得144a+5＝0，解得：a=−5∴该抛物线的表达式为y=−5144x（2）∵165+15+20＝200（cm）＝2（m），∴当y＝2时，−5144x解得x1=−12155，x∴在河道中可通行的安全范围是2415【变式1】某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）如图所示，（1）求抛物线的解析式；（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？【答案】（1）抛物线的解析式为y=1（2）最大水深减少了2.4米．【解答】解：（1）由图可知，抛物线的顶点坐标为（0，﹣5），∴可设抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，把（15，0）代入，0＝a×152﹣5，解得a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）原水面宽度为12﹣（﹣12）＝24米，减少为原来的一半后宽度为12米，当x＝12时，y=1当x＝6时，y=1∴水面下降的高度为（﹣1.8）﹣（﹣4.2）＝2.4米，即最大水深减少了2.4米．题型6二次函数的应用_几何问题【典例1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为．【答案】y＝﹣x2+4x．【解答】解：依题意，另一边的长度为8÷2﹣x＝4﹣x（米），∴y＝（4﹣x）x＝﹣x2+4x，故答案为：y＝﹣x2+4x．【变式1】为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃ABCD的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形EFGH种植南瓜．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．（1）求y关于x的函数表达式；（2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x2﹣16x+64（0＜x＜8）；（2）四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为32．【解答】解：（1）由题意，BE＝AB﹣AE＝（8﹣x）米，∴y=8（2）四边形EFGH的面积否存在最小值，∵y＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32，∴抛物线的开口向上，∴当x＝4时，y有最小值为32；∴四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为32．题型7二次函数的应用_行程问题【典例1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）【答案】B【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意；B、在A点的速度为5255=105m/min，在A到B点的平均速度为1200−52520−5=67515=C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，把（25，1200），（50，2000）代入得，1200=25k+b2000=50k+b解得：k=32b=400∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意；D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200，解得a＝﹣3，∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意；故选：B．【变式1】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间0123刹车后行驶的距离y0274863发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；（3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．【答案】（1）y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t；（2）汽车刹车4s后，行驶了72米；（3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析．【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得，c=0a+b+c=27解得：a=−3b=30∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t；（2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t，当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72，∴汽车刹车4s后，行驶了72米；（3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t，∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75，∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米，∵75＞70，∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．题型8二次函数的应用_其他问题【典例1】如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（）A．9 B．152 C．7 D．【答案】D【解答】解析：连接BD，作PH⊥AD于点H，由题意可得：BA＝BC，∵D为AC中点，∴BD⊥AC，由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4，∴AD=AB2−BD2=∵PD2＝PH2+DH2，∴x2∴当x=910时，x2+y2有最小值故选：D．【变式1】如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（）A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是9cm C．若a＝3，则小球的最大速度为4cm/s D．当弹簧的长度为10cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同【答案】C【解答】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意，B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为2cm时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为15﹣2＝13（cm），故不符合题意；C、由图象，抛物线的对称轴为直线x＝2，∴（6，0）的对称点为（﹣2，0），假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x+2），将（0，3）代入解析式得，3＝﹣12a，解得a=−1∴抛物线解析式为y=−1当x＝2时，函数值最大，最大值为y=−1∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s，该选项正确，符合题意；D、当弹簧的长度为10cm时，被压缩了15﹣10＝5cm，即x＝5，由图象可知，二次函数的对称轴是直线x＝2，则x＝0与x＝4对应的速度相等，所以x＝5时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意．故选：C．题型9二次函数综合【典例1】已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【答案】（1）经过（2，4），理由见解答．（2）n＝﹣m2﹣6m．（3）b＝4或6．【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：4﹣2b+3b＝4，解得b＝0，∴此函数表达式为：y＝x2，当x＝2时，y＝4，∴图象经过点（2，4）；（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是（m，n），∴−b2=m，∴b＝﹣2m，把b＝﹣2m代入12b−b24=n得n=−24m−4即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．（3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，∵抛物线不经过第三象限，∴3b≥0，即b≥0，∵y＝x2+bx+3b＝（x+b2）2−b∴抛物线顶点（−b2，−b∵−b∴当−b24解得b≤12，∴0≤b≤12，﹣6≤−b∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y=−b24把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，当36﹣3b﹣（−b24解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．当1+4b﹣（−b24解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．综上所述，b＝4或6．【变式1】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则△ACP面积的最大值为．【答案】（1）y＝﹣x2+5x＝6；（2）M（52，7【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），∴36a+6b+6=0a−b+6=0解得：a=−1b=5∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图，则此时CM+BM最小．令x＝0，则y＝6，∴C（0，6）．∵y＝﹣x2+5x＝6=−(x−5∴抛物线的对称轴为直线x=5设直线AC的解析式为y＝kx+n，∴n=66k+n=0解得：k=−1n=6∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．∵当x=52时，y∴M（52，7（3）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC与点E，如图，∵A（6，0），∴OA＝6．设点P（m，﹣m2+5m+6），则E（m，﹣m+6），∵点P在抛物线第一象限的图象上，∴PE＝﹣m2+5m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+6m．∵S△ACP＝S△PCE+S△APE，∴S=12×PE•（OD=12×6×（﹣m2＝﹣3（m﹣3）2+27．∵﹣3＜0，∴当m＝3时，△ACP面积的最大值为27．故答案为：27．题型10二次函数的函数综合【典例1】定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．（1）点A的相伴抛物线的解析式为；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为；（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，故答案为：（﹣2，﹣10）；（2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（−12m，−14m令x=−12m，则m＝﹣2则y=−14m2+2m+2＝﹣x2﹣4即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）；当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2±22故点F（﹣2+22故0＜x＜﹣2+22，由①知：a＝m＝﹣2x，故：4﹣42＜a【变式1】已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（12，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a【答案】（1）y1＝x2﹣x﹣2，（2）1或2，（3）0＜a＜3−1或−3【解答】解：y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣x﹣m2﹣m（1）将（1，﹣2）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m得：﹣2＝12﹣1﹣m2﹣m，解得m1＝﹣2，m2＝1，m1＝﹣2时，y1＝x2﹣x﹣2，m2＝1时，y1＝x2﹣x﹣2，∴y1的函数表达式为：y1＝x2﹣x﹣2，故答案为：y1＝x2﹣x﹣2；（2）将点（1，m+1）代入y2＝ax+m得：m+1＝a+m，解得a＝1，∴y2＝x+m，由y1=x2−x−m2−my2=x+m∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣m2﹣2m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，∵4（m+1）2≥0，∴△≥0，当m＝﹣1时Δ＝0，当m≠﹣1时Δ＞0，∴y1=x2−x−∴y1与y2图象总有交点，当m＝﹣1时有一个交点，当m≠﹣1时有两个交点，故答案为：1或2；（3）将点（12，0）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m可得m1＝m2=−∴y1＝x2﹣x+14，y2＝ax由y1=x2−x+14y2∴Δ＝[﹣（a+1）]2﹣3＝（a+1）2﹣3，若Δ＝0，则y1=x2−x+14此时（a+1）2﹣3＝0，解得a=3−1或a如图，如果y1、y2图象没有交点，则对任意x，都有y1＞y2，由图象可知此时0＜a＜3−1或−3故答案为：0＜a＜3−1或−3题型11二次函数_含绝对值【典例1】对于x的二次三项式ax2+bx+c（a＞0）．（1）当c＜0时，求函数y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（2）若不论k为任何实数，直线y=k(x−1)−k24与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a，b【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设，y1＝ax2+bx+c，∵a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴y1＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|的最小值为0，∴y＝﹣2|ax2+bx+c|﹣1的最大值是﹣1．（2）∵直线y＝k（x﹣1）−k24与抛物线y＝ax2+bx∴方程组：y=k(x−1)−k∴ax2+（b﹣k）x+k24+∴Δ＝0，∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4ac＝0∵对于k为任何实数，上式恒成立，∴1−a=0−2(2a+b)=0∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．【变式1】对关于x的一次函数y=kx−k−14k2和二次函数y＝ax2+bx+（1）当c＜0时，求函数s＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值；（2）若直线y=kx−k−14k2和抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点，k为任意实数，求a3+b3【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y1＝ax2+bx+c，∵a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴y1＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|的最小值为0，∴y＝﹣2|ax2+bx+c|+2013的最大值是2013．（2）∵直线y＝kx﹣k−14k2与抛物线y＝ax2+bx+∴方程组y=k(x−1)−k∴ax2+（b﹣k）x+14k2+k+∴Δ＝0，∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4ac＝0∵对于k为任何实数，上式恒成立，∴1−a=0−2(2a+b)=0∴a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴a3+b3+c3＝1﹣8+1＝﹣6．题型12二次函数_组合函数【典例1】已知函数y=−x2（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当n＝5时，y=−①将P（4，b）代入y=−12x2+5∴b=9②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x=52时有最大值为∴函数的最大值为458（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n=18∴185＜n＜4时，图象与线段将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y=−12x2+n∴n=8∴2≤n＜83时图象与线段综上所述：185＜n＜4，2≤n＜8（3）n＞0时，n＞n①如图1中，当点A的纵坐标为4时，将点（4，2）代入y=−18x2+n2x+n2中，则有观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．n＜0时，n＜n③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n2解得n＝﹣2﹣25或n＝﹣2+25（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣25或n＝4或n≥8．题型13二次函数_复杂函数探究【典例1】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）．①若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An，…（n为正整数）．求AnAn﹣1的长（用含n的式子表示）．【答案】（1）﹣4；（﹣2，1）；y＝x2﹣4x+5；（2）m≤5；（3）①a=3b=−3；衍生中心的坐标为（0，6）；②4n【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），∴﹣1﹣b﹣3＝0，∴b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），令原抛物线的x＝0，∴y＝﹣3，∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，∵点（0，5）在新抛物线上，∴5＝a（0﹣2）2+1，∴a＝1，∴新抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，故答案为：﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5；抽象感悟：（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），设衍生抛物线为y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6，∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，∴a＝1，∴衍生抛物线为y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②，联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5，整理得，2x2＝10﹣2m，∵这两条抛物线有交点，∴10﹣2m≥0，∴m≤5；问题解决：（3）①抛物线y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b，∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b，∴a+b＝0③，∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④，联立③④，∴a＝0（舍）或a＝3，∴b＝﹣3，∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），∴衍生中心的坐标为（0，6）；②抛物线y＝ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2），∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2），同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）∴AnAn+1=a+b+2k+2(n+1)2【变式1】在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如表．请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…0m﹣4﹣3﹣4﹣30…其中，m＝．（2）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有个实数根．②方程x2﹣2|x|＝0有个实数根．③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2个实数根时，n的取值范围是．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3＝﹣3，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出函数图象关于y轴对称，函数有最小值为﹣4．（4）①观察函数图象可知：当x＝﹣3、3时，y＝0，∴该函数图象与x轴有2个交点，即对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2个实数根．故答案为：2；2．②观察函数图象可知：函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与y＝﹣3只有3个交点．故答案为：3．③观察图象可知：当n＝﹣4时，直线y＝﹣4与函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有2个交点，当n＞﹣3时，直线y＝n与函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有2个交点，故答案为：n＝﹣4或n＞﹣3．题型14二次函数几何综合_基本型【典例1】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【答案】（1）b＝﹣2，c＝﹣6，直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）点E（103，−（3）166d−d【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、∴0=1解得b=−2c=−6∴抛物线解析式为y=12x2﹣2当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则n