29.1.2《过三点的圆》课件(共21张) 九年级数学人教版九上

第二十九章圆

29.1过三点的圆

学习目标：1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握三角形外接圆、外心的概念，会找三角形的外心。2.经历探究过一点、两点、三点作圆的过程，体会分类讨论的数学思想，提升尺规作图与逻辑推理能力。3通过探究确定圆的条件，感受几何探究的严谨性，养成规范作图、认真思考的学习习惯。教学重点：不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆与外心的概念。教学难点：理解“不在同一直线上”这一前提条件，准确区分不同类型三角形外心的位置。圆的有关概念圆的定义描述性定义集合性定义与圆有关的概念弦、直径圆弧（弧）、半圆等圆、等弧优弧、劣弧点与圆的位置关系

在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径.圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.温故引新我们知道两点确定一条直线，那么几个点可以确定一个圆呢？1.经过一个点

A

能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？·····A

经过一个点

A

作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个.思考：作圆的关键是什么？要确定什么？

作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.

对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题.探究新知3.

经过三个点

A、B、C

能不能作圆？····AB经过两个点A，B

作圆，由于所作圆的圆心到

A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个.探究新知2.

经过两个点

A，B

能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？

三个点

A、B、C

的位置关系有哪几种？

（1）经过同一直线上的三个点

A、B、C能够作圆吗？为什么？

（2）经过不在同一直线上的三个点

A、B、C能够作圆吗？为什么？(2)经过不在同一条直线上的三个点

A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心和半径？DEGFABCO经过不在同一条直线上的三个点

A，B，C

作圆，因为所作的圆要经过

A，B，C

三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等，所以所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点.探究新知

由作法可知，线段

AB，BC

的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的.

因此，经过不在同一直线上的三点

A，B，C可以作一个并且只可以作一个圆.DEGFABCO注意：根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形.

因为三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形.发现新知不在同一条直线上的三个点确定一个圆.不能忽略这个前提条件有且只有类型锐角三角形直角三角形钝角三角形图示位置外心在三角形的内部.外心是直角三角形斜边的中点.外心在三角形的外部.联系外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形.外心在三角形最长边中点处⇔三角形为直角三角形.外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形.三角形外心的位置新知联想

如图，在△ABC

中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求△ABC外接圆半径的长度.例1

例题分析·

例2

Dl2l1O例题分析

.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长.ABC

例题分析例3

如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点

A,B,C，已知点A的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心

P的坐标是____________.解析：连接AB，BC，线段AB，BC

的垂直平分线的交点即为圆心P，如图所示，观察图形可知点P恰好为正方形网格的格点，点P的坐标是(-1，0).例4(-1,0)P逆向思考确定圆心的基本方法一找点：在圆弧上任意找三点.二作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦.三定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心.你知道如何将一个如图所示的破损的圆盘复原吗？解：修复方法：（1）在圆弧上任取三点A，B，C;（2）作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心;（3）以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO例5解决问题过三点的圆确定圆的条件三角形的外接圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形.三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径.课堂小结1.判断下列说法是否正确.（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. ()（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. ()（3）经过三点一定可以确定一个圆. ()（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ()无数个.不共线的三点.分层练习2.在联欢晚会上，有A,B,C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三条垂直平分线的交点D3.有下列说法：①任何一个圆都只有一个内接三角形；②钝角三角形的外心在三角形的内部；③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形.其中正确的有()BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个分层练习4．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，在网格中找一格点C，使△ABC的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有(

)A．0个

B．1个

C．2个

D．3个C分层练习5.已知△ABC是等腰三角形，它的底边长是8，若△ABC的外接圆的半径是5，则△ABC的面积是__________．

未指明三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形时，注意分类讨论三角形的形状，可先画出草图帮助计算．32或86.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ABCD解：先沿CD作一条直线，保持AB两端在圆上，旋转这个工具到另外一个位置，再沿CD作一条直线，两条直线的交点即为圆心.分层练习

28．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的面积．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)分层练习

答图2

答图2分层练习9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC.（1）若∠A＝50°，则∠ABO＋∠ACO＝______°；50分层练习（2）若∠A＝α，∠BOC＝β，猜想α与β之间的数量关系，并证明．解（2）：β＝2α.证明如下：如答图8，连接OA.∵⊙O是△ABC的外接圆，∴OA＝OB＝OC.∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，∠CBO＝∠BCO.∴∠ABO＋∠ACO＝∠BAO＋∠CAO＝∠B