人教版（2024）九年级上册数学 第二十六章 二次函数 单元测试（含答案）

人教版（2024）九年级上第二十六章二次函数单元测试一．选择题（共12小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．yB．x2-y+2=0C．y=2x+1D．y2=x2-12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0），点B（3，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是（）A．x1=-1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x=1D．x=-33．将二次函数y=-2（x-2）2+3的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（）A．y=-2（x-4）2+1B．y=-2（x-4）2+3C．y=-2x2+3D．y=-2（x-2）2+14．抛物线y=-3（x+1）2+2的顶点坐标在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知二次函数y=x2+mx+n（m,n是常数）的图象与x轴的交点横坐标为1和t,若2＜t＜4，则m的取值范围是（）A．-3＜m＜0B．-5＜m＜-3C．3＜m＜5D．-5＜m＜36．把二次函数y=x2-2x-1的解析式配成顶点式为（）A．y=（x-1）2B．y=（x-1）2-2C．y=（x+1）2+1D．y=（x+1）2-27．如图，四边形OABC是正方形，且点A、C恰好在抛物线y=x2上，点B在y轴上，则OB的长为（）A．2B．2C．4D．28．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-1与二次函数y=kx2+3的大致图象可以是（）A．B．C．D．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线x=1，则下列说法错误的是（）A．2a+b=0B．3a+2b＜0C．3a+c＜0D．方程ax10．已知二次函数y=ax2-4ax（a为常数，且a≠0），当4≤x≤6时，y的最大值为24，则a的值为（）A．-2B．2C．3D．411．已知抛物线y=x2-2nx（n≠0），点P（x1，y1），点Q（x2，y2）是抛物线上两点，且-6≤x2≤-4．当x1=-n时，始终满足y1＞y2，则n的取值范围为（）A．n＜-2或n＞6B．n＜-2或0＜n＜6C．-2＜n＜0或n＞6D．-2＜n＜0或0＜n＜612．点P是抛物线y=-x2+2（a-1）x-（a2-1）的顶点，点A（-1，m）、B（t,m）在抛物线上（其中t＞-1）．下列结论：

①当点P在x轴上时，a=1；②点P在直线y=2x上；③m+2t＜1；④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点C（0，−14）的直线与抛物线交于MA．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）13．抛物线y=−114．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是______．15．若二次函数y=12x2−x16．已知抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，其部分图象如图所示，则3a+c=______．17．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B（-1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA=2∠DCA，则点E的坐标是______．三．解答题（共5小题）18．抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值．

（3）若点M（m,y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围．19．如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为8m,拱门顶端最高处的高度为3m,小青以拱门的左边缘O为原点，地面所在直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求拱门所在抛物线的函数表达式；

（2）为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为1.5m的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离．20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1．

（1）若该抛物线的对称轴为直线x=1，并且经过点（-1，3），求抛物线对应的函数表达式．

（2）若直线y=ax+c经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点．

①求抛物线的顶点坐标；

②A（p-4，y1），B（p,y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围．21．已知抛物线y=ax2-4ax+2（a≠0）．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若点A（x1，m），B（x2，b），C（-2，n）均在抛物线上，且对于任意x2，都有m≤b.

①求m的值（用含a的代数式表示）；

②求证：mn22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y=kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．

（1）求a,b,k的值；

（2）求PQ的最大值；

（3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且t1+t人教版（2024）九年级上第二十六章二次函数单元测试

(参考答案)一．选择题（共12小题）1、B 2、A 3、B 4、B 5、B 6、B 7、A 8、C 9、C 10、B 11、A 12、B 二．填空题（共5小题）13、（4，3）； 14、0或1； 15、k＜12； 16、-1.5； 17、（-1，三．解答题（共5小题）18、解：（1）抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将点A，点B，点C的坐标分别代入得：

{a−b+c=0c=39a+3b+c=0，

解得：{a=−1b=2c=3，

∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3；

（2）由（1）得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴抛物线对称轴为直线x=1，

∵PQ∥x轴，

∴P，Q关于直线x=1对称，

设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ=2，

∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧，

∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ，

若PD=13PQ，则0−xP=13（xQ−xP），即xQ=-2xP，

联立xP+xQ=2，

解得：xP=-2，

当x=-2时，d=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，

若PD=23PQ，则0−xP=23（xQ−xP），即xP=-2xQ，

联立xP+xQ=2，

解得：xQ=-2，与xQ＞0矛盾，舍去，

∴d=-5；19、解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（4，3），

设y=a（x-4）2+3，

将O（0，0）代入，得16a+3=0，

解得a=−316，

∴y=−316（x−4）2+3或y=−316x2+20、解：（1）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1．

根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，-1）．

设抛物线对应的函数表达式为y=a（x-1）2-1，

把（-1，3）代入，可得3=4a-1

解得a=1，

∴抛物线对应的函数表达式为y=（x-1）2-1=x2-2x；

（2）①根据y=ax2+bx+c,

可得二次函数的顶点为（−b2a，−1），

把（−b2a，−1）代入y=ax+c,

得a•（−b2a）+c=−1，

化简，得c=b2−1．

∵4ac−b24a=−1，

∴4a•（b2−1）−b24a=−1，

∴b=2a,

∴−b2a=−1，

∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）；

②设抛物线对应的函数表达式为21、解：（1）由条件可得：−−4a2a=2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2；

（2）①当a＞0时，

∵点A（x1，m），B（x2，b）均在抛物线上，且对于任意x2，都有m≤b.

∴点A（x1，m）为抛物线的顶点，

由（1）得当x=2时，y=a×22-4a×2+2=-4a+2，

∴m=-4a+2；

当a＜0时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意；

综上：m=-4a+2；

证明②：由条件可知n=a×（-2）2-4a×（-2）+2=12a+2，

∴mn=（-4a+2）（12a+2）

=-48a2+16a+4

=−48（a−16）2+163，

∵-48＜0，

22、解：（1）把A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得，{4a−2b+3=036a+6b+3=0，

解得{a=−14b=1，

把B（6，0）代入y=kx+3得，6k+3=0，

解得k=−12，

∴a=−14，b=1，k=−12．

（2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H，

∵点P的横坐标为m,

∴P（m,−14m2+m+3），H（m,−12m+3），

∴PH=（−14m2+m+3）−（−12m+3）=−14m2+32m=−14（m−3）2+94．

∴当m=3时，PH有最大值为94．

∵PQ⊥BC，

∴∠PQH=