2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-牛吃草问题（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）牛吃草问题一片草地每天长的新草-样多，羊和兔子吃草量正好是牛吃草总量。如果草地放牧牛和羊，可吃45天，如果放牧牛和兔子，可吃60天；如果放牧羊和兔子，可吃90天；若草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃多少天？2．牧民老张家和老王家各有一块牧场，老王家牧场的面积是老张家牧场面积的2倍，现在要在牧场上放养1群野马，如果在老王家的牧场上放养能在老张家的牧场上多放养9个月．而若要这群野马放在两家的牧场上一起放养，则此时牧场上的草永远不会减少，也不会增加。那么这群野马能在老王家的牧场上放养几个月就会将牧草吃光？（假设最初两家牧场上草的厚度一样，草长的速度也一样）3．北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线：若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用2个小时使水位线降至安全线以下，则至少需要打开泄洪闸的数目为多少个?4．一片茂盛的草地，草每天的生长速度相同，现在这片青习16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量。那么，8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天？5．一片草地每天长的新草一样多，羊和兔子的吃草量之和正好是牛的吃草量。如果草地放牧牛和羊，可吃45天；如果放牧牛和兔子，可吃60天；如果放牧羊和兔子，可吃90天。若草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃多少天?6．某菜牛公司利用草场放牧菜牛代替图养，公司有两处草场，草场甲的面积为1公顷，草场乙的面积为2公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同，如果草场甲可共30头牛吃36天，草场乙可供80头牛吃24天(草刚好吃完)，若两处的草场合起来可供110头牛吃多少天？7．牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？8．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派15名工人砌酸墙，14天可以把砖用完；如果派20名工人，9天可以把砖用完。现在派若干名工人砌了6天后，又调走6名工人，余下的工人又干了4天才砌完，问原来有多少名工人？9．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间好把池塘中的水抽完？10．三块草地，面积比是1：2：3，牛、羊、兔子三种动物都吃草．第一块草地，如果15头牛吃，9天吃完；如果20只羊吃，12天吃完；如果30只兔子吃，18天吃完．第二块草地，30头牛吃6天，又来了20只羊，2天吃完．第三块地，12头牛，10只羊，10只兔子，需要多少天吃完？11．北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位线降至安全线以下，则至少需要打开泄洪闸的数目为多少个？12．某火车站在检票前若干分钟就开始排队，排队人数按一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40分钟检票口前的队伍才能消失，如果同时开放两个检票口，则16分钟队伍就消失了，设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，要多少时间检票口队伍才会消失?13．一片匀速生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完。如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。如果起初这15头牛吃了两天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？14．疫情期间，银行采取持队进入大厅办理各项业务。某银行网点9点开门，此时已经有人排队等候。以第一个人来到时起，每分钟来的人数一样多，如果开3个窗口办理业务。则9分钟后就不再有人排队；如果开5个窗口办理业务，则5分钟后就不再有人排队。那么第一个人到达该银行网点的时间是几点几分？15．画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？16．有一个长方体水箱，在某个侧面高度相同的地方开有3各大小相同的出水孔。用一个进水管给空水箱灌水，如果三个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满；如果打开一个出水孔，需要32分钟将水箱注满；如果打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满。请问：当三个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？17．一片草地每天长的新草一样多，羊和兔子吃草量正好是牛吃草总量。如果草地放牧牛和羊，可吃45天，如果放牧牛和兔子，可吃60天；如果放牧羊和兔子，可吃90天；若草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃多少天？18．有一牧场长满牧草，每天牧草均速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有多少头牛？19．商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，兄妹两人乘自动扶梯上楼，哥哥每分钟走20级，妹妹每分钟走15级，结果哥哥5分钟到达楼上，妹妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯有多少级可见扶梯？20．某火车站在检票前着干分钟就开始排队，排队人数技一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40分钟检票口前的队伍才能消失。如果同时开放两个检票口，则16分钟队伍就消失了，设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，要多少时间检票口队伍才会消失?

答案解析部分1．解：设1只兔子1天吃1份草.1只羊1天吃x份草.1头牛1天吃（x+1）份草.牛，羊45天吃：45x[x+（x+1）=9x＋45牛，兔60天吃：60×[（x+1）+1]=60x+120羊，兔90天吃：90（x+1）=90x+90.草速：[（60x+120）-（90x+45）]÷（60-45）=5-2x草速：[（90x+90）-（60x+120）]÷（90-60）=x-15-2x=x-16=3xx=2草速2-1=1，牛每天吃2＋1=3份.原草：90×（2+1）-90×1

=270-90

=180（份）一起放：180÷（1+2+3-1）

=180÷5

=36（天）

答：草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃36天。设1只兔子1天吃1份草.1只羊1天吃x份草.1头牛1天吃（x+1）份草，根据题意，可表示出牛，羊45天吃量、牛，兔60天吃的量、羊，兔90天吃量；进而写出关于草速的两个关系式，从而求出草速，将草速代入关系式“原草=天数×（吃的份数+草速）-天数×草速”求出原草的量，再用原草的量除以同时放牧牛、羊、兔子每天需要吃的份数减去草速的差即可求解。2．解：这群野马吃光老张家牧场的时间是吃光老王家的：12÷2=14

野马能在老王家的牧场上放养：这群野马在两家的牧场上一起放养，草恰好永远不会减少，则说明两家牧场每月长的草怡好够这群野马吃.假设老张家牧场每月草长出看成1份.老王家的每天就长2份，那么这群野马吃老张家牧场的草时，每月吃的原有草就是2份，这群野马吃老王家牧场的草时，每月吃的原有草就是1份，说明这群野马吃光老张家牧场的时间是吃光老王家的123．解：假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为“1”，

则水库每小时增加的水量为：(1×30-2×10)÷(30-10)=0.5，

原有的水量超过安全线的部分有：1×30-0.5×30=15，

如果要用2个小时使水位线降至安全线以下，至少需要开泄洪闸：15÷2+0.5=8(个)。

答：需要用2个小时使水位线降至安全线以下，则至少需要打开泄洪闸的数目为多少个。本题是牛吃草问题的变形，需要假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为“1”，计算出水库每小时增加了数量，再算出原有的水量超过安全线的部分，接着再算2小时降至安全线以下至少需要的泄洪闸数量。4．解：把羊换作牛来计算，假设1头牛1天吃1份草，

100÷4=25(头)，

(16×15-25×6)÷(15-6)=(240-150)÷9=10(份)，

草每天生长10份。

原有草量：16×15-15×10=90(份)，

48÷4＋8=20（头)，

90÷(20-10)=9(天)，

答：8头牛和48只羊一起吃可以吃9天。本题考查的是牛吃草问题，牛吃草基本公式有：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；原有总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量。把羊换作牛来计算，100只羊相当于25头牛，假设一头牛一天吃1份草，可以算出草每天的生长量，进而求出原有草量，8头牛和48只羊相当于20头牛，根据原有总草量，转化的牛的头数，每天草的生长量，即可求得结果。5．解：设每只兔子每天吃草量为1，每只羊每天吃草量为x，则每头牛每天吃草量为（1+x）。每天新长草量为：[90×[60×(1+x+1)-45×(x+x+1)]÷(60-45)=5-2x，

则5-2x=1，

解得x=2，则每头牛每天吃草量1＋2=3，

草地原有草量：90×(2+1)-90×1=180，同时放牛、羊、兔子：180÷(1＋2＋3-1)=180÷5=36(天)。答：同时放牛、羊、兔子可吃36天。本题牛吃草问题，设每只兔子每天吃草量为1，每只羊每天吃草量为x，则每头牛每天吃草量为（1+x）。先根据如果放牧羊和兔子，可吃90天，如果草地放牧牛和羊，可吃45天算出每天新长草量，再根据如果放牧牛和兔子，可吃60天，如果草地放牧牛和羊，可吃45天算出每天新长草量，根据草地每天长的新草一样多，建立方程，求得羊、牛每天吃草量，接着算出草地原有草量，即可算出同时放牧牛、羊、兔子的天数。6．解：设每头牛每天吃掉草为a，草场每公顷每天生长的草为b，甲草场原有草为c，乙草场原有草为2c

30×36a=c+36b①80×24a=2c+24×2b②

①×2得2160a=2c+72b③

③-②得240a=24b

所以b=10a

把b=10a代入①得1080a=C+360a

所以c=720a

首先设每头牛每天吃掉草为a，草场每公顷每天生长的草为b，甲草场原有草为c，乙草场原有草为2c，根据30头牛36天吃的草等于草场原本有的草和36天长出的草的和建立方程，乙草场面积是甲草场的2倍，故原有草量也是甲的2倍，草的生长速度也是甲的2倍，再根据80头牛24天吃的草等于草场原本有的草和24天长出的草的和建立方程，联立两个方程即可解得b与a以及c与a的关系式；再设两处的草场合起来可供110头牛吃x天，同上建立方程，代入b与a以及c与a的关系式，使方程只含未知数a和x，a消掉后即可得出x的值，即本题答案。7．解：设定一天牛每天吃牧草的重量为x千克，牧场每天生长的牧草重量为y千克。

10×20x-20y=15×10x-10y

解得：y=5x

牧场原有的牧草量：10x20x-20y=10x20x-100x=100x

可吃天数：100x÷（25x首先设定一天牛每天吃牧草的重量为x千克，牧场每天生长的牧草重量为y千克。

根据题意，可以列出方程10头牛吃20天的牧草量=15头牛吃10天的牧草量，即10×20x-20y=15×10x-10y；解方程得到牧场每天生长的牧草量y是牛每天吃草量x的5倍，即y=5x；将y=5x代入方程10x20x-20y中，计算出牧场原有的牧草量为100x千克；最后根据牧草的总重量和牛每天吃的牧草量以及每天生

长的牧草量，计算出25头牛可以吃多少天即可。8．解：假设1名工人1天的砌砖数为1。

15×14－20×9

=210－180

=30

30÷（14-9）

=30÷5

=6

14×（15－6）

=14×9

=126

设原来有x名工人。

（x－6）×4+6x－6×（6+4）=126

4x-24+6x-60=126

10x-84=126

10x=126+84

x=210÷10

x=21

答：原来有21名工人。根据题意假设1名工人1天的砌砖数为1，则15名工人×14天－20名工人×9天=相差天数里搬的砖的总数，相差天数里搬的砖的总数÷（14天－9天）=平均每天搬的砖的数量，14天×（15名工人一天的砌砖数－平均每天搬的砖的数量）=原来有的砖的数量；

（原来有的工人数－调走的工人数）×余下工作的天数4天+6天×原来有的工人数=10天一共的砌砖数，平均每天搬的砖的数量×（4天+6天）=10天一共搬来的砖的数量，（原来有的工人数－调走的工人数）×余下工作的天数4天+6天×原来有的工人数－平均每天搬的砖的数量×（4天+6天）=原来有的砖的数量，据此关系式设原来有x名工人，列方程解答即可。9．解：设原池塘存量水为a份，山泉水的流量为b份/小时，1台A型抽水机1小时抽水c份。

a+b×1=c×1×1a+b×2060=2×c×2060，变形为a+b=c①a+13b=23本题需要用到三个量，即池塘的原存水量a份、山泉水的流量为b份/小时、1台A型抽水机1小时抽水c份，并且这三个量的关系是“原池塘存水量+山泉水流量×时间=1台A型抽水机1小时抽水×时间×几台A型抽水机”。根据这个公式，依据条件“用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完”，则可以列式为a+b×1=c×1×1；根据第二个条件“用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完”，则可以列式为a+b×2010．解：设每头牛每天吃1份草。

第一块草地原来草量为：15×9-3×9

=135-27

=108(份)

20只羊每天吃：15-3=12(份)

30只兔子每天吃：108÷18+3

=6+3

=9(份)

每天减少：12×1+12÷2+9÷3-3×3

=12+6+3-9

=21-9

=12(份)

108×3÷12

=324÷12

=27(天)

答：第三块地，12头牛，10只羊，10只兔子，需要27天吃完。先把第二块地的条件，化作与第一块地同样大，把牛和羊的数量按比例缩小即可，即第一块地15头牛吃6天，又来了10只羊，2天吃完。设每头牛每天吃1份草，15头牛吃草，可以9天吃完；15头牛吃了6天后，又来了10只羊，再吃2天就吃完了，后面差了一天，即差了15份-草自然生长一天的量，多了10只羊吃了两天，相当于20只羊吃一天，就是差了的量，即20只羊每天比15头牛少草自然生长一天的量，9天就差草自然生长九天的量，最后3天补回来，即(15份-草自然生长两天的量)x3=草自然生长九天的量，即草每天生长3份，所以原来草量为15×9-3×9=108份；20只羊每天吃

15-3=12份；30只兔子，每天吃108÷18+3=9份；最后用第三块地的份数除以每天减少的份数即可求出吃的天数。11．解：假设每个泄洪洞每小时泄水量为1

水库每小时增加水量：(1×30-2×10)÷(30-10)

=(30-20)÷20

=0.5；原有水量超过安全线部分为：1×30-0.5×30

=30-15

=15；

(15+2×0.5)÷2÷1

=16÷2

=8(个)​

答：至少需要打开泄洪闸的数目为8个。​​​​​​可以假设每个泄洪洞每小时泄水量为1，则打开一个泄洪闸，30小时的泄洪量为1×30=30，打开两个泄洪闸，10个小时的泄洪量为2×10=20，多出的泄洪量为30-10=20(小时)增长的水量，因此，用多出的泄洪量除以20即可求出水库每小时增加水量；再用原来30小时的泄洪量减去30小时的增加水量求出原有超过安全线部分的水量；最后用原有的超过安全线部分水量加上2小时增加的水量求出2小时应泄的水量，先除以时间，再除以每个泄洪闸的泄水量即可求出需要打开的泄洪闸的数量。12．解：设检票口等候检票的人有a人，每个检票口每分钟检票x人，每分钟新增加排队的有y人，根据题意可得：

40×(x-y)=a，

16×(2x-y)=a，

解得x=3y，a=80y，

80y÷(3x-y)

=80y÷(9y-y)

=80y÷8y

=10(分钟)

答：同时开放三个检票口，需要10分钟检票口队伍才会消失。此题是牛吃草问题的变形，先设检票口等候检票的人有a人，每个检票口每分钟检票x人，每分钟新增加排队的有y人，根据题意可得：40×(x-y)=a，16×(2x-y)=a，解得x=3y，a=80y，所以80y÷(3x-y)=10(分钟)，即同时开放三个检票口，需要10分钟检票口队伍才会消失。13．解：假设每头牛每天吃“1”份草。

15×8=120（份）

2×15+（15+2）×（7-2）

=30+85

=115（份）

8-7=1（天）

120-115=5（份）

120-5×8

=120-40

=80（份）

15×2=30（份）

80+5×2-30

=80+10-30

=60（份）

60÷（20-5）

=60÷15

=4（天）

答：再过4天可以把草吃完。本题可以假设每头牛每天吃“1”份草，那么15头牛8天吃的份数=15×8=120（份）；第一种情况一共吃草的份数=起初有牛的头数×开始吃的天数+后来有牛的头数×后来又吃的天数，第一种情况和原来相差的天数=8-7=1天，而这1天一共长草的份数=15头牛8天吃的份数-第一种情况一共吃草的份数，所以原来有草的份数=15头牛8天吃的份数-这1天一共长草的份数×8，那么15头牛吃2天草的份数=15×2=30（份），那么还剩的份数=原来有草的份数+后来这5头牛前2天没有吃草的份数-15头牛吃2天草的份数，所以第二种情况可以吃的天数=还剩的份数÷（第二种情况后来一共有牛的头数-5）。14．解：(9x3-5x5)÷(9-5)=0.5（份）

3x9-0.5x9=22.5（份）

22.5÷0.5=45（分钟）

9时-45分＝8时15分

答：第一个人到达该银行网点的时间是8时15分。9时开门，如果开3个窗口办理业务，则9分钟后就不再有人排队；如果开5个窗口办理业务，则5分钟后就不再有人排队，设每分钟来人1份，由此可得来人的速度为（9x3-5x5)÷(9-5)=0.5（份），开门之前来人为3x9-0.5x9=22.5（份），第一个观众来的时间距开门时间：22.5÷0.5=45（分钟），再用9时减去45分即可求出答案。15．解：设每个入口每分钟检票人数为1份

每分钟来的人数：(3×9-5×5)÷(9-5)=0.5(份)

开门前来的观众人数：3×9-0.5×9=22.5(份)

第一个观众等待的时间：22.5÷0.5=45(分钟)

9点-45分钟=8点15分

答：第一个观众到达的时间是8点15分。本题属于牛吃草问题。假设每个入口每分钟进入的人数为1份。每分钟来的份数，开门前的等待的份数，开门前的等待的份数÷每分钟来的份数等待时间，知道等待时间可求第一人到达时刻。16．解：设进水管每分钟进水量为a，每根出水管出水量为b，且用时为t，水面达到出水孔高度．则得到

30−t×a=32−t设进水管每分钟进水量为a，每根出水管出水量为b，且用时为t，水面达到出水孔高度，列出等式关系即可解得．17．解：设每只兔子每天吃草量为1份，每只羊每天吃草量为x份，则每头牛每天吃草量为(1+x)份，每天新长草量为：[90×(x+1)-45×(x+x+1)]÷(90-45)=(90x+90-90x-45)÷45=45÷45=1(份)[60×(1+x+1)-45×(x+x+1)]÷(60-45)=(60x+120-90x-45)÷15=(75-30x)÷15=5-2x5-2x=12x=4x=21+2=3(份)草地原有草量：90×(2+1)-90×1

=90×3-90

=180(份)，同时放牛、羊、兔子：180÷(1+2+3-1)

=180÷5

=36(天)答：若草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃36天。可以设每只兔子每天吃草量为1份，每只羊每天吃草量为x份，则每头牛每天吃草量为(1+x)份；用羊和兔子90天吃草量与牛和羊45天吃草量的差除以天数差可以求出每天新长的草量；同理，用牛和兔子60天吃草量与牛和羊45天吃草量的差除以天数差也可以求出每天新长的草量，据此可以求出x的值，也就是每只羊每天吃草量，进而再计算出每头牛每天吃草量；接着再用羊和兔子90天的吃草量减去草地90天新长的草量可以得到草地原有草量；最后用原有草量除以三只动物每天总吃草量与草地每天新长草量的差即可求出三只动物的吃草天数