2026-2027学年小学奥数思维训练-数论一整数、奇偶数、极值问题(2)（拓展训练）（含答案）

/小学奥数思维训练数论(一）整数、奇偶数、极值问题（拓展训练）一、填空题1．（2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是_________．二、解答题2．要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？3．能被11整除，那么，n的最小值为多少？4．求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．5．已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？6．把三位数接连重复写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求=？7．已知等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然数，试求这两个“□”的和．8．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？9．桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，若可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法．若不可以，请说明理由；10．某农场打算用60米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈（如图所示），问：若要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？参考答案：1．4876391520【解析】【详解】这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为．由于它能被11整除，必有b＋d-（a＋c）=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．经检验，它是4876391520．2．A=0，B=1，C=5

【解析】【分析】本题商的最值分析是亮点和难点，被合数整除的特征，应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提．【详解】因为36=4×9，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9．要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值．3．6【解析】【详解】能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶位数数字之和的差能被11整除．中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（6n+8）是11的倍数；所以n的最小值是6．4．29899856【解析】【详解】根据次数的末两位数是56，所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以100a是56的倍数，100是4的倍数，所以a能被14整除，所以a能被14整除，所以a是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．5．□=6【解析】【详解】考虑到555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由□=□且7为奇数，可知□也能被7整除；又□可以表示成＋□，说明□也能被7整除，相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．6．=364【解析】【详解】因为91=7×13，且（7，13）=1，所以7|，13|根据一个数能被7或13整除的特征可知，原数能被7以及13整除，当且仅当－能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除．因为（7，10）=1，（13，10）=1，所以7|，13|也就是7|，13|，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除，又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=364．7．24【解析】【详解】1、设1993×a+4×b=6063，其中a、b为自然数．由于6063为奇，4×b为偶数，可知1993×a为奇数，从而判定a为奇自然数；2、由于1993×4=7972>6063，所以□只能取1或3．当a=1时，b=（6063—1993）÷4=4070÷4不是整数；3、当a=3时，b=21合于题设等式．所以a+b=3+21=24．8．找不到【解析】【详解】设这两个完全平方数分别为、那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B），由于（A+B）和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数；54既不是4的倍数，也不是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．9．不可以【解析】【详解】采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所有杯子杯口全部向下，下面计算所有杯子被翻动的次数之和：一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动6个杯子，因此总次数一定是6的倍数，那么就一定是偶数．由于奇数不可能等于偶数，所以我们的假设错误，故不可能经过若干次翻动使得所有杯子杯口