雷达数据处理及应用（第四版）

于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第1章概述1.1

目标跟踪的目的和意义1.2

目标跟踪中的基本概念1.3系统模型第1章概述现代单基地雷达系统简化框图

电磁波

目标天线发射机双工器接收机显示与操作信号处理器数据录取器数据处理器量测1.1

目标跟踪的目的和意义航迹目标跟踪的目的是通过对检测器给出的点迹的数据处理，实现对目标的实时跟踪和预测，最终完成航迹管理和态势显示。目标跟踪定义对获得的目标位置(如径向距离、方位、俯仰角)、运动参数等测量数据进行互联、滤波、平滑、预测等运算，以达到有效抑制测量过程中引入的随机误差，对控制区域内目标的运动轨迹和相关运动参数（如速度和加速度等）进行估计，预测目标下一时刻的位置，并形成稳定的目标航迹，实现对目标的高精度实时跟踪的目的。目标x轴分量跟踪轨迹图

目标跟踪示意框图

量测数据预处理数据互联跟踪航迹起始与终止波门航迹信号处理数据处理点迹量测跟踪的基本任务真假点迹的分类和新航迹的建立；点迹与已有航迹的关联;航迹与航迹之间的关联处理；目标跟踪与滤波、航迹维持以及平滑外推计算；航迹质量等级确定和航迹质量管理；态势显示，包括航迹和点迹的显示。

是指与目标状态有关的受噪声污染的观测值。1量测(点迹、观测、测量)1.2目标跟踪中的基本概念①随时间变化，而且量测往往是在离散的时刻点上-随机序列；②存在误差，尤其是各种随机性的误差。量测特点量测：包含目标运动参数的一组随机序列。根本问题是：噪声和有用信号的区分。2量测数据预处理(1)饱和:①实际系统中要处理的数据远远超出数据处理器设计时所限定的目标处理数量；②数据处理部分被分配的处理时间有限，在这种情况下，数据处理器对一次观测得到的数据尚没处理完，就被迫中断而去处理下一批数据。(2)野值剔除孤立型野值斑点型野值(3)系统误差配准

测量系统误差(MeasurementSystemError):目标测量与其真实状态（时间、位置、速度等）的确定偏差，又称为对目标的测量对准误差，其均值为相对固定值（非零）。(4)时间配准（TimeRegistration）：又称时间同步。…••••••…••雷达1雷达2

包括与天文时间的同步（绝对配准）和与高精度主时钟的同步（相对配准）。(5)空间对准：平移变换旋转变换

外推法拉格朗日三点插值法最小二乘曲线拟合法。(1)数据互联的概念是建立某时刻传感器量测数据和其它时刻量测数据(航迹)的关系，以确定这些量测数据是否来自同一个目标的处理过程；数据互联是雷达数据处理的关键问题之一。数据互联（数据关联、点迹相关）解决的是观测（目标源）的不确定性问题。3数据互联(2)数据互联分类点迹与点迹的互联（航迹起始）；点迹与航迹的互联（航迹保持）

航迹与航迹的互联（航迹融合）初始波门：以自由点迹为中心，用来确定目标观测值可能出现范围的一块区域(在航迹起始阶段用

)。4波门相关波门：以被跟踪目标的预测位置为中心，用来确定该目标的观测值可能出现范围的一块区域(在航迹保持阶段用

)

。xy

量测和航迹关联示意图

0●相关波门相关波门（跟踪门）的大小与雷达测量误差、要保证的正确互联概率、跟踪方法等有关。小波门：波门最小尺寸一般不应小于3倍测量误差的均方根值；中波门：可在小波门的基础上再加上1~2倍的测量误差的均方根值；大波门5航迹起始与终止航迹起始是指进入雷达监视区域的新目标建立航迹的过程。航迹终止

是指对来自同一个目标的量测值进行处理，以便保持对目标现时状态的估计。6跟踪多目标跟踪由于存在多目标和虚警，雷达环境会产生很多点迹-用于滤波的量测值的不确定性；机动目标跟踪

模型参数的不确定性；机动目标跟踪机动检测算法自适应跟踪算法：在对目标进行估计的同时对滤波增益进行修正。(1)交互式多模型算法；(2)修正的输入估计算法；(3)多模型算法；(4)Singer模型法；(5)当前模型算法等等；7航迹航迹：是由来自同一个目标的量测集合所估计的目标状态形成的轨迹；可能航迹：是由单个测量点组成的航迹。

暂时航迹:是由两个或多个测量点组成的并且航迹质量数较低的航迹统称为暂时航迹，也称作试验航迹。

初次雷达扫描测得目标点迹即给1分，初始相关波门每关联一次加1分，航迹起始后小波门每关联一次加3分；大波门每关联一次加2分；冲突关联情形时加1分：丢失一次点迹扣3分，系统最高得分为m0分。对序贯和模糊综合法m0=6，对双门限、修正的K近邻域算法和模糊双门限法m0=8。当1＜mij(l)≤3时称为试验航迹；当4≤

mij(l)≤

m0时称为确认航迹;当mij(l)≤0时，则撤消试验航迹。：航迹质量:表示航迹真实性程度的示性数，或者说是对航迹可靠性程度的度量。确认航迹:是具有稳定输出或航迹质量数超过某一定值的航迹，也称作可靠航迹或稳定航迹。固定航迹：由杂波点迹所组成的航迹；其位置在雷达各次扫描间没有多大变化。航迹撤销：当航迹质量低于某一定值或它是由孤立的随机干扰点组成的时，则航迹被撤销。可能航迹暂时航迹撤销确认航迹撤销假航迹寿命:一条假航迹从起始后到被删除的雷达扫描次数。真航迹寿命:一条真航迹起始后被误作假航迹删除的雷达扫描次数。真航迹维持时间受两个因素的限制：点迹-航迹关联错误;连续丢失量测(1)数据关联性能。通常用正确关联概率、错误关联概率、关联失败概率等指标来评价关联问题。(2)跟踪批数。它直接反映系统跟踪容量和处理能力。(3)跟踪滤波器精度。包括最优性、快速性、鲁棒性等指标。(4)处理时间。是指点迹录取到态势显示的处理时间。8目标跟踪性能评估目标跟踪器评估阶段分析和仿真阶段，这一阶段的关键是数学模型的建立；各模块测试及评价阶段，重点是各模块接口硬件和通信协议的调试；室内联调和测试阶段外场实验阶段定型阶段。（1）要考虑最优性、鲁棒性以及快速性之间的平衡关系；（2）可靠性。数据处理器作为软件系统其工程设计应该选择结构简单、可靠性高、容易实现、在工程上成熟的算法；（3）智能信息处理。

首先要根据系统对数据处理器的指标要求分析数据处理器的特征为数据处理器指标分配、设计的侧重点提供依据。目标跟踪的工程设计系统状态X(k)动态系统数学模型雷达测量数学模型状态估计器扰动输入随机扰动初始条件受观测的物理实体观测误差提供数据的传感器观测值最佳估计器估计（滤波）问题的图解说明1.3系统模型小结目标跟踪定义及几个相关概念

航迹数据互联跟踪系统模型于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第2章参数估计2参数估计1.参数估计定义参数估计状态估计1参数估计的概念参数估计为根据一组与未知参数有关的观测数据按照某种准则推算出未知参数的值。这时得到的估计在该准则下是最优的。参数估计示意图黑盒子

设z(j)是参数x的量测值(2.1)对于k个这样的量测Zk={z(1),

z(2),…,

z(k)}={z(j),j=1,2,…,k}

按照某种准则构造函数

(2.2)就是在该准则下对参数x的估计。2.估计准则

代价函数(风险函数)：是真实值和估计值的函数，通常用表示。对于单参量估计常把代价函数设定为估计误差的函数，即。贝叶斯提出的平均代价最小的估计准则。选择估计使平均代价达到最小。平均代价（平均风险）z的函数由条件概率密度函数可得条件平均代价或条件平均风险此时所得到的估计为贝叶斯估计。(1)均匀代价函数

均匀代价函数-Δ/2Δ/210最大后验估计三种典型的代价函数(2)

误差平方代价函数

误差平方代价函数0最小均方误差估计(3)误差绝对值代价函数误差绝对值代价函数条件中位数估计0将均匀代价函数代入条件平均代价函数中可得2四种基本的估计方法后验概率密度函数图1.最大后验估计(maximumaposterior

estimate

)意义：在给定量测Zk的条件下，参数x落在最大后验估计某个邻域内的概率要比落在其它任何值相同邻域内的概率要大。最大后验估计由贝叶斯准则

参数x的ML，即

2.最大似然估计(maximumlikelihoodestimate)最大后验估计和最大似然估计哪个更好？例2.1设观测数据为其中：x为待估计的参数，w为量测噪声，且w~N(0,σ2)，参数x与噪声w是不相关的。(1)求最大似然估计;(2)当参数x具有单边指数先验概率密度函数，即求它的最大后验估计。解:（1）最大似然估计w~N(0,σ2)由题意可知，且z=x+w，则z~N(x,σ2)参数x的似然函数从数学上讲，估计算法的实际就是求某个给定的指数函数的极值问题。似然方程参数x的似然函数=0(2)最大后验估计由于可得最大后验方程由最大后验方程确定的估计即为最大后验估计。即当时，可使达到极大。若并且a→0，此时由已知条件可知将误差平方代价函数代入条件平均代价函数中可得3.最小均方误差估计(MinimumMean-SquareErrorEstimation)选取使达到极小，即可得到最小均方误差估计。使均方误差达到极小的x值的估计称为最小均方误差估计。最小均方误差估计(MMSE)(2.9)它的解是条件均值，用条件概率密度函数可表示为

(2.10)最小均方误差估计是无偏估计；估计的均方误差即为估计误差的方差；最小均方误差估计的均方误差阵小于任何其它估计准则所得到的均方误差阵。最小均方误差估计的性质4.最小二乘估计(Least-SquaresEstimation)对于量测

(2.6)k时刻参数x的最小二乘估计是指使该时刻误差的平方和达到最小的x值，即

(2.7)最大后验估计

最大似然估计

最小二乘估计

最小均方误差估计最大后验估计需要知道似然函数和待估计参数的先验概率密度函数；最大似然估计只需要知道似然函数；最小均方误差估计只需要知道一、二阶统计矩，而不需要其它概率假定；最小二乘估计去掉了全部概率假定，把估计问题作为确定性的最优化问题来处理，其可看作不断放宽统计要求的最后一步。随机模型：参数是具有先验的概率密度函数p(x)的随机变量，估计常用的方法为贝叶斯方法，包括最大后验估计(MAP)、最小均方误差估计(MMSE)。非随机模型：参数有一个未知的真实值x0，估计常用的方法为非贝叶斯方法，包括最大似然估计(ML)、最小二乘估计(LS)。例题2.2

假定接收到的目标量测数据为k个，即其中x为待估计的随机变量，求(1)参数x的最小二乘估计；(2)若w(j)为独立、同分布的零均值高斯分布随机变量，方差为σ2，求参数x的最大似然估计。解：（1）最小二乘估计，由定义有设由则可得即该情况下参数x的最小二乘估计是样本均值。对其求一阶和二阶导数有(2)最大似然估计

高斯情况下，随机变量X和Y相互独立的充要条件为相关系数ρ=0。即ρ=0，所以不同时刻测量数据z(i)和z(j)(i≠j)之间是统计独立的。例题2.3

雷达测量数据为z=x+w(2.11)其中：x为待估计的参数，w为量测噪声，且w~N(0,σ2)。若已知参数x的先验信息为：x是高斯随机变量，且其均值为、方差为σ02，参数x与噪声w是不相关的，试利用测量数据对参数x做出估计，要求得到的估计值围绕着待估计参数波动最小。解：参数x的最小均方误差估计似然函数为

通过对x配平和重新排列指数，可得参数x的后验概率密度函数为

(2.20)其中：最大后验估计

最大似然估计

最小均方误差估计小结

最小二乘估计于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第2章参数估计1．无偏性对于具有真实值x0的非随机参数x，如果则说估计是无偏的。若在的极限情况下上式成立，则称为渐近无偏估计，否则为有偏估计。

一、估计性质称为以作为参数x的估计的系统误差。

对于具有先验概率密度函数p(x)的随机变量x，如果则说估计是无偏的。如果在的极限情况下上式成立，则称为渐近无偏估计，否则为有偏估计。称为以作为参数x的估计的系统误差。无偏估计的实际意义:无系统误差.2．估计误差的方差设和都是根据观测值z1,z2,…,zk做出的随机参数x的无偏估计，若有则称估计较有效。对于具有真实值x0的非随机参数x的无偏估计对于随机参数x的无偏估计

一致估计是指随着可利用的观测数据数量的增加，估计器给出的估计值越来越趋近于真实值。3．一致估计X(t)x1(t)x2(t)x3(t)┇xn(t)┇如果则称随机序列{ξ

n}均方收敛于ξ。

如果随着接收样本数量的增加，均方误差的极限等于零，即则称估计是均方一致（相合）的。若某个估计为一致估计，则随着接收样本数的增加估计性能将变得更好。4．有效估计(EfficientEstimators)

有效估计：若某参数估计为无偏估计，且对应的均方误差达到克拉美-罗下界(CRLB)，则称该估计为有效估计。

克拉美-罗下限揭示了无偏估计量估计方差的最小值，称此最小值为克拉美-罗下限（Cramer-Rao-CRLB）。

如果非随机参数x的估计是无偏估计，并且参数估计对应的均方误差不小于Cramer-Rao下界(CRLB)

则估计误差方差等于CRLB的估计称为非随机参数x的有效估计。其中：是Fisher信息

对于非随机参数而言，如果存在达到CRLB的估计量，那么这个估计就是最大似然估计，这时最大似然估计就是最好的，若有效估计不存在，其最大似然估计则不能认为是有效估计。结论：

如果随机参数x的估计是无偏估计，并且其均方误差是有界的

则估计误差方差等于CRLB的估计称为随机参数x的有效估计。其中：

例题2.3

量测方程z=x+w，其中x为待估计的参数，量测噪声w~N(0,σ2)，参数x与噪声w是不相关的。(1)当参数x为未知常数时，可求得其最大似然估计和最小二乘估计为(2)当参数x是具有均值、方差σ02的高斯随机变量时，可求得其最大后验估计和最小均方误差估计为例题2.5

判断例题2.3给出的四种估计是不是无偏估计？哪一个估计效果更好？是否为有效估计？解：参数x的ML估计、LS估计、MAP估计和MMSE估计都是无偏估计。

参数x的ML估计和MAP估计误差的方差分别为当参数x为未知的常数时当参数x为随机变量时由随机变量有效估计的定义有

最小均方误差估计是使均方误差达到极小的x值，即二、静态向量情况下的参数估计高斯情况下

1.最小均方误差估计2.线性最小均方误差估计所谓线性最小均方误差估计，就是假定所求的估计量是观测量的线性函数，以估计误差方差矩阵达到最小作为最优估计的性能指标的估计方法。步骤：(1)估计是观测量的线性函数;(2)无偏性;(3)均方误差最小。x线性最小均方误差估计的几何表示观测空间估计误差-正交性设估计量是观测量z

的线性函数其中：b为非随机向量，A为非随机矩阵。(1)构造观测量的线性函数(2)无偏性(3)正交性(4)估计的均方误差例题：设观测模型为zi=x+vi,i=1,2,…其中随机变量x以等概率取{-2,-1,0,1,2}诸值，噪声干扰vi以等概率取{-1,0,1}诸值，且E{xvi}=0，E{vivj}=，试根据1次、2次、3次测量数据求参量x的线性最小均方误差估计，并问随着观测数据的增多线性最小均方估计呈现什么趋势？

解：无偏性由正交条件2次测量数据3次测量数据线性最小均方误差估计需要知道被估计量x和观测量z的一、二阶矩，即均值E[x]、E[z]，方差Var[x]、Var[z]和协方差Cov[x,z]。一、估计性质无偏性方差有效估计一致估计小结二、线性最小均方误差估计于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第3章线性滤波方法3.2卡尔曼滤波（**）

3.2.1系统模型

3.2.2滤波模型

3.2.3卡尔曼滤波器的初始化

3.2.4卡尔曼滤波算法应用举例状态方程（1）匀速（CV-constantvelocity）模型3.2.1系统模型取状态向量为鲁棒估计问题-实际噪声分布偏离所假设的噪声分布时估计算法的稳健性问题。当噪声的真实概率分布与估计算法事先假定的概率分布不一致时，将面临如下几个问题：（1）原有的跟踪算法是否仍然有效？（2）如何定量描述和分析这种噪声分布特性的变化对跟踪算法的影响；（3）如何构造既能抑制这种偏差，又能基本保持传统跟踪算法性能指标的算法。鲁棒性是指系统中存在不确定性因素时，系统保持其正常工作性能的能力。三维空间离散时间系统的状态方程为其中状态转移矩阵其中：，则，(2)常加速度（CA-constantacceleration）模型取状态向量为满足

状态转移矩阵为（1.16）式满足

v(k)

（1.16）离散时间系统的状态方程可表示为：

量测方程可表示为：其中：H(k)为量测矩阵，X(k)为状态向量，W(k)为量测噪声序列，一般假定其为零均值的附加高斯白噪声序列。噪声相关以及模型不精确、不完全等时的滤波稳定性问题。非线性系统问题；系统能观性问题：系统状态的变化能够由系统的输出反映出来；全局最优性问题；动平台系统误差配准等问题其中：转换测量值zc(k)为系统的先验信息与假设初始状态X(0)是高斯分布的随机向量的，具有均值向量和协方差；

根据已知j时刻和j以前时刻的量测值对k时刻状态X(k)作出的某种估计若记为，则当k=j时，是滤波问题，为k时刻状态X(k)的滤波值;当k>j时，是预测问题，为k时刻状态X(k)的预测值;当k<j时，是平滑问题，为k时刻状态X(k)的平滑值；小结卡尔曼滤波器的系统模型状态方程量测方程于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第3章线性滤波方法3.2卡尔曼滤波（**）

3.2.1系统模型

3.2.2滤波模型

3.2.3卡尔曼滤波器的初始化

3.2.4卡尔曼滤波算法应用举例3.2.2

滤波模型卡尔曼滤波基本思想构建线性无偏最小方差估计的递推形式。

在卡尔曼滤波器启动时给出的状态估计初值和估计误差协方差阵的初值若满足、，则滤波估计从开始就是无偏的，即，而且估计的误差协方差阵最小。为状态的一步预测。=F(k)预测值的误差为为零均值。为一步预测协方差。结论：状态估计误差是零均值的;一步预测协方差为对称阵，它用来衡量预测的不确定性；Г(k)q(k)Г’(k)为量测的预测。称为量测残差或新息。量测的预测值和量测值之间的差值结论：新息是高斯的，；新息序列是白色的，；新息序列是正交序列；为量测的预测协方差(或新息协方差)

结论：新息协方差为对称阵，它用来衡量新息的不确定性。状态和量测之间的协方差为为增益。k+1时刻的估计(状态更新方程)为其中：v(k+1)为新息或量测残差

量测矩阵H(k)仅仅是一个从状态空间映射到观测空间的运算符；当增益很大，即“大于”S(k+1)时，置信度放在量测值z(k)上；相反，当增益很小，即“小于”S(k+1)时，则观测中会有很大的误差，此时状态更新值取决于。卡尔曼滤波方程的预测-修正结构新息v(k+1)k时刻协方差更新方程为卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器的优点(1)具有全局最优性：等价于利用已有全部观测的最优估计；(2)递推格式，避免了增维矩阵求逆，计算量和存储量小；(3)适应性强，可用于非平稳随机过程的滤波；(4)应用背景广，可应用于军事、工业、社会、经济等各领域。卡尔曼滤波算法在实际应用中存在的问题：(1)建模难的问题；(2)模型的限制问题。卡尔曼滤波器要求过程噪声分布为白噪声，否则不稳定。色噪声情况；非高斯情况；量测噪声和过程噪声相关等等。3.2.3滤波器的初始化1．二维状态向量估计的初始化状态向量为，量测噪声为均值为零、方差为r的高斯白噪声，且和过程噪声相互独立。初始状态为=初始协方差阵为二维卡尔曼滤波器通常在x、y、z轴解耦滤波的情况下使用。初始状态为二维状态向量初始协方差阵为例题

设目标在x轴方向上做匀速直线运动，状态方程为其中：状态向量

过程噪声为均值为零、方差为q

的高斯白噪声，且，采样间隔T=1。目标真实的初始状态为

量测方程为其中：量测噪声为均值为零、方差为r

的高斯白噪声，且，过程噪声和量测噪声相互独立，量测矩阵。要求：1.画出目标真实运动轨迹和估计轨迹；

2.画出目标预测和更新的位置和速度方差。2．四维状态向量估计的初始化

系统状态向量为，而量测值z(k)为

系统的初始状态初始协方差阵为四维状态向量估计的初始化3．六维状态向量估计的初始化系统状态向量为，量测值z(k)为系统的初始状态该情况下k时刻直角坐标系下的量测噪声协方差为：其中：六维状态向量情况下的初始协方差阵为4．九维状态向量估计的初始化系统的状态向量为，由于此时含加速度项，所以系统的初始状态需利用前三个时刻的测量值z(0)、z(1)和z(2)确定，即初始协方差阵为测量数据小结一、卡尔曼滤波模型二、滤波器的初始化思考题：3D雷达跟踪问题目标为飞机，且在雷达跟踪时间段在空中做匀速直线飞行，速度大小360m/s，目标高度为8公里；目标和3D雷达间的初始距离为58公里左右。3D雷达的位置假设在原点，且固定不动。径向距离测量误差的标准差为500米，方位和俯仰角测量误差的标准差均为2度，采样间隔0.5秒。过程噪声标准差x轴和y轴均为6m/s2，z轴为2m/s2。思考题：设观测模型为zi=x+vi,i=1,2,…其中随机变量x以等概率取{-2,-1,0,1,2}诸值，噪声干扰vi以等概率取{-1,0,1}诸值，且E{xvi}=0，E{vivj}=，试根据1次、2次、3次测量数据求参量x的线性最小均方误差估计，并问随着观测数据的增多线性最小均方估计呈现什么趋势？

解：无偏性由正交条件2次测量数据3次测量数据于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第3章线性滤波方法3.2卡尔曼滤波（**）

3.2.1系统模型

3.2.2滤波模型

3.2.3卡尔曼滤波器的初始化

3.2.4卡尔曼滤波算法应用举例3.3稳态卡尔曼滤波3.4常增益滤波器3.3稳态卡尔曼滤波

滤波稳定性问题就是要研究滤波初值的选取对滤波稳定性的影响问题，即若随着滤波时间的增长，估计值和估计误差的方差阵各自都不受所选的初始估计值和的影响，则滤波器是稳定的，否则估计是有偏的，估计误差方差阵也不是最小的。

稳定性是指系统受到某一扰动后恢复原有运动状态的能力，即如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，在扰动撤除后，系统都能以足够的准确度恢复到原来的平衡状态。(1)滤波器稳定的数学定义；

(2)稳定性判断；(3)随机线性系统的可控制性和可观测性；(4)滤波误差的界；(5)稳态卡尔曼滤波；主要内容(1)滤波器稳定的数学定义

若对于任意给定正数ε>0，都可以找到正数δ>0，使得对任意满足不等式的初始状态(i=1,2)，有成立，则称滤波器稳定。滤波稳定性定理如果随机线性系统是一致完全可控和一致完全可观测的，则Kalman滤波器是一致渐近稳定的，即当滤波时间充分长后，它的Kalman滤波值将渐近地不依赖于滤波初值的选取。对于随机线性定常系统，一致完全可控和一致完全可观测就是完全可控和完全可观测。(2)稳定性判断定义(完全可控)

随机线性离散系统完全可控的充分必要条件是存在正整数N，使可控性矩阵成立。对于随机线性定常系统

随机线性离散系统的可控性就是考察过程噪声V(k)影响系统状态的能力。(3)随机线性系统的可控制性和可观测性定义(完全可观测)

随机线性离散系统完全可观测的充分必要条件是对于时刻k，存在某一个正整数N，使得矩阵成立。对于随机线性定常系统若一个随机系统是可观测的，则根据观测数据通过某种算法完全能够获得目标的位置信息。式中n为状态变量维数。

对于一般系统都有Q(k)>0和R(k)>0，因此对于随机线性定常系统完全可控与完全可观测的充分必要条件分别为

如果系统是时常的，即状态转移矩阵F、输入控制项矩阵G和量测矩阵H是常数矩阵，并且噪声是平稳的(Q和R是常数矩阵)，而且满足以下两个条件

(1)

F、H对是完全可观测的；

(2)

F、Г对是完全可控制的。则存在一个惟一的正定矩阵，使得从任意的初始方差阵P(0|0)出发，当k→∞，Riccati方程收敛到惟一的正定矩阵

。(4)滤波误差的界Riccati方程，即一步预测协方差的单递推式状态一步预测的单递推式为在稳态滤波中状态一步预测为卡尔曼滤波稳态增益(5)稳态卡尔曼滤波引起滤波发散的主要原因：系统过程噪声和量测噪声参数的选取与实际物理过程不符。系统的初始状态和初始协方差的假设值偏差过大。不适当的线性化处理或降维处理。计算误差。滤波发散问题

在P(0|0)、Q(k)和R(k)无法精确获得的情况下，若知道它们可能的取值范围，则可以采用它们可能的较大值。3.4.1α-β滤波器

α-β滤波器是针对匀速运动目标模型的一种常增益滤波器，此时目标的状态向量中只包含位置和速度项，3.4常增益滤波器α-β滤波器增益具有如下形式目标机动指标λα-β滤波器增益工程上常采用与采样时刻k有关的α、β确定方法当α、β减小到某一值时可规定其保持不变。、α、β值与k的关系k123456789101112…α115/67/103/511/2113/285/1217/4519/557/2223/78…β

11/23/101/51/73/281/121/153/551/221/26…

单目标情况下：状态的一步预测：

状态更新方程：

其中：新息

多目标情况下协方差的一步预测

新息协方差

协方差更新方程3.4.2自适应α-β滤波器3.4.3α-β滤波算法的应用举例针对一个匀速直线运动目标设计常增益滤波器，系统的状态方程为

其中：v(k)是零均值的白噪声

目标运动的真实初始状态为量测方程为

其中：w(k)是零均值的白噪声要求：求目标机动指标λ；求α-β滤波器增益；给出目标运动的真实轨迹和机动指标已知、未知情况下的估计轨迹；3.4.4α-β-γ滤波器α-β-γ滤波器是用于对匀加速运动目标进行跟踪α、β、γ和机动指标λ之间的关系为三维状态向量初始状态和初始协方差阵

工程上经常采用如下的方法来确定α、β、γ值，即把它们简化为采样时刻k的函数：

k123456789101112…α11119/2031/3523/2816/2117/24109/16534/5583/143199/364…β

12/37/1512/3511/4213/631/668/49519/16514/14323/273…γ

11/22/75/285/421/122/331/225/1435/182…表2.2α、β、γ值与k的关系3.4.5自适应α-β-γ滤波器卡尔曼滤波小结状态的一步预测：

状态更新方程：

其中：新息

常增益滤波于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第4章非线性滤波方法4.2扩展卡尔曼滤波

4.3不敏卡尔曼滤波4.2.1滤波模型(1)系统模型弹道导弹一枚弹道导弹的飞行要经历主动段、被动段。4.2扩展卡尔曼滤波（EKF）发动机停止工作

在弹道目标的主动段，滤波器采用卡尔曼滤波，需要用位置和速度6个变量（CV模型），CA模型还需要用加速度变量。自由飞行段特点是弹头在极为稀薄的大气中飞行，引力远大于空气动力，可近似认为弹头在真空中飞行，该段射程约占远程导弹全射程90%以上；再入段特点是弹头以高速重返大气层后作减速运动，这时弹道具有高度非线性，需要采用非线性滤波器。

弹道目标的被动段根据所受空气动力的大小可以分为自由飞行段和再入段：目标在再入段的运动模型基于如下假设：作用于目标上的力只考虑重力和空气阻力，忽略其他力(离心力、风力、提升力、地球自转运动等等)。状态方程其中：g为重力加速度，V(k)为方差为Q的高斯噪声，β弹道系数

量测方程为其中：为空气阻力公式，ρ为大气密度。假定过程噪声是加性零均值高斯白噪声，其方差为E[V(k)V'(j)]=Q(k)

kj非线性系统的状态方程为：其中：量测噪声也假定是加性零均值高斯白噪声，其方差为E[W(k)W’(j）]=R(k)

kj

假定过程噪声和量测噪声序列是彼此不相关的，并具有初始状态估计和协方差矩阵。量测方程为泰勒级数线性化后的状态方程状态方程(2)滤波模型为梯度算子。x1…

xn为状态向量X(k)中的元素。向量f的雅可比矩阵状态预测值的估计误差状态预测值的估计误差的相伴协方差为量测预测值为其中：是雅可比矩阵它相伴的协方差是’协方差更新方程状态更新方程协方差更新方程为

一阶扩展卡尔曼滤波状态的一步预测是协方差的一步预测为量测的预测协方差（新息协方差）为增益状态更新方程协方差更新方程3D雷达跟踪问题：目标为飞机，且在雷达跟踪时间段在空中高度为8公里的水平平面内做360m/s的匀速直线飞行；3D雷达的位置假设在原点，且固定不动。目标和3D雷达间的初始距离为58公里，即径向距离、方位和俯仰角测量误差标准差分别为500米、1度和1度，雷达采样间隔0.5秒。过程噪声标准差x轴和y轴均为6m/s2，z轴为2m/s2，其方差为(3)应用举例目标的状态方程为

其中：过程噪声v(k)为零均值的高斯白噪声，其方差

第一步：测量数据的产生量测方程其中径向距离ρ(m)方位角θ(弧度)俯仰角ε(弧度)第二步：扩展卡尔曼滤波器的初始化系统的初始状态其中初始协方差阵为量测噪声协方差为式中第三步：目标跟踪Г(k)Q(k)Г’(k)R(k)其中：雅可比矩阵雅可比矩阵式中这里目标位置的均方根误差其中注意：如果进行多次蒙特卡洛实验，则每次试验中都必须产生新的高斯分布白噪声，接着再使用同样的方法初始化和跟踪滤波，或者初始状态、初始协方差应随机的选择，重复使用同样的初始条件将导致有偏估计。100次蒙特卡洛实验。方位和俯仰角测量误差标准差为1度。100次蒙特卡洛实验。方位和俯仰角测量误差标准差为3度。目标跟踪的主要技术指标（1）处理时间处理时间是指点迹录取到态势显示的处理时间。（2）跟踪批数跟踪批数是指系统容量。（3）真目标丢失概率和虚假目标概率（4）跟踪精度这是数据处理器的核心指标。EKF中应注意的一些问题雅可比矩阵的计算比较复杂，且必须存在，因而对一些不可微情况，EKF失效；在模型非线性较强时，舍去的高阶分量影响增强，由此带来的误差变大，估计精度严重下降，并可能导致滤波发散。系统噪声非高斯时，估计的精度严重下降，并可能导致滤波发散。状态的初始值不太好确定。4.2.2线性化EKF滤波的误差补偿(1)为补偿状态预测中的误差，附加“人为过程噪声”，即通过增大过程噪声协方差来实现这一点。即在每一次采样，通过附加上较高的协方差(较低的精度)对过去的数据“打折扣”。(2)用标量加边因子>1乘状态预测协方差阵然后在协方差更新方程中使用。(3)利用对角矩阵乘状态预测协方差阵，即2003年著名的意大利雷达专家Farina等人利用CRLB的方法对EKF、协方差函数描述法（CADET）、UKF、PF进行了分析，仿真结果显示，EKF效果较好，它既具有计算量小的优点，又有统计有效地特点，值得注意的是这些结论是在仿真条件下（较为理想）得到的。思考题：比较卡尔曼滤波器和扩展卡尔曼滤波器的异同。弹道导弹状态方程其中：g为重力加速度，V(k)为方差为Q的高斯噪声，β弹道系数量测方程为其中：为空气阻力公式，ρ为大气密度。量测方程

一、系统模型系统状态方程为小结其中：雅可比矩阵一阶EKF向量h雅可比矩阵于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第4章非线性滤波方法EKF算法的基本思想是对非线性映射本身做某种线性近似，然后再应用线性估计的各种方法得到求解原非线性滤波问题的次优滤波算法。UKF是用有限的参数来近似随机量的统计特性，即用一组精确选择的δ(σ)点经过非线性模型的映射来传递随机量的统计特性，然后用加权统计线性回归的方法来估计随机量的均值和协方差，因而UKF无需计算雅克比矩阵。状态方程4.3不敏卡尔曼滤波每个δ采样点通过非线性函数传播，得到随机变量y的真实均值和方差可分别用下列函数近似表示是矩阵的均方根矩阵的第i行或第i列。其中：是一个尺度参数，，1.UnscentedTransformation

设服从高斯分布的nx维随机变量X的均值和协方差分别为和Px。(1)首先计算(2nx+1)个δ采样点χi相对应的权值Wi

这种对称形式的UT变换所要求的δ点集共有2nx

个，并关于X的均值对称分布。2)每个δ采样点通过非线性函数传播，得到3)随机变量y的真实均值和方差可分别用下列函数近似表示。

假设k时刻融合中心的状态估计向量和状态估计协方差分别为和，则可计算出相应的δ

点和其对应的权值Wi。2.滤波模型根据状态方程(3.1)式，即可以得到δ点的一步预测

状态预测估计和状态预测协方差：其中根据量测方程可得到δ点量测的预测：其中：是δ点的一步预测。量测的预测为：量测预测的协方差为：其中：

测量和状态向量的交互协方差：其中如果k+1时刻传感器所提供的测量为Z(k+1)，则状态更新和状态更新协方差可表示为

均值方差EKF：对非线性映射本身做某种线性近似，然后再应用线性估计的各种方法。真实均值真实方差估计均值估计方差均值方差真实均值真实方差估计均值估计方差非线性映射后的δ点UKF：估计随机变量经过非线性映射后的均值和方差。EKFUKF用奇异值分解（svd()），对应的滤波器为SVD-UKF。均方根矩阵的求法常用乔累斯基(Cholesky)分解，Matlab命令为chol()。3D雷达跟踪问题：目标为飞机，且在雷达跟踪时间段在空中高度为8公里的水平平面内做360m/s的匀速直线飞行；3D雷达的位置假设在原点，且固定不动。目标和3D雷达间的初始距离为58公里，即径向距离、方位和俯仰角测量误差标准差分别为100米、1度和1度，雷达采样间隔0.5秒。3.应用举例目标的动态方程为

其中：过程噪声v(k)为零均值的高斯白噪声，其方差

量测方程其中系统的初始状态其中初始协方差阵为其中：量测噪声协方差为式中问题：系统的状态向量为，初始状态需利用前三个时刻的测量值z(0)、z(1)和z(2)确定，即其中：nx＝6，，参数α的取值范围为0.0001≤α≤1，这里取α=0.01

。采样点其中：参数β在高斯噪声情况下取2是最优的，这里取β＝2。上标m表示状态更新中的权值，上标c表示协方差更新中的权值

δ点的一步预测状态预测估计和状态预测协方差：根据量测方程，可得到δ点量测的预测：量测的预测：量测预测的协方差为：增益状态更新和状态更新协方差可表示为

目标位置的均方根误差其中10次蒙特卡洛实验方位和俯仰角测量误差标准差为3度。10次蒙特卡洛实验100次蒙特卡洛实验UKF中应注意的一些问题计算量较大；UKF滤波要用到Cholesky分解。UKF(1)首先计算(2nx+1)个δ采样点χi小结相对应的权值Wi

2)每个δ采样点通过非线性函数传播，得到3)随机变量y的真实均值和方差可分别用下列函数近似表示

。

每个δ采样点通过非线性函数传播得δ点的一步预测对经过非线性函数f传播后的δ点加权融合得状态估计的预测值状态预测协方差：经过非线性函数f传播后的δ点，再经过非线性函数h传播得量测的预测：量测预测的协方差为：增益状态更新和状态更新协方差方程可表示为

于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第5章量测数据预处理技术一、时间配准二、空间配准三、野值剔除四、误差配准五、数据压缩一、时间配准(1)时间配准（TimeRegistration）：又称时间同步，是指将多个作战单元经时间对准后剩余的时间偏差控制在容许的范围内的处理过程。包括与天文时间的同步(绝对配准)和与高精度主时钟的同步(相对配准)。数据链雷达****1.坐标系(1)笛氏直角坐标系

地心直角坐标系局部直角坐标系缺点：球(极)坐标系下的观测值转换为直角坐标系下；观测误差存在耦合。优点：滤波和预测可以在线性动态模型下进行；当θ不为零或nπ/2时，σxy将不为零。二、空间配准(2)空间球(极)坐标系缺点：由于非线性原因，即使是匀速运动也可能引起“伪加速度”。优点：跟踪和测量在同一坐标系下完成；(3)地球(理)坐标系(4)NED坐标系

(5)载体坐标系(6)雷达天线坐标系(7)目标视线坐标系二、空间配准①平移变换：只改变原点的位置而不改变轴的方向。

ZYOPabXO'Z'X'Y'c新原点O’关于旧坐标系的坐标是(a,b,c)，又目标位置(P点)关于旧坐标系和新坐标系的坐标分别是(x,y,z)和(x',y',z')二、空间配准②旋转变换：只改变轴的方向而不改变原点的位置YXX'0ZY'x(x,y)(x’,y’)xyy’当坐标绕Z轴逆时针旋转时二、空间配准其中二、空间配准二、空间配准(1)无偏转换测量卡尔曼滤波器（UCMKF）2.几种常用坐标系中的跟踪问题

若雷达在极坐标系下的距离和方位角测量数据为*二维情况其中：

z和

z分别为目标真实的距离和方位角数据；

和

为相应的测量误差，且二、空间配准通过极-直坐标转换可得直角坐标系下量测值

其中其中CMKF(P75)式(4.26)-式(4.35)该转换测量值是无偏转换吗？

？？问题：可得转换测量值、通常不是无偏转换。补偿后的目标x轴位置数据为

其中：(4.36)补偿后的目标y轴位置数据为补偿后的量测噪声协方差的各元素分别为其中：

若雷达在极坐标系下的距离、方位角和俯仰角测量数据为

通过极－直坐标转换可得直角坐标系下的量测值z(k)

*三维情况补偿后的目标位置数据为

其中：

补偿后的量测噪声协方差的各元素分别为其中：3.应用举例

3D雷达跟踪问题：目标为飞机，假设在该雷达跟踪时间段在高度为8公里的水平面内做速度大小360m/s的匀速直线运动，运动方向和y轴负方向沿顺时针方向的夹角为60度；目标和3D雷达间的初始距离为32公里，3D雷达的位置假设在原点，且固定不动。距离测量误差的标准差为60米，方位和俯仰角测量误差的标准差均为1度，采样间隔1秒。（1）转换测量卡尔曼滤波（2）扩展卡尔曼滤波（3）UKF（4）无偏转换测量卡尔曼滤波目标的动态方程为

其中：过程噪声v(k)为零均值的高斯白噪声，其方差

量测方程其中系统的初始状态初始协方差阵为卡尔曼滤波器径向距离、方位和俯仰角测量误差标准差分别为100米、1度和5度，100次蒙特卡洛实验100次蒙特卡洛实验5度100次蒙特卡洛实验1度径向距离、方位和俯仰角测量误差标准差分别为100米、1度和1度，100次蒙特卡洛实验UKF相对而言对过程噪声较敏感，而量测噪声的变化对其影响相对较小；EKF相对而言对量测噪声较敏感，而过程噪声的变化对其影响相对较小；UCMKF在测角误差较大、目标距离较远的情况下性能要明显优于CMKF；CMKF和UCMKF稳定性较好；野值的定义、成因及分类

野值是指测量数据集合中严重偏离大部分数据所呈现趋势的小部分数据点。三、野值剔除

工程测量中得到的大群数据通常存在5%-10%的野值，1977年Huber证明当1000个服从高斯分布的测量数据中出现2个3倍于其方差的野值时最小二乘估计将失去其最优性。1.野值的定义2.野值产生的主要原因：观测设备的突然故障或失效。外部突发性干扰，例如，异常干扰、偶然性的人为错误、雷电冲击、大气层不稳定等。数据汇集和计算机有效字长在递推估计中产生的的野值某些服从长尾分布的随机变量(例如，服从t分布的随机变量)作用产生的异常数据。(1)孤立型野值特点：某一采样时刻处的测量数据是否为野值与前一时刻及后一时刻数据的质量无必然联系。(2)野值斑点简称斑点，是指成片出现的异常数据。它的基本特征是在当前时刻出现的野值，也可能带动后续时刻均严重偏离真值。3.野值的分类野值的判别方法对斑点型野值，因涉及到误差的前后相依性，判别方法并不是很多，实现起来也比较复杂。设Z(1)、Z(2)、…、Z(k)对状态X(k+1)的预测值为，预测残差是均值为零的高斯随机量，其协方差矩阵为：

利用预测残差的上述统计性质可对Z(k+1)的每个分量进行判别若上式成立，判别zi(k+1)为正确观测量，反之则为野值。递推滤波中的残差对野值的判别能力取决于预测精度，即取决于的大小，预测精度越高判别野值的能力就越强。动态测量数据中判别野值：目前尚无高效率方法，其主要原因在于动态测量中野值的判别与系统状态估计的精度有关，依赖于具体的滤波算法，有些看似“异常”的值，实际上是系统状态方程本身造成的。测量系统误差（MeasurementSystemError）：目标测量与其真实状态（时间、位置、速度等）的确定偏差，又称为对目标的测量对准误差，其均值为相对固定值（非零）。系统误差依赖于测量设备的性能、原理、状态，以及目标状态与测量环境产生的可观测性等因素。四、误差配准测量随机误差（MeasurementRandomError）：测量与目标真实状态的随机偏差，由测量噪声和目标状态噪声引起，通常认为是均值为零的独立白噪声序列，且与状态独立，测量精度主要由随机误差确定。其中：对于系统偏差则可以描述为其中：整个系统离散的状态方程可以表示为其中：(u(k),v(k))为k时刻雷达B相对雷达A的坐标。其中：五、数据压缩

数据压缩技术可有效解决滤波精度与数据量之间的矛盾。（1）数据压缩分类单雷达数据压缩，即将雷达不同时刻的数据压缩成一个时刻的数据。其又分为等权平均量测预处理和变权平均量测预处理两种方法。多雷达数据压缩，即将多部雷达的数据压缩成单部雷达数据。目标的离散状态方程和量测方程分别为

①等权平均量测预处理

(2)单雷达数据压缩压缩成一个这M次量测的等权平均残差为

设k到k+1时刻内对目标进行M次测量

卡尔曼滤波器这M次量测的等权平均残差为

等权平均量测噪声协方差矩阵为

等权平均残差中随机测量噪声的影响已大大减小。

②变权平均量测预处理

M次量测的变权平均残差为

变权平均量测噪声

(3)多雷达系统中的数据压缩

点迹合成将多部雷达在同一时间对同一目标的点迹合并起来，将多个探测数据合成一个数据。串行合并将多雷达数据组合成类似单雷达的探测点迹。

①点迹合成

假设同一目标同一时刻的测量向量分别为z1、z2…zN，相对应的测量误差协方差分别为R1、R2…

RN，则可采用如下的公式进行数据压缩：合并后点迹不仅提高了精度，而且也减少了运算量。对于非同步采样的多雷达系统可以采用时间校正的方法，将异步数据变换成同步数据再进行点迹合并。

②串行合并(点迹-航迹合成式)

雷达1的探测点迹

雷达2的探测点迹

合成点迹数据流合成后的数据流数据率加大，这意味着跟踪精度的提高。另外，由于总体数据率提高，使航迹起始速度加快，这对于反低空突防和低空反导尤为重要。小结一、时间配准二、空间配准三、野值剔除四、误差配准五、数据压缩于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第6章多目标跟踪中的航迹起始6.2航迹起始波门的形状和尺寸6.3航迹起始算法Z1(1)Z1(2)Z2(2)Z2(1)Z3(2)航迹起始起始的两大根本问题：（1）波门的形状和尺寸；（2）起始准则；Z4(3)Z3(3)Z2(3)Z1(3)6.2航迹起始波门的形状和尺寸RZZRijmaxmin)1()2(£-£初始波门Z1(1)Z1(2)Z2(2)Z2(1)6.2.1环形波门

相关波门是用来判断量测值是否源自目标的决策门限，它以被跟踪目标预测位置为中心，用来确定该目标下一时刻观测值可能出现范围的一块区域。区域大小由正确接受回波的概率和航迹外推误差协方差来确定。落入相关波门内的回波称为侯选回波。Z1(1)Z1(2)Z2(2)●●6.2.2椭圆(球)波门

若直角坐标系下目标的量测值zc(k+1)满足则称量测值z

(k+1)为候选回波。00xy●z1z2z3γ114293164255nz=10.6830.9540.9970.999941.0nz=20.3930.8650.9890.99971.0nz=30.1990.7390.9710.99890.99998nz维量测落入波门内的概率PG

参数的平方根称为门的“σ数”。nz维椭圆(球)波门的面(体)积为其中

当nz=1,2,3时，分别为2、π和4π/3。xy●z1(k+1)z2(k+1)6.2.3矩形波门例如对于二坐标雷达（nz=2）对于三坐标雷达（nz=3）

设新息vc(k+1)、量测zc(k+1)和量测的预测值的第i个分量分别用vci(k+1)、zci(k+1)和表示，新息协方差S(k+1)的第i行第j列元素用Sij表示，当量测zc(k+1)的所有分量均满足关系

则称转换量测值zc(k+1)落入矩形波门内，该量测为候选回波。其中：KG为波门常数，在实际应用中往往取较大的KG值(KG≥3.5)。

6.2.4扇形波门

若传感器测得的目标量测值ρ、θ满足则称量测值ρ、θ、ε落入扇形波门内，该量测为候选回波。其中：Kρ、Kθ、K

ε为由χ2分布表查得的参数的平方根

。扇形波门xy●跟踪过程中波门变化示意图6.3航迹起始算法

顺序处理技术，包括直观法(启发式算法)、逻辑法、序列概率比检验、Bayes轨迹确定法等；适用于杂波相对稀疏的环境。批处理技术，包括Hough变换法和修正Hough法。适用于图像处理和强杂波跟踪环境，它具有较序贯处理算法优越的性能，通常需要多次扫描才能完成航迹起始。

设第一次扫描得到的量测集为第二次扫描得到的量测集为

其中对落入初始相关域的第二次扫描量测均建立可能航迹；若没有相关量测落入波门内则取消该航迹头。

1）用第一次扫描中得到的量测作为航迹头，用速度法建立初始相关域。6.3.2m/n逻辑法2）对每个暂时航迹进行外推，并以外推点为中心，建立后续相关域（后续相关波门）。后续相关波门的大小由航迹外推误差协方差和门限概率确定。第三次扫描量测落入后续相关波门离外推点最近者给予互联；例如对第三次扫描的测量集可按下式进行检验3）若后续相关波门没有量测，则以预测值代替更新值将上述可能航迹继续直线外推，4）继续上述的步骤，直到形成稳定航迹，航迹起始方算完成；5）在历次扫描中，均未落入相关波门参与数据互联判别的那些量测均作为新的航迹头，转1）。

常用的m/n逻辑法主要有2/2、2/3、3/3、3/4逻辑法，在工程上，常采取下述两种情况：

(1)2/3逻辑，作为快速航迹起始；

(2)3/4逻辑，作为正常航迹起始。尺寸为n的滑窗Z1Z2…Zi+1…Zi+n…ZNk≥mYes起始成功滑窗前移No门限mm/n逻辑法

所谓m/n逻辑法是指在n次连续扫描中有不少于m次量测互联即宣告航迹起始成功。杂波点与真实点的态势图

○代表真实的测量点,*代表第1次扫描时的杂波点□代表第2次扫描时的杂波点,+代表第3次扫描时的杂波点,•代表第4次扫描时的杂波点

λ=50

基于3/4逻辑法起始的航迹图

杂波点与真实点的态势图

○代表真实的测量点,*代表第1次扫描时的杂波点□代表第2次扫描时的杂波点,+代表第3次扫描时的杂波点,•代表第4次扫描时的杂波点

λ=100

基于3/4逻辑法起始的航迹图

1)设第一次扫描得到的量测集为第二次扫描得到的量测集为其中对落入初始相关域的第二次扫描量测均建立可能航迹；若没有相关量测落入波门内则取消该航迹头。6.3.3修正的逻辑法2）对每个暂时航迹os1直线外推，并以外推点为中心，建立后续相关波门，其大小由航迹外推误差协方差确定。第三次扫描只有一个测量落入后续相关域内则给予相关，该可能航迹转为正式航迹。

有多个测量落入后续相关域内，则进行角度检验即要求角度的绝对值小于某一常数

不满足角度检验的第三次测量则不予确认，并进入下一步骤进行进一步的关联检验，而对于满足角度检验的第三次测量予以确认