北京五十七中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京五十七中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2>1}，B={x|x≥0}，则A∪B=A.[0,+∞) B.(−∞,−1)∪[0，+∞)

C.(1,+∞) D.(−∞,−1]∪[0,+∞)2.设复数z满足(1+i)z=i，则z的共轭复数z−=(

)A.12+12i B.123.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，点P(−1,2)在角α的终边上，则sin2α=(

)A.−45 B.45 C.−4.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,1)，点B在圆x2+y2=4上，则A.3 B.1+2 C.2+5.设F(c,0)为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点.已知a，A.23 B.53 C.326.如图，在棱长为6的正四面体P−ABC中，以P为顶点的圆锥在正四面体的内部(含表面)，则该圆锥体积的最大值为(

)A.26π

B.36π7.若函数f(x)=2x+1−m,x≤0,(x−1)lnx,x>0恰有两个零点，则实数mA.(−2,−1) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]8.设等差数列{an}的公差为d，则“0<a1<dA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知动直线l与圆O：x2+y2=4交于A，B两点，且∠AOB=120°.若l与圆(x−2)2+A.10−46 B.1 C.410.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段AC1上(不与A，C1重合)，A.BC⊥平面EFG B.线段EF与线段FG的长度之和为定值

C.线段EG长度的最小值为22 D.△EFG二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在等差数列{an}中，a7−a3=2，12.已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F1，则抛物线的准线方程为

；抛物线C2：y2=8x的焦点为F2，若直线y=m(m≠0)分别与C1，C13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB⋅BC=

；点C到直线AB的距离为

．

14.M(−5,0),N(5,0)，若直线y=kx上存在点P满足|PM|−|PN|=4，则实数15.已知曲线C：ax2+by2+xy=1(a,b为常数)，给出下列四个结论：

①曲线C关于坐标原点对称；

②当a+b=0时，曲线C恒过两个定点；

③设P，Q为曲线C上的两个动点，则存在a>0，b<0，使得|PQ|有最大值；

④记曲线C在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为S，则对任意a>0，存在b>0，使得S>12三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数f(x)=2sinxcos(2π−x)+2cos2x−1．

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)设g(x)是由f(x)向右平移φ个单位得到的新函数，其中0<φ<π2，且g(x)为偶函数，求17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，E，F分别为棱PD，PB的中点．

(1)求证AE⊥平面PCD；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG//平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由．18.(本小题14分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1).且过点(1,32)．

(Ⅰ)求椭圆E的方程及焦距；

(Ⅱ)过点(0,2)的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线19.(本小题14分)

在△ABC中，bsinA−acosB2=0．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)若b=3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a及△ABC的面积．

条件①：sinA+sinC=2sinB；

条件②：c=3；

条件③：ac=10．

注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ20.(本小题14分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以E的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为1．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于不同的两点M，N.过21.(本小题15分)

给定正整数n(n≥3)，已知A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann是一个n行n列的数表，其中aij∈{0,1}(i，j∈{1,2,⋯,n}).若数表A同时满足如下三个性质，则称数表A具有性质P：

①对任意i∈{1,2,⋯,n}，有aii=0；

②对任意i，j∈{1,2,⋯,n}，且i≠j，有aij+aji=1；

③对任意j∈{1,2,⋯,n}，有a1j+a2j+⋯+anj≥2．

(I)1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】5

12.【答案】x=−12

13.【答案】−17

14.【答案】(−115.【答案】①②④

16.【答案】T=π，[−3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z)17.【答案】解：(1)证明：∵CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵△PAD为等边三角形，E为PD中点，

∴AE⊥PD，

∵CD∩PD=D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD．

(2)取AD中点O，连接OP，OB，

∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，AD⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∵O为AD中点，△PAD为等边三角形，

∴PO⊥AD，AD=2OD，

∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵AD=2OD=2BC，

∴四边形OBCD为平行四边形，AD⊥OB，

如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，E(−12,0,32)，F(0,1,32)，∴AE=(−32,0,32)，AF=(−1,1,32)，

∵CD⊥平面PAD，

∴m=(0,1,0)可以作为平面PAD的一个法向量，

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AE=−32x+32z=0n⋅AF=−x+y+32z=0，令x=1，则y=−12，z=3，

∴平面AEF的一个法向量为n=(1,−12,18.【答案】(Ⅰ)方程为x24+y2=1，焦距为219.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理得sinAsinB−sinAcosB2=0，∴sinB−cosB2=0，

即2sinB2cosB2−cosB2=0，

因为0<B2<π2，所以acosB2≠0．

所以sinB2=12，B2=π6，B=π3．

(Ⅱ)选条件①：sinA+sinC=2sinB．

因为b=3,B=π3，sinA+sinC=2sinB．