25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（内嵌视频）2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版

九年级数学上25.2.4一元二次方程的根与系数的关系25.2降次——解一元二次方程学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．复习回顾1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)当b2–4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2–4ac<0时，方程无实数根.方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？探索新知

m+n

m–n发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号.探索新知

你还有其他方法得出上述关系吗？探索新知

如果一元二次方程

ax2+bx+c=0

的左边可以分解因式为

a(x–x1)(x–x2)，那么方程

ax2+bx+c=0的两个根为

x1和

x2.

反过来，如果一元二次方程

ax2+bx+c=0的两个根为

x1和

x2，那么

ax2+bx+c=a(x–x1)(x–x2)，即

ax2+bx+c=ax2–a(x1+x2)x+ax1x2.由此可得

–a(x1+x2)=b，ax1x2=c.

知识总结一元二次方程的根与系数的关系若

x1，x2是一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，

注意事项（使用前提）方程先化为一般式，确定

a，b，c.a≠0b2–4ac≥0探索新知例5根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根

x1，x2的和与积：（1）x2–6x–15

=0；（2）3x2+7x–9

=0；（3）5x–1

=4x2.解：（1）x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15.

探索新知一元二次方程abcx1+x2x1x2x2+7x+6=0176–763x2+2=1–5x351–

x(x–1)=3x+71–4–74–77x2–5=x+87–1–13

–探索新知与一元二次方程有关的代数式的常见变形：=(x1+x2)2–2x1x2x12+x22=(x1+x2)2–4x1x2(x1

–x2)2

｜x1–x2｜=x1x2(x1+x2)x1x22+x12x2视频学习随堂练习A.

－25B.

－20C.20D.251.(1)(2025·广西中考)已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(

C

)C(2)(2025·湖北中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(

D

)A.

x1＋x2＝－4

B.

x1＋x2＝3C.

x1x2＝4

D.

x1x2＝3D随堂练习2.关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，则b，c的值分别为(

B

)A.

b＝1，c＝－6B.

b＝－1，c＝－6C.

b＝5，c＝－6D.

b＝－1，c＝6BA.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限3.

新视角

模块综合(2025·河北中考)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(

C

)C随堂练习4.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(

B

)A.

x2＋6x＋5＝0B.

x2－7x＋10＝0C.

x2－5x＋2＝0D.

x2－6x－10＝0BA.

没有实数根B.

有两个正实数根C.

两根之积为－6D.

两根之和为15.已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0，k＜0，则该方程的根的情况是(

C

)C随堂练习6.设

x1，x2

是方程

2x2+4x–3=0的两个根，则：（1）x1x22+x12x2

=_______；（2）(x1

–x2)2=_______.103随堂练习7.已知方程

5x2+kx–6=0的一根是2，则另一根是_____，

k=_____.–7

随堂练习8.已知一元二次方程x2－mx＋4＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝

⁠.4

条件变式·已知两根积→已知两根和(2025·苏州中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝

⁠.－3

随堂练习9.若关于x的方程x2＋(m2－4)x＝0的两根互为相反数，则m的值为

⁠.±2

易错变式(1)若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k的值为

⁠.(2)新考向

开放设问

写一个关于x的一元二次方程，使其两根互为倒数：

⁠.－1

3x2－10x＋3＝0随堂练习10.(2025·广安中考)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为

⁠.29

随堂练习12.不解方程，求下列方程两个根

x1，x2

的和与积：（1）x2–3x=15；（2）3x2+2=1–4x；解：（1）方程化为

x2–3x–15=0，所以

x1+x2=–(–3)=3，x1x2=–15.

随堂练习（4）2x2–x+2=3x+1.（3）5x2–1=4x2–x；解：（3）方程化为

x2+x–1=0，所以

x1+x2=–1，x1x2=–1.

随堂练习13.已知关于

x

的方程

x2–(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积，求

m的值.解：设方程

x2–(2m+3)x+m2=0的两根为

x1，x2.所以

x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得

m2=2m+3，解得

m1=3，m2=–1.当

m=3时，原方程为

x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当

m=–1时，原方程为

x2–x+1=0，b2–4ac=–3<0.方程无实数根，此

m

值舍去.所以

m的值为3.随堂练习14.新课标

代数推理(2025·南充中考)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；(1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，得m2＝6.

∴(x－4)(x＋1)＝0.∴x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4，

随堂练习14.新课标

代数推理(2025·南充中考)设x1，x2是程(x－1)(x－2)＝m2的两根.(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.(2)证明：方程(x－