2026-2027学年六年级数学奥数培优（苏教版）体积的等积变形（提高）（含答案）

/体积的等积变形一．解答题（共48小题）1．有一空的长方体容器A和装有21厘米深水的圆柱体容器B，其中B的底面积是A的3倍，现在将B中的水倒一部分到A中，使B中水深是A中水深的2倍，那么A容器的水深将是多少？2．一个圆柱，底面直径是4分米，它的侧面积是62.8平方分米，那么它的体积是多少立方分米？3．一个长方体容器，长90厘米，宽40厘米．容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？4．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？5．一个由三个长方形、两个相同的直角三角形拼合成的三棱柱形的封闭容器里存有一些水，当如图中方式放置时，水面高2厘米，如果改变方式放置时，水高最少为几厘米？最高为几厘米？（必须有一个面水平贴地）6．一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？7．甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4：5，甲容器水深8厘米，乙容器水深12厘米，再往两个容器注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？8．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？9．一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米．如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？10．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中．现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米？11．一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？12．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水．现将正方体容器里的水倒入一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离．13．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？14．把一个底面积是12.56平方厘米的圆锥形钢件，放入长6.28cm，宽6cm的装有水的长方体容器内，水面升高1cm．这个钢件的高是多少厘米？15．有一种饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30dm3。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余部分的高度为5cm。问：瓶内现有饮料多少立方分米？16．皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米．皮球有45的体积浸在水中．问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（注：半径为r的球的体积是417．将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．18．在一个有溶剂刻度的瓶子里装水300毫升．把瓶倒放后，瓶里水的水平面在250毫升刻度线处，这瓶子的容积是多少毫升？19．设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？20．一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4π立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。问：瓶内胶水的体积是多少立方厘米？21．一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长为6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？22．如图，瓶子高20cm，内装300mL油，油面高12cm；若将其倒立则油面高16cm．这个瓶子可装油多少毫升？23．有一个棱长为1米的木质正方体，已知将其放入水中将有0.7米浸入水里．现将其分割成棱长为0.2米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，求此时各小正方体直接和水接触的表面积的和是多少？24．有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别是20厘米，24厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了6厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水没外溢，则这时乙杯中的水位上升了厘米．25．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水．现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米？26．一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的10327．一个长方体的水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米，放进一块棱长是20厘米的正方体后，这时水面高多少厘米？28．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？29．一个容器装了34的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的230．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？31．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？32．有大、中、小三个正方形的水池，它们的内边分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？33．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？34．一个棱长为6厘米的正方体容器里放了4厘米深的水，现放入棱长为2厘米的正方体木块，这木块一半沉在水中，容器里的水升高了多少厘米？35．在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米．问：这个铁块的体积是多少立方厘米？36．如图饮料瓶中装有18升的饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还能装进多少升的饮料？37．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？38．如图，一个长方体的水池水深1.25米，一个水龙头要注满水池需要3.5小时．现在要在水池内设置两块与池壁平行的挡板（体积忽略不计），一块高0.8米（B点），它挡成的区域恰好容纳1小时注水量，另一块高1米（C点），它挡成的区域恰好容纳2小时的注水量．那么AB、BC、CD这三段距离之比是多少？39．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米．先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米．问：这个水箱的容积是多少？40．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？41．在一只底面半径为10cm的圆柱形玻璃瓶中，水深8cm，要在瓶中放入长和宽都是8cm，高15cm的一块铁块．（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？（得数保留一位小数）（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？42．一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体．当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？43．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米．把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2厘米，这块铁块的体积是多少？44．一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米．在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？45．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）46．图中，A，B是两个圆柱形水槽，内直径分别是60厘米和20厘米，底部用带阀门的管子相连，（解题中不考虑管子的容积）①关上阀门，分别向A，B里注入50.24升水后，两个水槽的水面高度相差几厘米？②打开阀门，水面离槽底的高度有几厘米？47．如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据沙从上面的容器漏到下面的容器的数量计量时间的．（单位：cm）（1）这时沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？（2）这时沙漏下部沙子的体积是多少立方厘米？48．如图所示是一个用牛皮纸紧绕成的纸筒，纸筒长40厘米，外直径是38厘米，中间有一直径是18厘米的轴洞，已知牛皮纸的厚度是0.5毫米，求这筒纸展开后大约有多少米．（π取3.14）

体积的等积变形参考答案与试题解析一．解答题（共48小题）1．【答案】见试题解答内容【分析】设A容器的水深将是x厘米，则B中水深是2x厘米，设长方体容器A的底面积为s，则圆柱体容器B的底面积为3s，根据长方体和圆柱体的体积公式分别表示出后来两个容器中水的体积，再根据后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器B中水的体积列方程解答即可得解．【解答】解：设A容器的水深将是x厘米，则B中水深是2x厘米，设长方体容器A的底面积为s，则圆柱体容器B的底面积为3s，由题意可得：sx+3s×2x＝3s×21sx+6sx＝63s7sx＝63sx＝9答：A容器的水深将是9厘米．【分析】此题考查了长方体和圆柱体的体积公式的运用，明确后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器B中水的体积是解题关键．2．【答案】62.8立方分米。【分析】根据题意可知，将圆柱拼成一个近似的长方体，则长方体的底面是圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的半径，则长方体的体积可以用“底面积×高”求出。【解答】解：62.8÷2×（4÷2）＝31.4×2＝62.8（立方分米）答：这个圆柱体的体积是62.8立方分米。【分析】解答本题关键是明确圆柱与长方体的关系。3．【答案】见试题解答内容【分析】因为露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积＝长×宽×高求出高为24厘米的铁块的体积，再除以铁块还在水中时长方体容器的底面积（90×40﹣15×15）就可以求出下降的水的高度，再加上24即可解答．【解答】解：15×15×24÷（90×40﹣15×15）＝5400÷3375＝1.6（厘米）24+1.6＝25.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米．【分析】此题的关键是：铁块提起24厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和．4．【答案】见试题解答内容【分析】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（50﹣20）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比．由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比．【解答】解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30＝2：3．注20厘米的水的时间为18×2答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4．【分析】此题的解答关键是求出两次注水时间的比，再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟，由此进行分析解答即可．5．【答案】见试题解答内容【分析】两个直角三角形的两条直角边的长是3和4，根据勾三股四玄五的原理，则斜边的长是5，如图的放置，是边长为3的作为底边，高是2，等于另一直角边4的一半，则水面与三角形的交界线是三角形的中位线，长度是底边3的一半即1.5，此时水的体积是看作底边是梯形高12的柱子，等于（1.5+3）×2÷2×12＝4.5×12＝54立方厘米；当斜边5所在的长方形作为底边时，水面的高最少，此时水柱的高仍然是12厘米，地面是梯形，一个底边是5厘米，另一个底边应该是此时三角形的中位线，只有这样才遵守水的体积不变原理，高都是12厘米，底面面积都是三角形面积的34当三角形作为底边时水面的高度最大，等于54÷三角形面积＝54÷（3×4÷2）＝54÷6＝9厘米；据此得解．【解答】解：如图，根据勾三股四弦五的原理，则斜边的长是5；根据分析，得水的体积是：（1.5+3）×2÷2×12＝4.5×12＝54立方厘米；当斜边5所在的长方形作为底面时，水面高度最少，是3×4÷5÷2＝1.2厘米（原理是三角形的面积相等）；当三角形作为底面时，水面高度最大，是54÷（3×4÷2）＝54÷6＝9厘米；答：水高最少为1.2厘米，最高为9厘米．【分析】根据水的体积不变，以及三角形的面积不变来解决实际问题，正确理解中位线的特点是解决此题的关键．发展了学生的空间想象力．6．【答案】见试题解答内容【分析】因为露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积＝长×宽×高求出高为24厘米的铁块的体积，再除以铁块还在水中时长方体容器的底面积（60×60﹣15×15）就可以求出下降的水的高度，再加上24即可解答．【解答】解：15×15×24÷（60×60﹣15×15）＝5400÷3375＝1.6（厘米）24+1.6＝25.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米．【分析】此题的关键是：铁块提起24厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米铁块后水面下降的高度之和．7．【答案】见试题解答内容【分析】根据长方体的容积（体积）公式：v＝sh，已知再往两个容器注入同样多的水，直到水深相等，利用水深相等，设注入x立方厘米的水时两容器水深相等，据此列方程解答．【解答】解：设注入x立方厘米的水时两容器水深相等，4×8+5×（32+x）＝4×（60+x）160+5x＝240+4x5x﹣4x＝240﹣160x＝8080÷4＝20（厘米）答：这样甲容器的水面应上升20厘米．【分析】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是利用水深相等列方程求出再注入水的体积，进而求出甲容器水面上升的高度．8．【答案】见试题解答内容【分析】先根据题意把倒立瓶子进行修补，补成瓶颈与瓶身相同的形状；再根据瓶子里水的体积不变，求出所补部分的容积，之后可轻松求出这个瓶子的容积了．【解答】解：①瓶子里水的体积是10×4＝40立方厘米．②把倒立的瓶子补完整如右上图，这时补全瓶子的容积是10×7＝70立方厘米；5厘米高的瓶子的容积是10×5＝50立方厘米；补的部分的体积是50﹣40＝10立方厘米；所以原瓶子的容积是70﹣10＝60立方厘米．答：这个瓶子的容积是60立方厘米．【分析】此题解答的突破口就是“补图”，补好后有利于解答．9．【答案】25厘米【分析】根据“这时容器中的水深40厘米”，可知原来铁块被水浸湿的部分是在40厘米处，后来将铁块提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁块提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是10厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁块上被水浸湿的那部分的长度．【解答】解：水位下降的高度：10×10×24÷（50×50﹣10×10）＝2400÷2400＝1（厘米）露出水面被水浸湿的部分：24+1＝25（厘米）．答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米．【分析】解决此题明确露出水面的铁块上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁块提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解．10．【答案】见试题解答内容【分析】先求出棱长为24厘米正方体铁块的体积；再根据“将铁块取出，水面下降18厘米“，进而用铁块的体积除以水面下降的厘米数，就是长方体容器的底面积；再求出长18厘米、宽16厘米、高12厘米的长方体铁块的体积，进而用长方体铁块的体积除以容器的底面积，即为水面上升的厘米数．【解答】解：正方体铁块的体积：24×24×24＝13824（立方厘米），长方体容器的底面积：13824÷18＝768（平方厘米），长方体铁块的体积：18×16×12＝3456（立方厘米），水面上升的高度：3456÷768＝4.5（厘米）．答：水面将上升4.5厘米．【分析】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，明确将物体放入水中或从水中取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积，从而求出容器的底面积；也考查了正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，这两个体积公式的应用．11．【答案】见试题解答内容【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下原来的水深，则当原水深介于此值到50之间时，放入铁块后水深为50厘米；若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出灯亮关系求解．【解答】解：由题设，知水箱底面积S＝40×25＝1000（cm2），水箱体积V水箱＝1000×50＝50000（cm3），铁块体积V铁＝10×10×10＝1000（cm3）．（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时1000a+1000＝50000，得a＝49（cm）．所以，当49≤a≤50时，水深为50cm（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时1000a+1000＝10000，得a＝9（cm）．所以，当9≤a＜49时，水深为a×40×25+10×10×1040×25=（a（3）由（2）知，当0＜a＜9时，设水深为xcm，则1000x＝1000a+100x．得x=109（答：当0＜a＜9时，水深为109acm；当9≤a≤49时，水深为（a+1）cm；当49≤a≤50时，水深为50cm【分析】解答此题的关键是：考虑放入铁块后水溢出的情况，放入铁块后水仍未淹没铁块的情况，按照一定的顺序，不重复不遗漏．12．【答案】见试题解答内容【分析】先求出正方体容器的容积，然后用这个体积除以长方体水箱的底面积就是水深的高度，用长方体水槽的高度减去水深的高度，问题即可得解．【解答】解：6×6×6，＝36×6，＝216（立方分米）；216÷（12×6），＝216÷72，＝3（分米）；5﹣3＝2（分米）；答：现在长方体水槽中水面到水槽口的距离是2分米．【分析】本题主要考查了正方体和长方体的体积公式的灵活应用：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的体积＝长×宽×高．13．【答案】见试题解答内容【分析】放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深24÷2＝12厘米，可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度，进一步即可求解．【解答】解：[3.14×102×（24÷2）]÷（3.14×102﹣3.14×22）＝（3.14×1200）÷（3.14×96）＝1200÷96＝12.5（厘米）12.5﹣24÷2＝12.5﹣12＝0.5（厘米）．答：这时水面升高了0.5厘米．【分析】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体木棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题．14．【答案】见试题解答内容【分析】根据题干，这个圆锥形钢件的体积就是上升1厘米的水的体积，由此利用长方体的体积＝长×宽×高可以求出这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的高．【解答】解：6.28×6×1×3÷12.56＝12.56×9÷12.56＝9（厘米）答：这个钢件的高是9厘米．【分析】此题考查了长方体与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥形钢件的体积是本题的关键．15．【答案】24立方分米。【分析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷（20+5）=4【解答】解：30×[20÷（20+5）]＝30×＝24（立方分米）答：瓶内现有饮料24立方分米。【分析】用右边瓶子的空白部分去置换左边瓶子的空白部分，这样就变成一个圆柱体。16．【答案】见试题解答内容【分析】上升的这部分水的体积就是浸在水中的皮球的体积；先根据球的体积公式求出球的体积，再把球的体积看成单位“1”，用乘法求出它的45【解答】解：15÷2=15V=443×3.14×（152=43×=4＝562.5×3.14，＝1766.25（立方厘米）；1766.25×460÷2＝30（厘米）；3.14×302，＝3.14×900，＝2826（平方厘米）；1413÷2826＝0.5（厘米）；答：水桶中的水面升高了0.5厘米．【分析】本题关键是找出上升水面的体积就是浸入水中的皮球的体积；再根据球的体积公式和圆柱的体积公式求解．17．【答案】见试题解答内容【分析】因为正方体的每一个面的面积相等，所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米．故三个正方体的棱长分别是3、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．【解答】解：54÷6＝9（平方厘米），因为3×3＝9，所以这个正方体的棱长是3厘米，96÷6＝16（平方厘米），因为4×4＝16，所以这个正方体的棱长是4厘米，150÷6＝25（平方厘米），因为5×5＝25，所以这个正方体的棱长是5厘米，33+43+53，＝27+64+125，＝216（立方厘米），答：这个大正方体的体积是216立方厘米．【分析】分别求出三个正方体的棱长是解答关键．18．【答案】见试题解答内容【分析】由图中右瓶可知，瓶中空气的250毫升，由图中左瓶可知瓶中的水有300毫升，瓶的容积就是瓶中的水的体积加上空气的体积【解答】解：由图中右瓶知，瓶中空气为250毫升，由图中左瓶可知，瓶中水为300毫升，瓶的容积＝水的体积+空气的体积＝300+250＝550（毫升）．答：这瓶子的容积是550毫升．【分析】注意发现题目中给出的隐含条件，如空气的体积．19．【答案】见试题解答内容【分析】画出图形，见下图，球的内接正方形ABCD﹣A1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC1＝2×10＝20（厘米）．然后由图的对称性以及勾股定理解决问题．【解答】解：球的内接正方形ABCD﹣A1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC1＝2×10＝20（厘米）．由图的对称性，可知∠AA1C1＝90°，∠A1B1C1＝90°．设正方形的棱长为a，即AA1＝A1B1＝B1C1＝a，连续用勾股定理两次，得到：A1C12＝2a2，AC12＝AA12+A1C12+3a2，则3a2＝202＝400，a2=4003=显然，只要一个正方体的棱长a为整数，满足a2≤133，那么这个正方体一定可以放入球中，因为112＝121＜133＜144＝122．故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米．答：该正方体的棱长最大等于11厘米．【分析】此题根据图形特点，运用了图的对称性以及勾股定理解决问题．20．【答案】81.3888立方厘米。【分析】如题中图所示，左图中8厘米高的胶水以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面2厘米高的那部分的容积，所以瓶中胶水的体积占胶水瓶容积的8÷（8+2）=4【解答】解：32.4π×[8÷（8+2）]＝32.4π×＝81.3888（立方厘米）答：81.3888立方厘米。【分析】用右边瓶子的空白部分去置换左边瓶子的空白部分，这样就变成一个圆柱体。21．【答案】见试题解答内容【分析】知道圆柱的底面积，在这个杯中放进棱长为6厘米的正方体铁块后水面会上升，由于水面没有淹没铁块，水的体积没有变，但是它的底面积发生了变化（被正方体占了一部分），现在的底面积为72﹣6×6，用水的体积除以现在的底面积，就得到现在水面的高度．【解答】解：水的体积：72×2.5＝180（立方厘米），现在水面的高度：180÷（72﹣6×6）＝180÷36＝5（厘米）．答：这时水面高5厘米．【分析】观察题干，分析好数量关系进行解答，注意水面并没有淹没正方体，从底面积的变化切入解题．22．【答案】见试题解答内容【分析】正着放的空瓶部分的体积＝倒着放的空瓶部分的体积＝瓶的容积﹣已装油的体积，所以，正着放的空瓶部分的体积相当于底面与瓶子底面相等，高为20﹣16＝4厘米高的圆柱的体积，整个瓶子的体积就转化为高为12+4＝16厘米的圆柱的体积；据此解答．【解答】解：（300÷12）×（20﹣16+12）＝25×16＝400（毫升）答：这个瓶子可装油400毫升．【分析】本题解答的难点和关键是把不规则的空隙部分的体积转化为规则的圆柱的体积，运用等积变形解答．23．【答案】见试题解答内容【分析】根据浮力作用的规律，正方体与浸入的高度占正方体棱长的百分比不变，求出小正方体浸入水的高度，再求出一个小正方体直接和水接触的表面积，一个大正方体变成了13÷0.23＝125个小正方体，最后求出所有小正方体直接和水接触的表面积的和是多少．【解答】解：①原正方体浸入水的高度是原正方体棱长的：0.7÷1=7②小正方体浸入水的高度：0.2×7③一个小正方体直接和水接触的表面积的和：0.2×0.2+4×0.2×0.14＝0.152（平方米）；④原正方体分割成小正方体的块数：1×1×1÷（0.2×0.2×0.2）＝125（个），⑤所有小正方体直接和水接触的表面积的和：125×0.152＝19（平方米）；答：此时各小正方体直接和水接触的表面积的和是19平方米．【分析】解答此题主要利用了浮力作用的规律：正方体与水接触部分的高度占正方体棱长的百分比不变．24．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解．【解答】解：[3.14×（20÷2）2×6]÷[3.14×（24÷2）2]，＝1884÷452.16，=25答：这时乙杯中的水位上升了256故答案为：256【分析】明确铁块的体积不变，是解答此题的关键．解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解．25．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据正方体的体积公式：v＝a3，求出铁块的体积；再根据长方体的体积公式：v＝sh，用铁块的体积除以长方体容器的底面积，求出水面上升的高度，然后用水面上升的高加上原来水的深度即可．【解答】解：15×15×15÷（20×15）+20，＝3375÷300+20，＝11.25+20，＝31.25（分米），答：这时容器中的水深31.25分米．【分析】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用．26．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，可以切割成棱长为1～5的小正方体．大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×10假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．然后，分棱长为4、3、2、1的小正方体分类讨论，列方程组解答即可．【解答】解：大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×10假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则2解得：a（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，33化简：27由上式可得：b＝9c+24，a=120−9当c＝0时，b24＝，a＝24，当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）当c＝2时，b＝42，a＝15，当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）当c＝4时，b＝60，a＝6，当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．【分析】本题关键是根据表面积变化前后体积不变，确定小正方体的棱长的范围，然后分类讨论即可．27．【答案】见试题解答内容【分析】根据长方体的体积公式可以求出水箱内水的体积；放进去棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h＝V÷S，从而可以求出水此时的高度，由此解决问题．【解答】解：水箱的底面积是40×30＝1200（平方厘米），水的体积是1200×10＝12000（立方厘米），铁块的底面积是20×20＝400（平方厘米），放入铁块后，水箱的底面积变成了1200﹣400＝800（平方厘米），这时水面高12000÷800＝15（厘米），答：这时水面高为15厘米．【分析】此题的关键是放入铁块后，水的体积没有变化，水箱的底面积发生了变化，所以引起了水高度的变化．28．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意知，原来容器中的水可以看成是长30分米、宽10分米、高为12×3【解答】解：（1）330÷11×12×＝30×9＝270（立方分米）270÷（30×10）＝270÷300＝0.9（分米）9+0.9＝9.9（分米）答：水面的高度变为9.9分米．（2）330÷11×9.9＝30×9.9＝297（立方分米）297÷（30×10）＝0.99（分米）9.9+0.99＝10.89（分米）答：水面高度又变成了10.89分米．（3）330÷11×10.89＝30×10.89＝326.7（立方分米）326.7÷（30×10）＝1.89（分米）10.89+1.89＝12.78（分米）有一部分水溢出，水面高度为12分米答：水面高度又变成了12分米．【分析】此题主要考查长方体的体积公式，完全和不完全浸入水中的圆柱的体积等于上升的水的体积．29．【答案】15：6：4。【分析】将容器的容积看作单位“1”，设小球的体积是容器的a，中球的体积是容器的b，大球的体积是容器的c，依次表示出三次溢出的水量，根据溢出水量的关系，找出a，b，c的比值即可。【解答】解：将容器的容积看作单位“1”，设小球的体积是容器的a，中球的体积是容器的b，大球的体积是容器的c，第一次溢出的水的体积为：34+b﹣1＝b第二次溢出的水的体积为：1﹣b+3a﹣1＝3a﹣b，第三次溢出的水的体积为：1﹣3a+c﹣1＝c﹣3a，最后剩下水的体积可得：1﹣c=2解得：c=根据第三次是第二次的一半，可得：2（c﹣3a）＝3a﹣b整理得：9a﹣b＝2c=根据第一次是第三次的一半，可得：2（b−14）＝c整理得：6a+4b＝2c+1=根据方程组可得：a=29，b所以c：b：a=56：13答：大、中、小三球的体积比15：6：4。【分析】解答此题的关键是，根据题意，找出对应量，即可解答．30．【答案】见试题解答内容【分析】先按照铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是x厘米，即铁圆柱浸入水的高度是x厘米，原有水的体积等于底面积为3.14×（52﹣22）水的体积，由此列出方程求出水深，再与铁圆柱的高进行比较判断是否完全浸没，再进行解答。【解答】解：若铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是x厘米，即铁圆柱浸入水的高度是x厘米；3.14×（52﹣22）×x＝3.14×52×15（25﹣4）×x＝37521x＝375x≈17.8617.86＜18，符合假设。答：此时的水深大约是17.86厘米．【分析】抓住水的体积不变，是解决本题的关键．31．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解．【解答】解：3.14×（10÷2）2×2÷[3.14×(＝50÷100，＝0.5（厘米），答：这时乙杯中的水位上升了0.5厘米．【分析】解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解．32．【答案】见试题解答内容【分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放碎石的体积，利用长方体的体积公式＝长×宽×高求出两堆碎石的体积；再将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆碎石的体积，那就用两堆碎石的体积除以大正方形水池的底面积即可求出．【解答】解：5米＝500厘米，3米＝300厘米，2米＝200厘米，放中池里碎石的体积：300×300×6＝540000（立方厘米），放小池里碎石的体积：200×200×4＝160000（立方厘米），两堆碎石总体积：540000+160000＝700000（立方厘米），大水池的水面升高：700000÷（500×500）＝2.8（厘米），答：大水池的水面升高了2.8厘米．【分析】此题主要是利用规则图形长方体的体积公式，来将不规则固体借助水的流动性变成规则的形状，底面是不变的，水面升高那部分体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可．33．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积．沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×0.06＝0.54（米3），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×2×0.04＝0.16（米3）；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题．【解答】解：6厘米＝0.06米，4厘米＝0.04米．3×3×0.06＝0.54（米3），2×2×0.04＝0.16（米3），0.54+0.16＝0.7（米3），大水池的底面积是：6×6＝36（米2），大水池的水面升高了：0.7÷36=0.736（米）答：大水池的水面升高了3518【分析】解答此题，关键在于理解：把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．34．【答案】见试题解答内容【分析】首先计算出棱长为2厘米的正方体木块沉在水中的体积，即排开水的体积；由于棱长为6厘米的容器的底面积被小木块的底面积占据了一部分；因此排开水的底面积应该是（62﹣22）平方厘米；然后用沉在水中木块的体积（排开水的体积）除以容器的底面积．由此列式解答．【解答】解：求木块排开水的体积：2×2×（2÷2）＝4×1＝4（立方厘米）；求水升高时容器的底面积：62﹣22＝36﹣4＝32（平方厘米）；求水上升的高度：4÷32＝0.125（厘米）；答：容器里的水升高了0.125厘米．【分析】此题主要考查正方体的体积计算，此题解答关键是理解容器的底面积被木块的底面积占据了一部分．利用公式解答即可．35．【答案】见试题解答内容【分析】铁块的底面是正方形，所以铁块浸入水中的体积与它浸入水中的高度成正比，而铁块浸入水中的体积等于长方体蓄水池的液面上升部分的体积，所以漏出水中铁块的高与水面下降高度成正比例，由此列出方程求出高，再根据长方体体积公式求出体积．【解答】解：设这个铁块的高是x厘米，则x：9＝8：4，4x＝9×8，4x＝72，x＝18；5×5×18＝450（立方厘米）；答：铁块体积450立方厘米．【分析】本题关键是找出长方体的体积与高的比例关系，根据这一比例关系求出铁块的高，进而求解．36．【答案】见试题解答内容【分析】根据“18升的饮料，正放时饮料的高度是15厘米”可以利用圆柱的容积公式计算得出这个饮料瓶的底面积；倒放时，仍利用圆柱的容积公式求得空余部分的容积即可解决问题．【解答】解：15厘米＝1.5分米，10厘米＝1分米，18÷1.5×1＝12（立方分米）＝12升，答：这个瓶子最多还能装进12升的饮料．【分析】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决．37．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，即原来大正方体的6+12＝18个面的面积是162平方厘米，由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长，再根据正方体的体积公式解答即可．【解答】解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，共增加12个大正方体的面，一个面的面积：162÷（12+6）＝9（平方厘米），因为3×3＝9，所以可知大正方体的棱长是3厘米，大正方体的体积：3×3×3＝27（立方厘米），答：原正方体的体积是27立方厘米．【分析】解答此题关键是明确一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面．38．【答案】见试题解答内容【分析】先设出AB、BC、CD部分的底面积分别为a、b、c，进而根据“体积＝底面积×高”表示出各部分的体积：AB部分水的体积是0.8a，AC部分水的体积是（a+b）×1，因为每小时的水流量一定，列出等量关系，再求连比，0.8a÷1＝（a+b）×1÷2，可得a：b＝5：3，因为宽相等，即长度比也为5：3；同理求出b：c＝25：16，因为每小时的水流量一定，所以（a+b+c）×1.25÷3.5＝0.8a÷1，进而可得：a：c＝25：16，然后求abc的连比即可．【解答】解：设AB、BC、CD部分的底面积分别为a、b、c，则AB部分水的体积是0.8a，AC部分水的体积是（a+b）×1，因为每小时的水流量一定，所以：0.8a÷1＝（a+b）×1÷2，0.8a＝0.5a+0.5b，0.3a＝0.5b，a：b＝5：3，因为宽都相等，所以AB：BC＝5：3；同理：因为每小时的水流量一定，所以：（a+b+c）×1.25÷3.5＝0.8a÷1，（a+0.6a+c）×1.25＝0.8a×3.5，（1.6a+c）×1.25＝2.8a，2a+1.25c＝2.8a，2.8a﹣2a＝1.25c，所以：a：c＝25：16，因为宽都相等，所以AB：CD＝25：16；因为AB：BC＝5：3＝25：15，所以AB：BC：CD＝25：15：16；答：AB、BC、CD这三段距离之比是25：15：16．【分析】此题较难，应认真分析，解答此题的关键是：设出AB、BC、CD部分的底面积，表示出各部分的体积，因为每小时的水流量一定，列出等量关系，分别求出AB和BC的比及AB和CD的比，进而求出这三条线段的连比．39．【答案】见试题解答内容【分析】求水箱的容积，先根据：正方体的体积＝棱长3，求出正方体铁块的体积，然后根据长方体的体积计算方法求出高为1分米的水箱的容积，然后用铁块的体积加上正方体铁块的体积加上高为1分米的水箱的容积，然后相加即可．【解答】解：8×6×1+3×3×3，＝48+27，＝75（立方分米），＝75（升），75+165＝240（升）；答：这个水箱的容积是240升．【分析】此题考查了正方体体积的计算方法和长方体体积计算公式的灵活运用．40．【答案】见试题解答内容【分析】因为露出水面的木桩上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米木桩后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的24厘米的长方体的体积，所以先根据长方体体积＝长×宽×高求出高为24厘米的木桩的体积，再除以木桩还在水中时长方体容器的底面积（60×60﹣15×15）就可以求出下降的水的高度，再加上24即可解答．【解答】解：15×15×24÷（60×60﹣15×15）＝5400÷3375＝1.6（厘米）24+1.6＝25.6（厘米）15×4×25.6＝60×25.6＝1536（平方厘米）．答：露出水面的木桩浸湿部分面积为1536平方厘米．【分析】此题的关键是：木桩提起24厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的木桩上被水浸湿的部分长度包括提起来的24厘米和提起24厘米木桩后水面下降的高度之和．41．【答案】见试题解答内容【分析】本题考查等积变形．【解答】解：（1）把铁块横放在水中，铁块浸没入水中，水面上升的体积是铁块的体积，8×8×15÷（3.14×102）＝3.1（厘米）（2）如果把铁块竖放在水中，铁块部分浸在水中，水面上升的体积是铁块进入水中的部分的体积，8×8×8÷（3.14×102﹣8×8）＝2.048（厘米）答：（1）如果把铁块横放在水中，