中考数学总复习 高分突破 第24课时　圆的有关性质及与圆有关的位置关系

第24课时圆的有关性质及与圆有关的位置关系第四章图形的性质

知识点1圆的定义及有关概念（1）到定点的距离等于

的点的轨迹叫做圆，其中定点叫圆

心，定长叫半径.（2）相关概念：弦、直径、弧、优弧、劣弧、等弧、半圆、等圆、同

心圆、圆心角、圆周角、弓形、圆内接四边形.定长

知识点2圆的有关性质（1）圆的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆心是对称

中心，任意一条直径所在的直线都是对称轴；圆还有旋转不变性.（2）垂径定理：垂直于弦的直径

这条弦，并且

⁠这条弦所对的两条弧.平分

平分

垂径定理的推论：平分弦（非直径）的

垂直于弦，并且平

分

⁠.知二推三：（如图）直径

这条弦所对的两条弧

（3）圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、

两条弧、两条弦（或弦心距）中有一组量相等，那么它所对应的其余各

组量都分别相等.（4）圆周角定理及推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

，都等于它所对

的圆心角的

；

②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

⁠；③直径所对的圆周角是

，90°的圆周角所对的弦是

⁠；④圆内接四边形的对角

，圆内接四边形的任意一个外角等于它

的内对角.相等

一半

相等

直角

直径

互补

知识点3三角形的内心和外心

三角形的外心（外接圆的圆心）是三边

的交点，它

到

的距离相等；三角形的内心（内切圆的圆心）是三内

角

的交点，它到

的距离相等.知识点4点与圆的位置关系垂直平分线

三顶点

角平分线

三边

点与圆的位置关系图形点到圆心的距离d与半径r的关系点在圆内

⁠点在圆上

⁠点在圆外

⁠d＜r

d＝r

d＞r

知识点5直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

⁠

⁠

⁠圆心到直线的距离d与半径r的关系

⁠

⁠

⁠2

1

0

d＜r

d＝r

d＞r

知识点6切线的性质与判定性质判定圆的切线与过切线的半

径（直径）

⁠（定义法）与圆只有一个公共点的直线是圆

的切线过圆心且垂直于切线的

直线必过切点（数量法）到圆心的距离等于半径的直线是

圆的切线，通常作垂线、证半径经过切点且垂直于切线

的直线必过该圆的圆心（判定定理）经过半径的外端且垂直于半径

的直线是圆的切线，通常连半径、证垂直垂直

知识点7切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长

，这一点和圆

心的连线

两条切线的夹角.相等

平分

考点一

与圆有关的位置关系

（1）（2025·云南）已知☉O的半径为5

cm，若点P在☉O上，则

点P到圆心O的距离为

cm；5

（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12.若☉O的

半径为3，当圆心O与点C重合时，☉O与直线AB的位置关系为

⁠

；若☉O从点C开始沿直线CA移动，当OC＝

时，☉O

与直线AB相切.相

离

1

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打印前可删除此页考点二

圆周角定理及推论

A.30°B.45°C.60°D.75°B

图1（2）（2025·东营）如图2，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD＝

130°，则∠ECD的度数是（

C

）A.50°B.55°C.65°D.70°C图2

8

图3考点三

垂径定理及推论

（2）如图2，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦

AC的长为

⁠.66°

图1图2考点四

切线的性质与判定

（1）（2025·自贡）PA，PB分别与☉O相切于A，B两点.点C

在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为

（

D

）A.50°B.100°C.130°D.50°或130°D

4

（2025·烟台）如图，△ABC内接于☉O，∠ABC＝2∠C，点D

在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD.

（1）求证：AD是☉O的切线；[答案]

（1）证明：如答案图，连接AO并延长交☉O于点E，连接

BE，∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD，∴∠ABC＝∠D＋∠DAB＝2∠D.

又∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C＝∠BAD.

∵∠C＝∠E，∴∠BAD＝∠E.

∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即AD⊥AE.

∵AE为☉O的直径，∴AD是☉O的切线.（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及☉O的半径.

（答案图）

1.

（2025·青海）如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC

的度数是（

B

）A.80°B.50°C.40°D.25°（第1题）B2.

如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若

∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E的度数是（

C

）A.56°B.60°C.68°D.70°（第2题）C3.

（2025·深圳改编）如图，以矩形ABCD的顶点B为圆心，BC的长为

半径作☉B，交AB于点F，点E为AD上