高考数学一轮复习 2.4 函数的周期性与对称性

2.4函数的周期性与对称性考向1函数的周期性知识点函数的周期性1.定义:对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.例如:上图是三角函数的图像①虚线图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；（最小正周期的整数倍依然是周期,如:也是函数的周期）②整个函数,对于任何,都有.（两个自变量相差,它们对应的函数值均相等）2.常见的结论及证明①； ②；③； ④；⑤；⑥；⑦; ⑧.证明,即.证明⑥由,即.证明⑦由,即.证明⑧由,则,所以,即.题型一周期性的应用例1（2025新课标1卷）设是定义在上且周期为2的偶函数,当时,,则（）A.B.C.D.例2（2026·大连期中）已知函数满足,当时,,则（）A.B.C.1D.-1例3（2026一两江新区校级月考）已知定义在上的函数满足,且当时，，则的值为（）A.3B.1C.-1D.-3例4（2026·长春月考）设是定义在上的两个周期函数，的周期为的周期为2,且是奇函数,当时,,其中,则在区间上函数与图像交点个数是（）A.7B.8C.9D.10题型2抽象函数的周期性例5（2026·文安县校级一模）已知定义域均为的函数和满足-4,,函数是偶函数,且,则（）A.16B.18C.14D.20例6（2026·临汾期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有,且.则下列说法正确的是（）A.B.周期为4C.D.为奇函数考点2函数的对称性知识点1函数图像自身的对称关系（可理解为奇偶函数平移后的图像）①（“偶函数”）轴对称:若，则有对称轴.②（“奇函数”）中心对称:若函数定义域为，且满足条件（为常数），则函数的图像关于点对称.对称性两步搞定:①去常数，判断中心对称（奇函数）或轴对称（偶函数）；②中点坐标公式，括号里面相加除2，函数值相加除2.对称性的四个常用结论（1）若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称.（2）若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称.（3）若，则关于直线对称（4）若，则关于点对称考点分析:对称性周期性概念性考察需要紧扣概念例（1）若为偶函数，则关于_____对称；若为奇函数，则关于_____对称；（2）若为偶函数，则关于_____对称，则关于_____对称；（3）若为奇函数，则关于_____对称，则关于_____对称；（4）函数与关于_____对称；函数与关于_____对称.（5）写出下列式子的对称性:①;②;③.知识点2两个函数图像之间的对称关系①轴对称若函数定义域为,则两函数与的图像关于直线对称.特殊地,函数与函数的图像关于直对称.②中心对称若函数定义域为,则两函数与的图像关于点对称.特殊地,函数与函数图像关于点对称.例函数是定义在实数集上的函数，与的图像之间A.关于直线对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于点对称题型3对称性的应用例7（2018新课标III）下列函数中,其图像与函数的图像关于直线对称的是（）A.B.C.D.例8（2026·北流市模拟）已知函数，的定义域均为p，是奇函数，且,则（）A.为奇函数 B.为奇函数C. D.例9（多选宁夏校级一模）已知函数为定义在上的奇函数,又函数,且与的函数图像恰好有2022个不同的交点,,则下列叙述中正确的是（）A.的图像关于对称B.的图像关于对称C.D.考向3对称性与周期性的综合应用令知识点1判断函数的对称性或周期性（1）同周异对（的符号）；（2）知三求二（如:双对称得周期）；（3）双对称快速得周期的方法:①定义法:把式子统一化为_____的形式，再联立方程求解周期；如:奇函数,且满足,求周期:解:由,且,得,即.②图像法:先标出对称中心及对称轴，如果是双轴（或双中心对称）也同理作图.如:奇函数,且满足,求周期:解:第一步,标出对称中心和对称轴;第二步,穿过对称中心,画出轴对称图像;第三步,根据对称中心,补全另一侧图像（如图原点左侧）.第四步,得出最小正周期.知识点2对称与周期的关系结论（1）若函数的图像关于直线都对称，则为周期函数且是它的一个周期.推论:若偶函数的图像关于直线对称,则为周期函数,且是它的一个周期.（2）函数的图像关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数.推论:若奇函数的图像关于对称,则为周期函数,且是它的一个周期.（3）函数的图像关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数.推论:若奇函数的图像关于直线对称,则为周期函数,且是它的一个周期.（4）周期为的奇函数一定关于点对称，周期为的偶函数关于直线对称.题型4周期与对称综合问题例10（2026·西青区校级月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数,当时,,则例11（2022·乙卷）已知函数的定义域均为,且4）.若的图像关于直线对称,,则（）A.-21B.-22C.-23D.-24例12（多选・2026・荆州区校级期中）已知函数的定义域均为，且,若的图像关于直线对称,则以下说法正确的是（）A.为奇函数 B.C. D.例13（2026·盐城月考）函数满足对任意,都有,且的图像关于直线对称,当时,,且函数恰有2025个零点.（1）证明:函数为周期函数；（2）求整数的值.拓展思维拓展1类周期函数问题若满足:或,则横坐标每增加个单位,则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数.例1（2025·杞县月考）函数满足,且,当时,，则当时，的最小值为_____.例2（2019·新课标II）设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是（）A.B.C.D.例3（2026・汕头模拟）已知函数,若函数在区间内有3个零点,则实数的取值范围是（）A. B.C.或D.或拓展2抽象函数模特函数抽象函数特殊函数模型正比例函数反比例函数一次函数二次函数幂函数对数函数超越函数正弦型函数余弦型函数余弦型函数余弦型函数（续表）抽象函数特殊函数模型正切函数注:解决抽象函数题型常用赋值法.例4（2014·陕西）下列函数中,满足“”的单调递增函数是（）A.B.C.D.例5（2021新高考II）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_____。①；②当时，；③是奇函数.例6（2023·新高考I）已知函数的定义域为，，则（）A. B.C.是偶函数 D.为的极小值点例7（2022·新高考II）已知函数的定义域为,且，1,则（）A.-3B.-2C.0D.1例8（2026·河南省部分重点高中联考T10）已知函数（不恒为零）,其中为的导函数,对于任意的,满足,且,则（）A.是偶函数B.关于直线