中考数学总复习 高分突破 第20课时　直角三角形与勾股定理

第20课时直角三角形与勾股定理第四章图形的性质

知识点1直角三角形的性质与判定性质判定直角三角形（1）两锐角

⁠

⁠；（2）斜边上的中

线等于

⁠

⁠；（3）30°角所对

直角边等于

⁠

⁠；（1）有一个角是直角的三角形是

直角三角形；（2）勾股定理的逆定理：如果三

角形的三边长a，b，c满

足：

，那么这个

三角形是直角三角形；

（3）如果三角形的一边中线等于

这条边的一半，那么这个三角形

是直角三角形互

余

斜边的一

半

斜边

的一半

a2＋b2＝c2

直角三角形（4）勾股定理：

直角三角形两直角

边的平方和等

于

⁠

，即a2＋b2＝

c2（c为斜边）；（5）直角顶点在

以斜边为直径的圆

上（1）有一个角是直角的三角形是

直角三角形；（2）勾股定理的逆定理：如果三

角形的三边长a，b，c满

足：

，那么这个

三角形是直角三角形；

（3）如果三角形的一边中线等于

这条边的一半，那么这个三角形

是直角三角形斜边的平

方

a2＋b2＝c2

知识点2勾股定理内容用途勾股定理如果直角三角形的

两条直角边长分别

为a，b，斜边长

为c，那么

⁠

⁠（1）勾股定理是求线段长的重要工具；（2）利用勾股定理可建立三边关系的方

程；（3）勾股定理可用于证明平方关系a2＋

b2＝c2

内容用途勾股定理的逆定理如果三角形的三边

长a，b，c满足

⁠，

那么这个三角形是

直角三角形（1）判断某三角形是否为直角三角形；（2）证明两条线段垂直；（3）解决生活实际中的问题，比如最短

路径问题勾

股数能构成直角三角形

的三条边长的三个

正整数，称为勾股

数—a2＋b2＝c2

考点一

勾股定理及其逆定理

（1）（2025·辽宁）如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，

BE＝BC，连接CE.

若AB＝3，AE＝4，则CE的长为（

D

）A.1B.5C.

2

D.

D图1

A.

以a为斜边的直角三角形B.

以b为斜边的直角三角形C.

以c为斜边的直角三角形D.

不是直角三角形A（3）如图2，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，

△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接

DE.

若AE＝4，BE＝3，则DE＝（

C

）A.5B.

2

C.

D.4C图2考点二

直角三角形相关性质

（1）如图1，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，

AC＝6，则BC的长是（

A

）A.3B.6C.

D.

3

A图11

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打印前可删除此页（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且

CD＝AB，则BD的长是（

B

）A.

－

B.

－

C.

2

－2D.

2

－

B图2（3）（2025·育才）如图3，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线MN

与AC交于点M，连接BM.

若∠A＝15°，BM＝2，则△ABC的面积

为

⁠.

图3

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D为边AC上一动点.（1）如图1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的长；（答案图1）

[答案]图1（2）如图2，以BD为直角边作Rt△BDE，使得BD＝BE，连接AE，

点F为AE中点.求证：4BF2＋AD2＝DE2.图1图2（2）证明：如答案图2，连接CE并延长交AB的延长

线于点T.

（答案图2）∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC.

∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，∴∠BDC＝∠BET，∴△DBC≌△EBT（ASA），∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT.

又∵点F为AE中点，∴ET＝2BF，∴CD＝2BF.

∵∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2，∴4BF2＋AD2＝DE2.考点三

勾股定理与最值问题

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰Rt△ABC的底边AB

在x轴上滑动，且AB＝4，y轴上有一点M（0，5），连接MA，MC，

则MA＋MC的最小值为

⁠；

图1（2）如图2为一个圆柱形容器，其高为1.2m，底面周长为1m，在容器

内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊子.此时，一只壁虎正好在容器

外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路

程为

m（容器厚度忽略不计）.1.3

图2

（第1题）

A.

4

B.6C.

2

D.3B2.

如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，

摆绳长2

m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3

m，摆动水平距离

BD为1.6

m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉

直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是

（

A

）A.0.9

mB.1

mC.1.1

mD.1.2

m（第2题）A

[第3（1）题]

（2）（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提

出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的

生成过程，也体现了中国传统数学在数论