2026年考研数学一线性代数二次型与合同变换专项练习题

2026年考研数学一线性代数二次型与合同变换专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设矩阵A为三阶实对称矩阵，且满足A²-3A+2E=O，其中E为三阶单位矩阵。若矩阵A的特征值中有两个为1，则矩阵A与矩阵B=diag(1,1,-1)的合同性如何？A.A与B合同B.A与B不合同C.无法判断A与B是否合同D.A与B合同当且仅当A的特征值均为实数解析：根据矩阵A的特征多项式f(λ)=λ²-3λ+2=(λ-1)²(λ-2)，可知A的特征值为1,1,2。矩阵B的特征值为1,1,-1。两个矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。矩阵A的正惯性指数为2（特征值1,1为正），负惯性指数为0；矩阵B的正惯性指数为2，负惯性指数为1。由于正负惯性指数不同，故A与B不合同。正确答案为B。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃-4x₂x₃，则该二次型的正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数分别为多少？A.3,0,0B.2,1,0C.1,2,0D.0,3,0解析：二次型的矩阵表示为A=diag(1,2,3)+½[1,1,1;1,0,-2;1,-2,0]。通过配方法或特征值计算可得，A的特征值为4,2,0。正惯性指数为2，负惯性指数为0，零惯性指数为1。正确答案为B。3.若实对称矩阵A与B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则下列关系一定成立的是？A.λ₁+λ₂+λ₃=μ₁+μ₂+μ₃B.λ₁λ₂λ₃=μ₁μ₂μ₃C.λ₁²+λ₂²+λ₃²=μ₁²+μ₂²+μ₃²D.|λ₁|+|λ₂|+|λ₃|=|μ₁|+|μ₂|+|μ₃|解析：矩阵合同意味着它们的正负惯性指数相同，但特征值可以不同。选项A错误，因为特征值之和与合同无关；选项B错误，因为特征值乘积与合同无关；选项D错误，因为绝对值和与合同无关。选项C正确，因为合同变换保持矩阵的迹（即特征值平方和）。正确答案为C。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？A.a=1,b=1B.a=0,b=2C.a=-1,b=3D.a=2,b=0解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为B。5.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则下列结论一定正确的是？A.矩阵B的特征值也均为正数B.矩阵B的行列式大于零C.矩阵B的秩等于矩阵A的秩D.矩阵B的特征值之和大于零解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。选项A错误，因为B的特征值可能为负数；选项B错误，因为行列式可能小于零；选项C正确，因为合同变换保持秩；选项D错误，因为特征值之和可能为负数。正确答案为C。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a=0,b=2D.a=2,b=0解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为C。7.若实对称矩阵A与B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则下列关系一定成立的是？A.λ₁+λ₂+λ₃=μ₁+μ₂+μ₃B.λ₁λ₂λ₃=μ₁μ₂μ₃C.λ₁²+λ₂²+λ₃²=μ₁²+μ₂²+μ₃²D.|λ₁|+|λ₂|+|λ₃|=|μ₁|+|μ₂|+|μ₃|解析：矩阵合同意味着它们的正负惯性指数相同，但特征值可以不同。选项A错误，因为特征值之和与合同无关；选项B错误，因为特征值乘积与合同无关；选项D错误，因为绝对值和与合同无关。选项C正确，因为合同变换保持矩阵的迹（即特征值平方和）。正确答案为C。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？A.a=1,b=1B.a=0,b=2C.a=-1,b=3D.a=2,b=0解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为B。9.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则下列结论一定正确的是？A.矩阵B的特征值也均为正数B.矩阵B的行列式大于零C.矩阵B的秩等于矩阵A的秩D.矩阵B的特征值之和大于零解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。选项A错误，因为B的特征值可能为负数；选项B错误，因为行列式可能小于零；选项C正确，因为合同变换保持秩；选项D错误，因为特征值之和可能为负数。正确答案为C。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a=0,b=2D.a=2,b=0解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的秩______。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为相等。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a______，b______。参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。3.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的迹______。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。正确答案为相等。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a______，b______。参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。5.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的秩______矩阵A的秩。参考答案：等于解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为等于。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a______，b______。参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。7.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的行列式______。参考答案：不一定相等解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但行列式可以改变符号。正确答案为不一定相等。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a______，b______。参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。9.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的特征值______。参考答案：不一定均为正数解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。正确答案为不一定均为正数。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a______，b______。参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，将“√”或“×”填在题后的括号内。）1.若实对称矩阵A与矩阵B合同，则矩阵A与矩阵B的特征值相同。（×）解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以不同。正确答案为×。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值唯一确定。（√）解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。正确答案为√。3.若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵A与矩阵B的秩相等。（√）解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为√。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值唯一确定。（√）解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。正确答案为√。5.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的行列式大于零。（×）解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但行列式可以改变符号。正确答案为×。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值唯一确定。（√）解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。正确答案为√。7.若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵A与矩阵B的迹相等。（√）解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。正确答案为√。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值唯一确定。（√）解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。正确答案为√。9.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的特征值也均为正数。（×）解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。正确答案为×。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值唯一确定。（√）解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。正确答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。2.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的秩相等。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为相等。3.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。4.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的秩等于矩阵A的秩。参考答案：等于解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为等于。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。6.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的迹相等。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。正确答案为相等。7.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。8.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的特征值______。参考答案：不一定均为正数解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。正确答案为不一定均为正数。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。2.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的秩相等。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为相等。3.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。4.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的秩等于矩阵A的秩。参考答案：等于解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。正确答案为等于。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型的正惯性指数为2，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：正惯性指数为2意味着特征值中有两个为正。通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正确答案为a=0,b=2。6.若实对称矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，矩阵B的特征值为μ₁,μ₂,μ₃，则矩阵A与矩阵B的迹相等。参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。正确答案为相等。7.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+ax₂²+bx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，若该二次型通过正交变换可化为标准形f=y₁²+2y₂²，则a,b的取值范围是多少？参考答案：a=0,b=2解析：二次型的矩阵为A=diag(1,a,b)+½[2,2,2;2,0,2;2,2,0]。特征值为1,2,0，对应特征向量正交。通过行列式|λI-A|=0解得a=0,b=2。正确答案为a=0,b=2。8.若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵A的特征值均为正数，则矩阵B的特征值______。参考答案：不一定均为正数解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。正确答案为不一定均为正数。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.C4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.C二、填空题1.相等2.a=0,b=23.相等4.a=0,b=25.等于6.a=0,b=27.不一定相等8.a=0,b=29.不一定均为正数10.a=0,b=2三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.a=0,b=22.相等3.a=0,b=24.等于5.a=0,b=26.相等7.a=0,b=28.不一定均为正数五、应用题1.a=0,b=22.相等3.a=0,b=24.等于5.a=0,b=26.相等7.a=0,b=28.不一定均为正数【解析】一、单项选择题1.参考答案：B解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以不同。矩阵A的特征值为1,1,2，矩阵B的特征值为1,1,-1。正负惯性指数不同，故不合同。2.参考答案：B解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。3.参考答案：C解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。矩阵A的迹为1+a+b，矩阵B的迹为1+2+0=3。故a+b=2。4.参考答案：B解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。5.参考答案：C解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。矩阵A的秩为3，矩阵B的秩也为3。6.参考答案：C解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。7.参考答案：C解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。矩阵A的迹为1+a+b，矩阵B的迹为1+2+0=3。故a+b=2。8.参考答案：B解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。9.参考答案：C解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。矩阵A的秩为3，矩阵B的秩也为3。10.参考答案：C解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。二、填空题1.参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。2.参考答案：a=0,b=2解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。3.参考答案：相等解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。4.参考答案：a=0,b=2解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。5.参考答案：等于解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。6.参考答案：a=0,b=2解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。7.参考答案：不一定相等解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但行列式可以改变符号。8.参考答案：a=0,b=2解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。9.参考答案：不一定均为正数解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。10.参考答案：a=0,b=2解析：通过配方法或特征值计算可得，a=0,b=2时，特征值为1,2,0。正惯性指数为2。三、判断题1.参考答案：×解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以不同。2.参考答案：√解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。3.参考答案：√解析：合同变换保持矩阵的秩，因为合同变换是可逆线性变换。4.参考答案：√解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。5.参考答案：×解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但行列式可以改变符号。6.参考答案：√解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。7.参考答案：√解析：合同变换保持矩阵的迹，因为迹等于特征值之和。8.参考答案：√解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。9.参考答案：×解析：合同变换不改变矩阵的正负惯性指数，但特征值可以改变符号。10.参考答案：√解析：通过正交变换化为标准形，特征值唯一确定，因此a,b的取值唯一确定。四、简答题1.参考答案：a=0,b=