2027新高考数学复习53A版3-高考热点5　三角形中的“爪型”模型

高考热点5三角形中的“爪型”模型类型1“爪型”三角形——角平分线模型1.★★(2025届湖南长沙周南中学二模,5)已知△ABC的面积为63,A=60°,AB=3,∠B的平分线交边AC于点D,则S△ABDS△CBD的值为(A.3答案A2.★★(2026届广东八校联盟质量检测,6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosB=2acosA-bcosC,BC边上一点D满足BD=2DC,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为23,则b=(A.2B.2答案B3.★★★(多选)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,10)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,B=C+π2,AB=2,AC=3,D在线段BC上,且满足AD平分∠BAC.则()A.sinB=3C.BC=25答案ABD4.★★★(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=.

答案25.★★★★(2026届湖北襄阳四中综合测试,14)如图,在△ABC中,∠BAC=2π3,点E,F分别在边AB,AC上,线段AE和AF的长均不超过9,点P在线段EF上,且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是答案66.★★★★(2026届福建模拟检测(三),14)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=4,A=2π3,D为边BC上的一点,且AD是∠BAC的平分线,则1BD+答案27.★★★(2026届陕西榆林一模,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA-sinBsinC(1)求角B的值;(2)若△ABC的面积为3,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD长度的最大值.解析(1)由正弦定理asinA=bsinB得a-bc=a-ca+b,即a2+c2-b由余弦定理的推论得cosB=a2又0<B<π,所以B=π3(2)因为S△ABC=12ac·sin∠ABC=34ac=3因为BD为∠ABC的平分线,S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以43=(a+c)·BD,则BD=43a+c≤3,当且仅当a=c=2时,所以线段BD长度的最大值为3.类型2“爪型”三角形——中线模型1.★★★(2025届河北定州中学一模,7)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=26,ccos(A-B)+23asinBcosC=-ccosC,则AB边上的中线CD长度的最小值为()A.1答案C2.★★★(2025届江苏前黄高级中学第一次月考,13)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,若D是BC边的中点,且AD=12b,则ca=答案13.★★★(2025届河北沧州二模,15)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+3c(1)求角C的大小;(2)若AB=22,且sinAsinB=38,求AB边上中线CT的长解析(1)在△ABC中,由bsinC+3ccossinBsinC+3sinCcosB=3sinA=3sin(B+即sinBsinC=3sinBcosC,因为B∈(0,π),则sinB>0,故sinC=3cosC,可得tanC=3,故C=π3(2)由正弦定理可得asinA所以ab=sinAsinB·c2si在△ABC中,由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab=a2+b2-4,所以a2+b2=12,因为CT为AB边上的中线,所以CT=12(CB+CA),所以=14(CB=14(a2+b2+2abcosC=14(a2+b2+ab)=14×(12+4)=4,故|CT因此,AB边上的中线CT的长为2.类型3“爪型”三角形——高线模型1.★★(2025届浙江湖州县域联盟月考,7)在锐角△ABC中,AB=AC,M是AB的中点,CM=54,过点C作AB的垂线,垂足是H,CH=12,则AB=(A.106答案B2.★★(2025届山东平度二模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2-85ac,且AB边上的高等于32AB,则sinC=(A.6答案D3.★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,16)在△ABC中,角A,B,C满足sinC=3sinB+sin(A-B),且△ABC的外接圆的周长为4π.(1)求角A;(2)若AD为BC边上的高,且AD=32AB-1解析(1)在△ABC中,A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,因此由sinC=3sinB+sin(A-B)可得sin(A+B)=3sinB+sin(A-B),整理可得2cosAsinB=3sinB,又B∈(0,π),可知sinB≠0,所以cosA=32因为A∈(0,π),所以A=π6(2)由AD为BC边上的高可知D,B,C三点共线,设BD=因此可得AD=AB+BD=AB+λCB=AB+λ(AB-AC)=(记∠CAB,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c,又△ABC的外接圆的周长为4π,所以外接圆的半径为R=4π2π=2则a=2Rsin∠CAB=2,因此|BD|=12|CB|=