2027新高考数学复习53A版3-10.1　随机事件、古典概型、条件概率与全概率公式

第十章概率10.1随机事件、古典概型、条件概率与全概率公式考点1随机事件与古典概型五年高考1.★★(2023全国甲文,4,5分)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.1答案D2.★★(2022新高考Ⅰ,5,5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.1答案D3.★★★(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.1答案C4.★★(2022全国乙,文14,理13,5分)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.

答案35.★★(2022全国甲理,15,5分)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

答案66.★★★★(2024全国甲理,16,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于12的概率为答案77.★★★★(2024新课标Ⅰ,14,5分)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

答案1三年模拟1.★(2026届湖南长沙一中月考,3)从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取两个数字(不允许重复),则这两个数字的乘积是奇数的概率为()A.1答案A2.★(2026届广东中山纪念中学月考,3)设A,B是一个随机试验中的两个事件,P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.2,则P(A∪B)=()A.0.8B.0.7C.0.6D.0.5答案D3.★★(2025届重庆康德教育调研,6)某池塘中饲养了A,B两种不同品种的观赏鱼,假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位:尾),若在采样点北捕捞到20尾鱼,则品种A约有()采样点品种A品种B东209南73西178A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾答案C4.★★(2026届湖北武汉江汉新起点摸底,5)高三(1)班班主任从4名男同学和2名女同学中随机选出3人去参加志愿服务活动,则选出的3人中至少有2名男生的概率为()A.1答案C5.★★★(2026届山东潍坊联考,6)已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏,规则为:每局中两人出法相互独立,且出石头、剪刀、布的概率均为13,若两人出法不同则直接定胜负(石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头),若出法相同则重新开局.记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A,则P(A)=()A.5答案A6.★★★(2025届安徽江南十校检测,7)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛,现采用抽签法决定决赛跳水顺序,在“运动员甲不是第一个出场,运动员乙不是最后一个出场”的前提下,“运动员丙第一个出场”的概率为()A.3答案A7.★★★(2026届浙江浙东北县域名校发展联盟诊断,7)一副扑克牌共有13张红桃牌,其中J,Q,K称为花牌,其他的称为数字牌,现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排,则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为()A.1答案C8.★★★(2025届山东省实验中学二模,6)在甲、乙、丙、丁4个人中选若干人在3天假期中值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班两天,其中甲恰有一天值班的概率为()A.1答案C9.★★★(2025届河南郑州二模,6)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为()A.2答案A10.★★★(2025届江西宜春二模,6)将编号为1,2,3,4,5的5个球放到3个不同的盒子中,每个球只能放到1个盒子中,每个盒子至少放入1个球,则编号为1,2,3的球所放盒子各不相同的概率为()A.5答案C11.★★★(2026届山东潍坊诸城一中月考,14)已知一个正整数n,若能找到正整数a,b,使得n=a+b+ab,则称n为一个“好数”.现在从1到20这20个正整数中任取一个数,取到“好数”的概率为.

答案312.★★★★(2026届四川南充月考(二),14)甲、乙、丙、丁四人打循环赛,每两人之间都有一场比赛.已知乙、丙、丁三人胜率完全相同,而甲水平较高,面对三人时的胜率均为23,每场比赛胜者得一分,败者得零分,总分最高或同为最高者并列冠军.则甲拿到冠军的概率是答案1713.★★★(2026届浙江学军中学练习,16)已知A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组11121314151617B组131416171815a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=12,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)写出a为何值时,A,B两组病人康复时间方差相等.(结论不要求证明)解析(1)设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,i=1,2,…,7.由题意,得P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A4∪A5∪A6∪A7)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)=47(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意,得C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6∪A3B7∪A4B7∪A5B7∪A6B7∪A7B7,因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)+P(A3B7)+P(A4B7)+P(A5B7)+P(A6B7)+P(A7B7)=15P(A4B1)=15P(A4)P(B1)=1549(3)当a=12或19时,A,B两组病人康复时间方差相等.理由:A组数据从小到大排列后,是公差为1的等差数列,B组数据除a外,排序后也是公差为1的等差数列,由D(X)=D(X+b)可知,B组数据加入a后仍为等差数列,故a=12或19.14.★★★★(2026届湖北荆州监利联考,18)甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛.经约定,进行如下4场比赛决定胜负关系:①乙、丙两名同学进行本场比赛,败者落入败者组;②甲与第①场比赛胜者比赛,败者落入败者组;③败者组两人进行比赛,败者记为第三名;④第②,③场比赛胜者进行比赛,胜者记为第一名,败者记为第二名.设每场比赛双方获胜的概率均为12(1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率;(2)求甲最终获胜的概率;(3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析,该比赛规则是否对甲有利.解析在全局比赛中,由于每场比赛双方获胜的概率均为12,则乙与丙处于对称的位置,二者在全局比赛中任意位置的概率均相等(1)记事件A:甲在败者组比赛中被淘汰,事件B:乙或丙在败者组比赛中被淘汰.考虑事件A发生的概率,甲需要在②,③两场比赛中连续失败,故P(A)=12×1由于事件A与事件B互为对立事件,且乙与丙的位置对称,所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为P=P(B)2(2)甲最终获胜有如下两种情况:第一种:第②,④场比赛甲全胜,此时概率为12×1第二种:第②场比赛甲失败,第③,④场比赛甲胜利,此时概率为12×12×故甲最终获胜的概率为14(3)设甲获得的最终名次为X,则X的可能取值为1,2,3,由(2)有P(X=1)=38由(1)有P(X=3)=14故P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=38所以E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=158设乙或丙获得的最终名次为Y,Y的可能取值为1,2,3,由于乙与丙的位置对称,故E(Y)=1×1−P(X=1)2+2×1−P(X=2)2+3×因为3016<3316,【易错:名次越小,成绩越好】所以甲最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前考点2事件的相互独立性五年高考1.★★★(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B2.★★★(2022全国乙理,10,5分)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大答案D3.★★★★★(创新知识交汇)(2025全国二卷,19,17分)甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p12<p<1,乙胜的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立.对正整数k≥2,记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率,qk为打完k个球后乙比甲至少多得2(1)求p3,p4(用p表示);(2)若p4−p3q(3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.解析(1)由已知可知p3表示打完3个球后甲比乙至少多得2分的概率.①若甲、乙两人打完3个球后,甲胜3局,此时甲得3分,乙得0分,甲比乙多得3分,符合题意,由于各局相互独立,故甲胜3局的概率为p3;②若甲、乙两人打完3个球后,甲胜2局、1局或0局,均不符合题意,由此可知:p3=p3.由已知可知p4表示打完4个球后甲比乙至少多得2分的概率,则若4局比赛甲胜4局,此时甲比乙多得4分;若4局比赛甲胜3局,输1局,则甲比乙多得2分,亦符合题意,其余甲胜2局、1局、0局,均不符合.∴p4=p4+C43p3(1-p)=4p3-3p综上可知:p3=p3,p4=4p3-3p4.(2)p4-p3=4p3-3p4-p3=3p3(1-p)=3p3q,同理,q4-q3=3q3p,∴p4−p3q4−q3又∵p,q∈(0,1),∴p=2q且p+q=1,∴p=23(3)证明:不妨令Xn表示n局以后甲的得分,则乙的得分为n-Xn,则Xn~B(n,p).∴pn=P(Xn-(n-Xn)≥2)=P(2Xn-n≥2)=PXn∴p2m+1=PX2m+1≥1+2m+12=P(X2m+1≥m+2)=P(X2m+1≥m+2|X2m≥m+2)·P(X2m≥m+2)+P(X2m+1≥m+2|X2m=m+1)·P(X2m=P(X2m≥m+2)+P(X2m=m+1)p=P(X2m≥m+2)+P(X2m=m+1)-P(X2m=m+1)q=P(X2m≥m+1)-P(X2m=m+1)q=p2m-C2mm+1pm+1q同理,q2m+1=q2m-C2mm+1qm+1p故p2m+1-q2m+1=p2m-q2m+C2mm+1qm+1=p2m-q2m+C2mm+1(pq)m(q-p)<p2m-q2p2m+2=P(X2m+2≥m+2)=P(X2m≥m+2)+P(X2m=m)p2+P(X2m=m+1)[1-(1-p)2]=P(X2m≥m+1)+p2C2mmpmqm=p2m+p2C2mmpmqm−q2m+2=q2m+q2C2mmpmqm−故p2m+2-q2m+2=p2m-q2m+(p2-q2)C2mmpmqm>p2m-q2综上,原不等式得证.三年模拟1.★★(2026届重庆巴蜀中学开学考,5)已知事件A和事件B相互独立,B为事件B的对立事件.若P(A)=P(B)=0.4,则P(A+B)=()A.0.24B.0.56C.0.76D.0.84答案C2.★★(2026届安徽池州调研,5)甲、乙两人投篮的命中率分别为23和12,且他们投篮互不影响,若两人分别投篮一次,则至少有一人投中的概率为A.1答案D3.★★★(2026届山东省实验中学二诊,4)如图,某电子元件由A,B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,B,C三种部件能正常工作的概率分别为45,34,23,各个部件是否正常工作相互独立,则该电子元件能正常工作的概率为(A.19答案D4.★★★(2026届福建模拟检测,7)如图,甲、乙做游戏,两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格,并规定从0格出发,每次赢的一方往右前进一格,输的一方原地不动,平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次,那么他将额外获得往右前进一格的奖励(除非已经到达第3格),当有任何一方到达第3格时游戏结束,则游戏结束时恰好划拳3次的概率为()A.13答案A5.★★★(多选)(2026届湖北襄阳四中质量检测(三),9)下列说法正确的是()A.已知事件A,B,若P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B⊆A,则P(A∪B)=0.5B.已知事件A,B,若P(A)=13,P(B)=14,且A与B相互独立,则P(A∪B)C.已知事件A,B,若P(A)=13,P(B)=14,且P(A∪B)=12,则AD.某班对学生体重进行抽样调查,抽取男生30人,平均数和方差分别为55,15;女生20人,平均数和方差分别为45,20,则总样本方差为41答案ACD6.★★★(多选)(2025届河北石家庄期末,10)设A,B是两个随机事件,且P(A)=12,P(B)=13,则下列结论正确的是(A.若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=5B.若B⊆A,则P(A∪B)=5C.若A,B是相互独立事件,则P(A∪B)=2D.若P(AB)=13,则A,B答案ACD7.★★★(多选)(2026届湖南部分学校大联考,10)下列说法正确的是()A.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别为13,14,B.一箱12罐的饮料中有2罐有奖券,从中任意抽取2罐,这2罐中有奖券的概率为11C.一个袋子中有4个红球,n个绿球,不放回地从中随机取出两个球,若取出的两球都是红球的概率为16,则nD.甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,相比3局2胜制,5局3胜制对甲更有利答案ACD8.★★★(2026届云南师大附中适应性月考(三),13)某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择,高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣.若甲加入理科学社的概率为0.7,加入十三月音乐社的概率为0.3,两个都加入的概率为0.21,则甲只加入其中一个社团的概率为.

答案0.589.★★★(2026届广东清远教学质量检测,14)甲、乙两人进行象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分.设每局甲胜的概率为23,乙胜的概率为13,且各局胜负相互独立,五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为.(结果用数字作答答案11210.★★★(2026届河南郑州外国语学校调研,18)为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两个阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是23;第二阶段,若选手甲进入高分组,每个问题答对的概率都是14,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率;(2)求选手甲在该次比赛得分为40分的概率;(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分为X,求随机变量X的分布列和期望值.解析(1)选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答三个问题答对其中2个或3个,其概率为p1=C3(2)选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题,故概率为p2=C3(3)由题意可知,X的所有可能取值为0,20,40,60,80,则P(X=0)=C4P(X=20)=C4P(X=40)=C4P(X=60)=C4P(X=80)=C4所以X的分布列为X020406080P8110854121所以E(X)=0×81256+20×108256+40×54256+60×12256+80考点3条件概率与全概率公式五年高考1.★★★(2023全国甲理,6,5分)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案A2.★★★(2023天津,13,5分)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为;若把所有球放在一起,然后随机摸出一球,则该球是白球的概率为.

答案120;3.★★★★(2022新高考Ⅰ,20,12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(B|A)与(i)证明:R=P(A|B)P((ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.附:K2=n(ad−bc)P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)由题中数据可知K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以有99(2)(i)证明:因为R=P(B|A)P(【注意P(B|A)=P(AB)P(A)且P(A|B)P(所以R=P(A|B)P((ii)由题表中数据可知P(A|B)=40100=25,P(A|B)=10100=110,P(A|B)=60所以R=P(A|B)P(A|B)·三年模拟1.★★(2026届江苏南京七校联合调研,4)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张,记事件A:“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”,事件B:“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”,则P(B|A)=()A.5答案A2.★★(2026届广东深圳宝安教学质量监测,5)近期某市推进“光储充一体化”充电站建设,现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩,B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩.为优化资源配置,系统随机从A站调度1个充电桩至B站,随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试.记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B,则P(B)=()A.6答案D3.★★★(2026届江西“红色十校”联考,6)某百货商场为促销举办抽奖活动,设有两种奖券:甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4,每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5,每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券,再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次,且其中有1张甲奖券中奖,则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为()A.0.12B.0.2C.0.25D.0.32答案C4.★★★(2026届重庆十一中第二次质量检测,6)袋子中放有大小、形状相同的5个小球,其中标号为“0”的小球1个,标号为“1”的小球2个,标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球,已知其中一个小球的标号是“1”的条件下,另一个小球标号也是“1”的概率为()A.1答案B5.★★★(2025届广东湛江期中,7)已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的BRT(快速公交车),若A准点到站的概率为13,在B准点到站的前提下A准点到站的概率为34,在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为716,则B准点到站的概率为(A.516C.3答案B6.★★★(2025届河北保定定州中学二模,6)已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有n个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个球,记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Ai(i=0,1,2),“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B,则P(A2|B)是()A.与n有关的常量B.与n有关的变量C.与n无关的定值,且为1D.与n无关的定值,且为1答案C7.★★(多选)(2026届四川成都七中期中,9)设A,B为两个相互独立事件,且P(A|B)=16,P(B)=12,下列命题中,正确的是(A.P(A|B)=56B.P(B|A)=C.P(AB)=112D.P(A∪B)=答案BCD8.★★★(2026届广东深圳福田红岭中学第二次统考,13)抛掷2颗骰子,观察掷得的点数,记事件M为“2个骰子的点数不相同”,事件N为“点数之和大于8”,则在事件M发生的条件下,事件N发生的概率是.

答案49.★★★(2025届湖南部分学校联考,15)某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶,且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.(1)若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2,小张到该批发地任意购买一盒红茶,求他买到的红茶是优质品的概率;(2)若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶,求他恰好买到两盒优质红茶的概率.解析(1)