2027年高考数学一轮复习(创新设计)第9节　对数与对数函数

第9节对数与对数函数课标要求1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质①alogaN＝N;②logaab＝b(a>0,(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)＝logaM＋logaN;②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式:logab＝logcblogca(a>0,且a≠1,b>0,3.对数函数的概念、图象与性质(1)概念:函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,＋∞)值域:R当x＝1时,y＝0,即过定点(1,0)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba(a>0,且a≠1;b>0,(2)logambn＝nmlogab(a>0,且a≠1;b>0;且2.对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),1a3.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(2)函数y＝ln1＋x1−x与y＝ln(1＋x)－ln(1(3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.()(4)函数y＝log2x与y＝log1答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)形如y＝logax(a>0,且a≠1)为对数函数,故(1)错误.(3)若0<b<1<a,则当x>1时,logax>logbx,故(3)错误.2.(北师大必修一P105例4(1)改编)计算:log4259＋log23－log0.515＝答案0解析原式＝log4259＋log49－log4＝log4259×93.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1),则m的取值范围是.

答案(1,＋∞)解析因为y＝log0.7x的定义域为(0,＋∞),且是减函数,故2m>m－1>0,解得m>1.4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26,b＝log0.36,c＝log0.46,则a,b,c的大小关系为.

答案a>b>c解析法一如图,作出函数y1＝log0.2x,y2＝log0.3x,y3＝log0.4x的图象,由图可知,当x＝6时,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.法二易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以1log60.4<即log0.46<log0.36<log0.26,即a>b>c.考点一对数的运算例1(1)(多选)下列运算中正确的是()A.log37B.8C.x＝lnexD.12(2)(多选)(2026·焦作模拟)下列等式成立的是()A.lg2＋lg5−lg8lg50−lg40B.lg4＋lg5−12lg0.5＋lg8C.lg14－2lg73＋lg7－D.(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝2答案(1)BCD(2)AC解析(1)对于A,log37log35＝log对于B,827−13＝对于C,x＝lnex,故C正确;对于D,12−log26＋ln(lne)＝2log2(2)lg2＋lg5−lg8lg50−lg40＝lg108lg4＋lg5−12lg0.5＋lg8＝lg20−1lg0.25＋lg8＝lg14－2lg73＋lg7－lg18＝(lg7＋lg2)－(2lg7－2lg3)＋lg7－(2lg3＋lg2)＝0,C成立(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1,D不成立.感悟提升1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.训练1(1)log932×log6427＋log92×log427＝()A.94 C.138 D.(2)已知log189＝a,18b＝5,则log4581＝()A.－aa＋bC.2aa＋答案(1)C(2)C解析(1)log932×log6427＋log92×log427＝lg32lg9×lg27lg64＝lg25lg3＝5lg22lg3×3lg36lg2＝54(2)由log189＝a,18b＝5,得a＝log189,b＝log185,所以log4581＝log考点二对数函数的图象及应用例2(1)(2026·重庆模拟)已知lga＋lgb＝0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),在同一平面直角坐标系中,函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是()(2)若方程4x＝logax在0,12上有解,则实数a的取值范围为答案(1)B(2)0解析(1)由lga＋lgb＝0可知1a＝b故f(x)＝a－x＝bx,故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同,故选B.(2)若方程4x＝logax在0,12上有解,则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在由图象知0<a<1,loga感悟提升对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.训练2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1(2)已知函数f(x)＝|log3x|,若a<b,且f(a)＝f(b),则a＋4b的取值范围是()A.[22,＋∞) B.(22,＋∞)C.[5,＋∞) D.(5,＋∞)答案(1)A(2)D解析(1)由函数图象可知f(x)为增函数,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知－1<logab<0,解得1a<b综上,0<a−1<(2)画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示,因为a<b,且f(a)＝f(b),所以－log3a＝log3b,故1a＝b,且0<a<1令y＝a＋4b,所以y＝a＋4a由对勾函数的性质可知y＝a＋4a在(0,1)上单调递减,故y＝a＋4a>1＋4故a＋4b的取值范围是(5,＋∞).考点三对数函数的性质及应用角度1比较大小例3(1)(2026·西安模拟)若a＝lg0.2,b＝log32,c＝log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是()A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>c(2)(2025·天津二模)设a＝log43,b＝log86,c＝log62,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<b答案(1)A(2)D解析(1)∵a＝lg0.2<lg1＝0,b＝log32>0,c＝log64>0,bc＝log∴b<c,即c>b>a.(2)因为log43＝log4333＝log64log86＝log8262＝log64所以log648<log6427<log6436,即12<a<b又log62<log66＝所以c<a<b,故选D.角度2解对数方程或不等式例4已知函数f(x)＝12x,x≥1,logA.(－∞,0] B.(－1,0]C.(－1,0]∪[1,＋∞) D.[1,＋∞)答案C解析作出函数y＝f(x)与y＝12x的图象如图,当x≥1时,12x≤1由图象可知,此时解得x∈[1,＋∞);当－1<x<1时,函数y＝log4(x＋1)与y＝12x的交点坐标为(0,0),1,12,结合图象知此时x∈(所以不等式f(x)≤12x的解集为(－1,0]∪[1,＋∞角度3对数函数性质的综合应用例5(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x＝2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称答案BC解析函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4),当x＝2时,4x－x2取到最大值4,故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误;f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确;因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确;因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误.感悟提升利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清楚三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.训练3(1)(2026·宜昌调研)已知a＝log32,b＝log23,c＝21A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c(2)(多选)(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ln2−x2＋A.f(x)是奇函数B.f(x)≥0C.f(x)在(－2,2)上单调递减D.f(x)在(2,＋∞)上单调递增(3)已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a,＋∞),则a＝.

答案(1)C(2)ACD(3)4解析(1)由a＝log32<log33＝1,b＝log23＝log23log22c＝213>20＝1,c＝213所以满足b>c>a,故选C.(2)要使得函数f(x)有意义,则2−x2＋解得x≠2且x≠－2,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(－x)＋f(x)＝ln2＋x2−＝ln1＝0,从而f(x)是奇函数,A正确;f(1)＝ln2−12＋1<ln1＝0,B错误当x∈(－2,2)时,f(x)＝ln2−x2＋x＝ln2−x2＋x＝ln(2－xy＝ln(2－x)在(－2,2)上单调递减,y＝ln(2＋x)在(－2,2)上单调递增,所以f(x)在(－2,2)上单调递减,C正确;当x∈(2,＋∞)时,f(x)＝ln2−x2＋x＝lnxy＝1－4x＋2在(2,＋∞)上单调递增,y＝lnx在(0,＋∞)所以f(x)在(2,＋∞)上单调递增,D正确.(3)由x2－2x－8>0,得x>4或x<－2,所以f(x)的定义域为{x|x>4,或x<－2}.又u＝x2－2x－8在(4,＋∞)上单调递增,在(－∞,－2)上单调递减,而y＝lgu在定义域上单调递增,所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4,＋∞),故a＝4.一、单选题1.若xlog32＝1,则2x＝()A.2 B.3C.12 D.答案B解析由xlog32＝1,得x＝1log32所以2x＝3.故选B.2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)＝1,则f(x)＝()A.log2x B.1C.log12x D.2x答案A解析函数y＝ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)＝logax,又f(2)＝loga2＝1,所以a＝2,所以f(x)＝log2x.故选A.3.已知ab≠1,logam＝2,logbm＝3,则logabm等于()A.16 B.C.56 D.答案D解析由换底公式得logma＝1lologmb＝1logbm＝1所以logabm＝1lo4.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝logax在(0,＋∞)上单调递增,且f(8)＝1f(4)－5A.4 B.16C.32 D.64答案D解析因为函数f(x)＝logax在(0,＋∞)上单调递增,所以a>1,由已知得loga8＝1lo整理得6(loga2)2＋5loga2－1＝0,解得loga2＝－1或loga2＝16,得a＝12(舍去)或a＝26＝64,5.函数y＝log12(|x|答案D解析令f(x)＝log12(|x|－1),由|x|－1>0,得|x|>1,得x>1或x<－所以f(x)的定义域为(－∞,－1)∪(1,＋∞),故可以排除AB选项,令x＝4,得f(4)＝log12(|4|－1)＝log123<0,故C错误6.(2026·沧州模拟)已知a>0,且f(x)＝ln1＋ax1−3xA.f12a>f13a>0 B.f1C.f12a>0>f13a D.f答案A解析因为f(x)的定义域为−1a,13,f(x)为奇函数则f(x)＝ln1＋3x1−3x由于y＝1－3x−13则21−3x因此f(x)为增函数.因为a＝3>0,所以0<2a<3a,所以0<13a<故f12a>f137.设a＝log0.20.3,b＝log23,c＝log34,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.b>c>a答案D解析因为32>23,所以log232>log223,即2log23>3,所以b＝log23>32,因为42<33所以log342<log333＝3,即2log34<3,所以c＝log34<32,同时c＝log34>1所以1<c<32,而a＝log0.20.3<1所以b>32>c>1>a二、多选题8.以下运算中正确的有()A.若lg3＝m,lg2＝n,则log518＝2B.若xlog31C.13−2－2ln(lneD.log23·log94＝2答案AC解析对于A,log518＝lg18lg5＝lg2＋lg91−lg2＝对于B,因为log319＝log33－2＝－2,则x－2＝14,即x＝±2,故B对于C,13−2－2ln(lnee)＝9－2lne＝9－2＝7,故C对于D,log23·log94＝log23·log24log29＝log23·9.已知函数f(x)＝−x2−4x,x≤0,|log2x,x>0,若x1<x2<x3<x4,且f(x1A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2答案AB解析函数f(x)＝−x2设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,则0<t<4,则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4.对于A,函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称,则x1＋x2＝－4,故A正确;对于B,由图象可知|log2x3|＝|log2x4|,且0<x3<1<x4,所以－log2x3＝log2x4,即log2(x3x4)＝0,所以x3x4＝1,故B正确;对于C,由图象可知log2x4∈(0,4),则1<x4<16,故C错误;对于D,由图象可知－4<x1<－2,当x≤0时,f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4,所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x12－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0,4),故D三、填空题10.函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是.

答案(1,0)解析令2x－1＝1,解得x＝1,此时f(1)＝loga1＝0,所以函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是(1,0).11.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为.答案－1解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x当log2x＝－12,即x＝22所以函数f(x)的最小值为－1412.已知函数y＝f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(－x)＝－f(x),则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是.

答案(2,5解析因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立,所以m－2>0,即m>2,由局部奇函数的定义,存在x∈[－2,2],使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m),即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0,所以存在x∈[－2,2],使得m2－x2＝1,即m2＝x2＋1,又因为x∈[－2,2],所以x2＋1∈[1,5],所以m2∈[1,5],即m∈[－5,－1]∪[1,5综上,m的取值范围是(2,5四、解答题13.