2027年高考数学一轮复习(创新设计)第8节　指数与指数函数

第8节指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.1.根式(1)概念:式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a(2)性质:①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0,记作n0③(na)n＝a(n∈N*,且n④nan＝a(⑤nan＝|a|＝a,2.有理数指数幂规定:正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a−mn＝1nam0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.3.实数指数幂的运算性质aras＝ar＋s;(ar)s＝ars;(ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.4.指数函数的概念、图象与性质(1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0,＋∞)性质过定点(0,1),即x＝0时,y＝1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1在(－∞,＋∞)上是增函数在(－∞,＋∞)上是减函数y＝ax与y＝1ax的图象关于1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),−1,2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.如图所示是指数函数(1)y＝ax,(2)y＝bx,(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x－1是指数函数.()(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0,(3)2－3>2－4.()(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a>0,且a≠1),故y＝2x－1不是指数函数,(1)错误.(2)由于x2＋1≥1,又a>1,∴ax2＋1故y＝ax2＋1(a>1)的值域是[a,＋∞),(4)m与n的大小关系与a的取值有关,(4)错误.2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y＝ax(a>0,a≠1)在区间[－1,1]上的最小值为12,则实数aA.2 B.2C.32 D.答案AD解析当a>1时,y＝ax在[－1,1]上单调递增,此时f(x)min＝f(－1)＝a－1＝12,解得a＝2当0<a<1时,y＝ax在[－1,1]上单调递减,此时f(x)min＝f(1)＝a＝12所以实数a的值为2或12,故选3.(人教B必修二P13练习AT2改编)已知a＝0.750.1,b＝1.012.7,c＝1.013.5,则()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b答案C解析因为函数y＝1.01x在(－∞,＋∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.4.(人教A必修一P110T8改编)已知a12＋a−12＝3,则a＋a－1＝;a2＋答案747解析由a12＋a−12＝3,得即a＋a－1＝7,则a2＋a－2＋2＝49,即a2＋a－2＝47.考点一指数幂的运算例1化简:(1)a43−8a1(2)(0.0081)−14－3×78解(1)原式＝a13(a＝a1a13a13−2b13(2)原式＝3104−14－(3×1)－1×3−1＝310−1－13×＝103－感悟提升1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加.(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.训练1(1)(多选)实数a满足a＋a－1＝4,下列结论中正确的是()A.a2＋a－2＝14 B.a－a－1＝23C.a12＋a(2)8116−14＋823(−3)2－2×(6－2)答案(1)AC(2)1解析(1)∵a＋a－1＝4,∴(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16,∴a2＋a－2＝14,故A正确;∵(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4＝42－4＝12,∴a－a－1＝±23,故B错误;∵(a12＋a−12)2＝∴a12＋a−∵a32＋a−32＝(a12)3＋(a−12)3＝(∴a32＋a−32a12＋a−(2)8116−14＋823(−3)2－2×＝324−14＋＝23＋43－＝1.考点二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知a>0,则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是()(2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是.

答案(1)AD(2)0解析(1)当x＝1时,f(1)＝a－2a＝－a<0,排除B,C;当a＝2时,f(x)＝2x－4,此时函数对应的图象可能为A;当a＝12时,f(x)＝12x－1,此时函数对应的图象可能为(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<12综上可知,a的取值范围是0,感悟提升1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.训练2(1)函数f(x)＝18(2)(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为()A.a＝b B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b答案(1)B(2)ABC解析(1)由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥－2时,f(x)＝18因为0<18<1,所以f(x)在[－2,＋∞)上单调递减,排除A.故选(2)由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示,由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故A正确;作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0<b<a,故B正确;作出直线y＝m,当0<m<1时,若3a＝6b＝m,则a<b<0,故C正确;当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b＝6b,故D错误.考点三指数函数的性质及应用角度1比较大小例3(1)若a＝1.010.5,b＝1.010.6,c＝0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c(2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6,b＝43−0.4,c＝3A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.b<c<a答案(1)D(2)D解析(1)法一因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)＝0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60＝1,即c<1.综上,b>a>c.故选D.法二因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)＝x0.5在(0,＋∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D.(2)a＝1.30.6>1.30＝1,b＝43−0.4＝34因为指数函数y＝34x所以340.4<340.3所以b<c<1,所以b<c<a.角度2解指数方程或不等式例4不等式22x－3>127的解集是答案(－2,＋∞)解析由题意知,22x－3>127＝2－由指数函数y＝2x在R上单调递增,得2x－3>－7,解得x>－2,即原不等式的解集为(－2,＋∞).角度3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝8x＋a·2xa·4x(a为常数,且a≠0,a∈(1)求a的值;(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)＝1a×2x＋1因为f(x)是奇函数,所以f(－x)＝－f(x),所以1a×12x＋2x＝所以1a＋1即1a＋1＝0,解得a＝－(2)因为f(x)＝12x－2x,x∈[1,所以122x－22x≥所以m≥12x＋2x,x∈[1,令t＝2x,t∈[2,4],由于y＝t＋1t在[2,4]上单调递增所以m≥4＋14即实数m的取值范围是174感悟提升1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小.2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.训练3(1)已知实数a,b,c满足a＝1253,be＝12A.b<a<c B.a<b<cC.c<a<b D.c<b<a(2)(多选)(2026·青岛模拟)设函数f(x)＝3x−3−x2,gA.函数y＝f(x)·g(x)为奇函数B.f(2x)＝2f(x)·g(x)C.函数y＝f(x)g(D.函数y＝g((3)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2x＋1)>f(4)的解集为.

答案(1)B(2)ABC(3)−∞,解析(1)由y＝12x在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x在(0,＋∞)可知120＝1>b＝121ec＝log1213＝log2所以c>1>b>a.(2)y＝f(x)·g(x)＝32x−3−2令h(x)＝32h(－x)＝3−2x−32x4所以y＝f(x)·g(x)是奇函数,A正确;f(2x)＝322f(x)·g(x)＝2·3x−＝32所以f(2x)＝2f(x)g(x),B正确;y＝f(x)g其值域为(－1,1),C正确;y＝g(x)f(x)＝3x＋由函数单调性的性质知D错误.(3)由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R,且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x),所以f(x)＝2|x|为偶函数,当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,且在[0,＋∞)上单调递增,根据偶函数的性质,不等式f(2x＋1)>f(4),即为f(|2x＋1|)>f(4),可得|2x＋1|>4,所以2x＋1<－4或2x＋1>4,解得x<－52或x>3所以f(2x＋1)>f(4)的解集为−∞,−一、单选题1.若指数函数f(x)满足f(2)＝81,则f−1A.±13 C.13 答案C解析设f(x)＝ax(a>0且a≠1),因为f(2)＝a2＝81,又a>0,所以a＝9,从而f(x)＝9x,f−12.下列结论中正确的是()A.若a>0,则a43·aB.若m8＝2,则m＝±8C.若a＋a－1＝3,则a12D.4(2−π)4＝2答案B解析对于A,根据分数指数幂的运算法则,可得a43·当a＝1时,a2512＝当a≠1时,a2512≠a,故A对于B,m8＝2,故m＝±82,故B正确对于C,a＋a−1＝3,则a12＋a−1因为a>0,所以a12＋a−对于D,4(2−π)4＝|2－π|＝π－2,故D3.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析y＝ax(a>1)是增函数,经过点(0,1),因为a>1,所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到,所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限.4.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a答案B解析依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b.5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝exex＋1－A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减答案B解析f(x)的定义域为R,f(x)＝ex则f(－x)＝e−x−12(e−x＋1)＝－故f(x)是奇函数.由于f(x)＝exex＋1－12＝故f(x)在R上单调递增.故选B.6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞,0]满足x2－3x＋a<0(a∈R),则a的取值范围是()A.(－∞,1) B.(1,＋∞)C.(－∞,－1) D.(－1,＋∞)答案A解析因为存在x∈(－∞,0],满足x2－3x＋a<0(a∈R),即存在x∈(－∞,0],满足a<－x2＋3x,亦即a<(－x2＋3x)max.令f(x)＝－x2＋3x,x∈(－∞,0],因为y＝－x2与y＝3x在(－∞,0]上均单调递增,所以f(x)在(－∞,0]上单调递增,所以f(x)max＝f(0)＝1,所以a<1,即a的取值范围是(－∞,1).故选A.7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x答案B解析设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝13,z＝5－3＝1此时x>y>z,A有可能;令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能;令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,此时y>z>x,D有可能.故选B.二、多选题8.下列化简中正确的有()A.(a16)－1·(a－B.(xa−1y)a·(4y－aC.[(1－2)2]12－(1＋2)－1＋(1＋2)0＝3－D.2a3b23·(－5a23b13答案ABD解析对于A,(a16)－1·(a－2)−对于B,(xa−1y)a·(4y－a)＝4x1a×a·ya－a＝4xy对于C,[(1－2)2]12－(1＋2)－1＋(1＋2)0＝(2－1)2×12－11＋2＋1＝2对于D,2a3b23·(－5a23b[2×(－5)÷4]a3＋23−43b29.下列是真命题的是()A.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,3)B.函数f(x)＝21sinC.函数f(x)＝12D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝1答案AC解析对于A,令x－1＝0,则x＝1,当x＝1时,f(1)＝a0＋2＝3,所以函数恒过定点(1,3),故A正确;对于B,因为f(x)的定义域为x|x≠则sinx∈[－1,0)∪(0,1],则1sinx∈(－∞,－1]∪[1,＋∞令t＝1sinx,则t∈(－∞,－1]∪[1,＋∞则y＝2t∈0,12∪[2,＋即函数f(x)＝21sinx的值域是0,12∪[2,对于C,因为函数f(x)＝12x＋1关于原点对称,且f(－x)＝12则f(－x)＋f(x)＝0,所以函数f(x)＝12x＋1－12对于D,函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝12,故D错误三、填空题10.化简a3b23ab2(a答案a解析a＝a32＋16−1＋111.已知0≤x≤2,则函数y＝4x−12－3×2x答案5解析设2x＝t,0≤x≤2,则1≤t≤4,y＝4x−12－3×2x＋5＝12t＝12(t－3)2＋1故当t＝1,即x＝0时,函数有最大值5212.已知a>0且a≠1,函数f(x)＝a若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大52,则a的值为.答案12或解析①当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减.∵f(0)＝a0＝1>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)＝1,∵f(2)＝－2＋a<a＝f(1),∴函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,∴－2＋a＋52＝1,解得a＝12∈(0,1),②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.∵f(1)＝a>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)＝a.f(2)＝－2＋a,f(0)＝a0＝1,当a∈(1,3)时,－2＋a<1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,因此有－2＋a＋52＝a,无解当a∈[3,＋∞