2027年高考数学一轮复习(创新设计)第7节　抛物线

第7节抛物线课标要求1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FpF−F0，F0，−离心率e＝1准线方程x＝－px＝py＝－py＝p范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径x0＋pp2－xy0＋pp2－y焦点弦长x1＋x2＋pp－x1－x2y1＋y2＋pp－y1－y21.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.注意辨析p2，p，2p的几何意义及联系3.特别注意，不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)y2＝2px(p>0)中p越大，抛物线的开口越大.()(3)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形.()(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.2.(苏教选修一P116练习T2原题)抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A.12，0 C.0，12 答案D解析抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y所以焦点在y轴，由2p＝12，所以焦点坐标为0，3.(人教A选修一P134例3改编)(多选)顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－22)的抛物线方程为()A.x2＝－2y B.y2＝－2xC.y2＝4x D.x2＝4y答案AC解析当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，∴(－22)2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x.当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，∴22＝－2p×(－22)，解得p＝22，∴x2＝－2y4.(人教B选修一P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为.

答案35解析设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝y＋又因为y≤0，所以y＝－12时，|PA|因此所求最小值为352考点一抛物线的定义和标准方程例1(1)设圆O:x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离与到l的距离相等，则动点P的轨迹方程为()A.x2＝8y B.x2＝16yC.y2＝8x D.y2＝16x(2)(2026·南京模拟)在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞机库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系xOy中，如图2.已知该飞机库的底面宽度约为96m，高度约为60m，则此纵截面所在抛物线的方程为()A.x2＝－1925y B.x2＝－96C.x2＝－752y D.x2＝－75答案(1)A(2)A解析(1)已知圆O:x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，则A(0，2)，B(0，－2)，又过点B作圆O的切线l，则切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离与到l的距离相等，由抛物线的定义可得，动点P的轨迹是以(0，2)为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知点(48，－60)在该抛物线上，将(48，－60)代入抛物线方程，得482＝－2p×(－60)，解得p＝965则抛物线的方程为x2＝－1925y感悟提升1.抛物线的定义是到“定点”与“定直线”距离相等的点的轨迹，特别注意定点不在定直线上.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.训练1(1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝－4x D.y2＝－8x(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2，1)，(1，2)，(4，4)中的2个，则该抛物线的标准方程为.

答案(1)D(2)x2＝4y或y2＝4x解析(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2，1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4，4)在抛物线上，点(1，2)不在抛物线上，满足题意;若点(1，2)在抛物线上，则m＝12，此时x2＝12y，点(－2，1)，(4，4)均不在抛物线上，当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点(1，2)，(4，4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.考点二抛物线的几何性质角度1焦半径和焦点弦例2(1)(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝()A.3 B.4C.5 D.6(2)(2026·海口调研)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点到准线距离为2，直线l过抛物线的焦点F交C于A，B两点，且|AB|＝6，点A关于原点的对称点为D，则kDB·kAB＝.

答案(1)C(2)1解析(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，所以A(4，4)，所以|AF|＝4＋1＝5.(2)由题可得，p＝2，所以抛物线C:y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x1，－y1).因为|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6，所以x1＋x2＝4，所以kDB·kAB＝y2＋y角度2与抛物线有关的最值问题例3(1)(2026·皖南八校联考)已知抛物线E:x2＝4y，圆C:x2＋(y－3)2＝1，若P点是E上一点，Q为C上一点，则|PQ|的最小值为()A.2 B.22C.22－1 D.3(2)已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，B为圆M:(x－3)2＋(y－1)2＝1上一点，则|AB|＋|AF|的最小值为.

答案(1)C(2)3解析(1)由题意知C(0，3)，设P(x0，y0)(y0≥0)，则x02＝4y|PC|＝x0所以当y0＝1时，|PC|min＝22，又因为圆C的半径为1，当P，Q，C三点共线时，|PQ|min＝22－1.(2)依题意抛物线C的准线方程为x＝－1，圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(3，1)，半径为1，过A作AA'垂直于抛物线C的准线，垂足为A'，则|AF|＝|AA'|，所以|AB|＋|AF|＝|AB|＋|AA'|≥|AM|＋|AA'|－1≥|A'M|－1≥3，当A，A'，M三点共线，且点B在A，M之间时等号成立.感悟提升1.焦点弦与焦半径公式是常用的几何性质，但需注意它们各自有四种不同的表达形式.2.解决有关抛物线的最值问题主要有两种方法(1)定义法:利用抛物线的定义，进行点到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，再利用几何意义解决.(2)函数法:利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含某一变量的代数式，转化为求函数的最值.训练2(1)(2026·兰州诊断)已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，点M在C上，且点M到y轴的距离为4，则|MF|＝.

(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是.

答案(1)5(2)2解析(1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设点M的坐标为(x1，y1)，则x1≥0，因为点M到y轴的距离为4，所以点M到准线x＝－1的距离为5，由抛物线定义可得|MF|＝5.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，故点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7考点三抛物线的综合问题例4(1)(2026·厦门质检)已知O为坐标原点，过抛物线C:y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝－1于点P，若PA＝AB，则△OAF与△A.14 B.C.34 (2)(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为.

答案(1)B(2)4解析(1)易知抛物线C:y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，过点A，B作直线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，如图，则|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，由PA＝AB，得A为PB所以2|AM|＝|BN|，即2|AF|＝|BF|，所以△OAF与△OBF面积的比值为12(2)由题意知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为(1，0)，则F(1，0)，故p2＝1，p由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1＝5，得xA＝4.由对称性不妨设A(4，4)，则直线AF的方程为y＝43(x即4x－3y－4＝0，所以原点到直线AF的距离是44感悟提升1.抛物线与其他曲线综合命题时往往与几何性质有关，焦点弦公式|AB|＝x1＋x2＋p在使用时务必确保该直线过焦点.2.抛物线与其他知识，如函数、不等式、平面向量等综合命题时往往考查知识运用能力，特别是最值问题的求解.训练3(1)(2026·广州六校联考)已知圆x2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|＝23，则p＝.

(2)设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若FA＋FB＋FC＝OF，O为坐标原点，则|FA|＋|FB答案(1)2(2)14解析(1)如图，记准线交x轴于点D，因为|AB|＝23，所以|AD|＝3.连接OA，则|OA|＝2.在Rt△AOD中，|OD|＝|OA|2−|AD|2＝1，(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知p＝4，F(2，0)，则FA＝(x1－2，y1)，FB＝(x2－2，y2)，FC＝(x3－2，y3).因为FA＋所以x1－2＋x2－2＋x3－2＝2，即x1＋x2＋x3＝8.由抛物线的定义可得|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，|FC|＝x3＋2，所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋6＝14.阿基米德三角形抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1:阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴;性质2:若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行;性质3:若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点，若直线l方程为:ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为Cca性质4:若阿基米德三角形底边过焦点F，则:(1)Q点必在准线上(若切线QA，QB的交点Q在准线上，则弦AB必过焦点);(2)QA⊥QB;(3)QF⊥AB(即符合射影定理);(4)阿基米德三角形面积的最小值为p2.典例(1)(2026·徐州调研)已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，顶点为O，斜率为43的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OPA.11 B.23C.13 D.14(2)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的23.已知A(－2，1)，B(2，1)为抛物线C:x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为;弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为.答案(1)C(2)－18解析(1)依题意得F(2，0)，直线l:y＝43(x联立y得y2－6y－16＝0，解得y＝8或y＝－2，不妨令M(8，8)，N12法一设直线PM:y＝k(x－8)＋8，联立y得ky2－8y＋64－64k＝0，则由Δ＝(－8)2－4k(64－64k)＝0，解得k＝12，故直线PM:y＝12同理可得，直线PN的斜率为－2，故直线PN:y＋2＝－2x−即y＝－2x－1.联立y即P(－2，3)，则|OP|＝13.故选C.法二设P(x0，y0)，x0<0，由于在△PMN中，边MN上的中线平行于x轴，且PM⊥PN，所以y0＝8−22＝3，且PM·PN＝(8－x0，8－y0)·12−x0，−2−y0＝(8－x0)·解得x0＝－2，即P(－2，3)，则|OP|＝13.故选C.(2)因为y＝14x2，所以y'＝12所以y'|x＝－2＝12×所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，由y所以两切线的交点为P(0，－1)，所以阿基米德三角形面积S△PAB＝12×4×所以弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积S＝4×23一、单选题1.抛物线y2＝2px过点(2，2)，则焦点坐标为()A.(0，0) B.1C.12，0答案C解析由题知4＝4p，解得p＝1，抛物线方程为y2＝2x，所以焦点坐标为122.抛物线x2＝14yA.y＝－116 B.x＝－C.y＝116 D.x＝答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－3.(2026·南充诊断)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P(1，t)满足|PF|＝2，则抛物线方程为()A.y2＝14x B.y2＝1C.y＝2x D.y2＝4x答案D解析如图，过点P作准线的垂线，垂足为P'，则|PP'|＝|PF|＝2，即p2＋1＝2，得p所以y2＝4x，故选D.4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C:y2＝8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB的周长为()A.64 B.64C.6433答案D解析根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，可得四边形OAPB为菱形，又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，故可设A(a，3a)(a代入抛物线方程可得(3a)2＝8a，解得a＝8故|OA|＝2a＝163故四边形OAPB的周长为4×1635.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为()A.26m B.46mC.42m D.12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1m，即y＝－3，解得x1＝26，x2＝－26，所以此时水面宽度d＝|x1－x2|＝46(m).6.(2025·南京质检)已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为()A.43 B.32C.8 D.33答案A解析抛物线C:y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M(x0，y0)在抛物线C:y2＝8x上，所以y02＝8×6＝48，则|y0|＝4所以S△MOF＝12|OF|·|y0|＝12×2×43＝47.(2025·天津卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2A.2 B.5C.2＋12 答案A解析因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，抛物线的准线为P'F1，P'为过P作准线的垂线，与准线的交点，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP'|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝PF1|把点P的坐标代入抛物线方程，可得(23ac)2＝4c(2c－a)，化简得ca＝2，二、多选题8.过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是()A.y2＝4x B.y2＝－4xC.x2＝－12y D.x2＝1答案AC解析点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－12y所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－12y9.(2026·广西六校联考)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设O为坐标原点，则()A.p＝2B.y1y2＝－1C.|AF|·|BF|≥4D.若B在抛物线准线上的射影为B'，则A，O，B'三点共线答案ACD解析由焦点F到准线的距离为2，可得p＝2，故A正确;由p＝2得抛物线的方程为y2＝4x，F(1，0)，设过点F的直线方程为x＝my＋1，与抛物线的方程联立，可得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，故B错误;由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，则|AF|·|BF|＝(x1＋1)(x2＋1)＝(my1＋2)(my2＋2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4m2＋8m2＋4＝4(m2＋1)≥4，当m＝0时，取得等号，故C正确;若B在抛物线准线上的射影为B'，则B'(－1，y2)，易得OA＝(x1，y1)，OB'＝(－1，y2)，所以x1y2＋y1＝(my1＋1)y2＋y1＝my1y2＋y1＋y2＝－4m＋4m＝0，所以OA和OB'共线，又共点所以A，O，B'三点共线，故D正确.三、填空题10.(2025·北京卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p＝.

答案6解析因为抛物线的顶点到焦点的距离为p2故p2＝3，故p11.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计).

答案7cm解析以碗体的最低点为原点，向上的方向为y轴正向，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5，6.25)代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距