2027年高考数学一轮复习(创新设计)第7节　幂函数与几类特殊函数

第7节幂函数与几类特殊函数课标要求1.了解幂函数的概念;结合函数y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x12,y＝1x1.幂函数(1)定义:一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义.②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增.③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减.2.一次分式函数(1)定义:我们把形如y＝cx＋dax＋b(a≠0(2)图象(3)性质①定义域:x|x≠②对称中心:−b③渐近线方程:x＝－ba和y＝c④单调性:当ad>bc时,函数在区间−∞,−ba和−ba,＋∞上分别单调递减;当3.对勾函数y＝ax＋bx(a>0,b(1)性质①奇偶性:奇函数.②单调性:在−∞,−在−ba,③渐近线方程:y＝ax和x＝0.(2)图象4.飘带函数y＝ax－bx(a>0,b(1)性质①奇偶性:奇函数;②单调性:在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递增;③渐近线方程:x＝0.(2)图象5.高斯函数y＝[x](1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]＝3,[－2.1]＝－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝[x]称为高斯函数,又称取整函数.(2)性质①定义域:R;值域:Z.②不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)图象6.狄利克雷函数D(x)＝1,(1)定义域R;值域{0,1}.(2)奇偶性:偶函数.(3)周期性:以任何一个非零有理数为其周期,无最小正周期.(4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在.7.最值函数的概念设min{a,b}＝a,a≤b,b直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称作最大值函数.1.(1)幂函数y＝xα中,α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质;(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.2.对勾函数y＝ax＋bx(ab>0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x1(2)当α>0时,幂函数y＝xα在(0,＋∞)上是增函数.()(3)当n是偶数时,幂函数y＝xnm(m,n∈Z,且(4)函数y＝x＋mx的单调递增区间是(－∞,－m),(m,＋∞答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα,故y＝2x13不是幂函数,故(1)(4)只有m>0时,y＝x＋mx的单调递增区间才是(－∞,－m),(m,＋∞2.若幂函数y＝x－1,y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为()A.－1<m<0<n<1B.－1<n<0<m<1C.－1<m<0<n<1D.－1<n<0<m<1答案D解析对于幂函数y＝xα(α∈R),当α>0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递增,且当0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1.当α<0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递减.不妨令x＝2,由图象得2－1<2n,则－1<n<0.综上可知,－1<n<0<m<1,故选D.3.(人教A必修一P91练习T2(1)改编)比较大小:(－1.5)3(－1.4)3.

答案<解析由于函数y＝x3在R上单调递增,且－1.5<－1.4.故(－1.5)3<(－1.4)3.4.设max{a,b}＝a,a≥b,b,a<b,则函数f答案0解析作出f(x)的图象如图中所示的实线部分,由图可知f(x)的最小值为0.考点一幂函数例1(1)(2025·青岛质检)如图所示是函数y＝xmn(m,n∈N*且互质)的图象A.m,n是奇数,且mnB.m是偶数,n是奇数,且mnC.m是偶数,n是奇数,且mnD.m是奇数,n是偶数,且mn(2)(2026·武汉质检)下列比较大小中正确的是()A.760.7B.−23C.(－2.1)37<(－D.−12答案(1)B(2)C解析(1)由图象可知y＝xmn且在(0,＋∞)上单调递增,结合题图在(0,＋∞)上的增长趋势可知,mn∈(0,1)且m为偶数又m,n∈N*且互质,故n是奇数.故选B.(2)A中,由函数y＝x0.7在(0,＋∞)上单调递增,所以760.7>670.7B中,由函数y＝x－1在(－∞,0)上单调递减,则−23−1>−3C中,(－2.1)37＝−211037,(－2.2)−所以−21103即(－2.1)37<(－2.2)−3D中,−1243＝1243,函数y＝x43在(0即−1243>1感悟提升1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.训练1(1)(2026·宜昌质检)已知幂函数f(x)＝xm2＋2m−3(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(－∞,A.－2 B.－1C.0 D.3(2)已知a＝1323,b＝323,c＝1,则aA.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c答案(1)B(2)B解析(1)因为函数f(x)是偶函数,且在(－∞,0)上单调递增,所以函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,所以m2＋2m－3<0,即(m－1)(m＋3)<0,解得－3<m<1,又因为m∈Z,所以m＝－2或m＝－1或m＝0.当m＝0或m＝－2时,f(x)＝x－3,此时f(x)为奇函数,不满足题意;当m＝－1时,f(x)＝x－4,此时f(x)为偶函数,满足题意,所以m＝－1.(2)由于c＝1＝123,y＝x23在(0,＋∞)上单调递增,则1323<123<323,考点二几类特殊函数角度1一次分式函数例2(多选)(2026·南昌调研)兴趣是最好的老师.学校为了丰富学生的兴趣,成立了多个兴趣小组,其中数学学习兴趣小组发现:形如y＝ax＋bcx＋d(ac≠0,b,d不同时为0)的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换得到,则对函数yA.图象上点的纵坐标不可能为1B.图象与x轴无交点C.函数在区间(－∞,0)上单调递减D.图象关于点(1,1)成中心对称答案ACD解析由函数y＝x＋3x−1则函数y＝x＋3x−1的图象可由y＝4x的图象先向右平移1个单位长度,所以函数y＝x＋3x−1图象上点的纵坐标不可能为1,所以令y＝0,可得x＋3x−1＝0,解得x＝所以函数与x轴的交点为(－3,0),所以B错误;由函数y＝4x在(－∞,0)上为递减函数可得y＝4x−1在(－∞,1)上为递减函数,则函数y＝x＋3x−1在(所以C正确;由函数y＝4x的图象关于原点(0,0)对称可得y＝4x−1的图象关于点(1,0)则函数y＝x＋3x−1的图象关于点(1,所以D正确.角度2对勾函数、飘带函数例3函数f(x)＝2|x|－ax(a∈R答案C解析当a＝0时,f(x)＝2|x|,此时A满足;当a>0时,当x>0时,f(x)＝2x－ax为增函数当x<0时,f(x)＝－2x其中y＝2x＋ax为对勾函数的一部分此时D满足;当a<0时,当x>0时,f(x)＝2x＋−ax当x<0时,f(x)＝－2x＋−ax此时B满足.故选C.角度3高斯函数、狄利克雷函数、最值函数例4(1)(2026·太原质检)高斯是德国著名的数学家、近代数学奠基者之一,用他的名字命名了“高斯函数”.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－3.5]＝－4,[2.1]＝2,已知函数f(x)＝[x]x,则下列关于fA.f(－2)＝－f(2)B.f(x)的最大值为1C.f(x)的最小值为0D.f(x)在(0,＋∞)上的值域为[0,1](2)(2025·西安质检)已知f(x)＝2x＋1,g(x)＝2(x＋1)2,∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为:M(x)＝max{f(x),g(x)}.当x∈R时,函数A.0 B.1C.2 D.4答案(1)C(2)B解析(1)对于A,f(－2)＝[−2]−2＝f(2)＝[2]2＝所以f(－2)＝f(2),A错;由高斯函数的定义可得,当－3≤x<－2时,[x]＝－3,则[x]x＝当－2≤x<－1时,[x]＝－2,则[x]x＝当－1≤x<0时,[x]＝－1,则[x]x＝当0≤x<1时,[x]＝0,则[x]当1≤x<2时,[x]＝1,则[x当2≤x<3时,[x]＝2,则[x当3≤x<4时,[x]＝3,则[x所以当x≥1时,f(x)>0,且每段函数都是单调递减,每段的左端点的函数值都为1;当x<0时,f(x)>0,且每段函数都是单调递增,每段的左端点的函数值都为1;绘制函数图象如图所示,对于B,由图可知,当－1≤x<0,f(x)没有最大值,B错;对于C,由图可知,当0≤x<1,f(x)的最小值为0,C正确;对于D,由图可知,f(x)在(0,＋∞)上的值域为12,1∪{0},(2)已知函数y＝2x在R上单调递增,若x＋1≥(x＋1)2,则－1≤x≤0;若x＋1<(x＋1)2,则x>0或x<－1.故当－1≤x≤0时,2x＋1≥2(即f(x)≥g(x);当x>0或x<－1时,2x＋1<2(即f(x)<g(x).综上,M(x)＝2当x<－1时,易知函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u＝(x＋1)2在(－∞,－1)上单调递减,∴M(x)＝2(x＋1)2在(－∞,又2(−1＋1)2＝1,∴此时M(当－1≤x≤0时,函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u＝x＋1在[－1,0]上单调递增,∴M(x)＝2x＋1在[－1,0]上单调递增,故此时M(x)≥M(－1)＝2－1＋1＝1.当x>0时,函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增,函数u＝(x＋1)2在(0,＋∞)上单调递增,∴M(x)＝2(x＋1)2在(0,＋又2(0＋1)2＝2,∴此时M(综上,M(x)的最小值为M(－1)＝1.故选B.感悟提升这几类特殊的函数问题都属于新定义问题,其解题思想围绕着知识迁移,就是利用新、旧知识之间的联系,由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程,而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素,并与函数的性质相结合.训练2(1)(多选)(2026·广州调研)已知f(x)＝1,x为有理数,0A.f(x)的值域为[0,1]B.f(x)的定义域为RC.函数f[f(x)]是偶函数D.任意一个非零有理数T,f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立(2)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数,例如:[－0.5]＝－1,[1.5]＝1,已知函数f(x)＝4x−12－3×2x＋4(0<x<2),则函数y＝[f(x答案(1)BCD(2){－1,0,1}解析(1)因为函数f(x)＝1,x为有理数,0,x为无理数,所以f(x)因为函数f(x)＝1,x为有理数,0,x为无理数,所以f(对于C中,若自变量x是有理数,则f[f(x)]＝f(1)＝1,若自变量x是无理数,则f[f(x)]＝f(0)＝1,所以f[f(－x)]＝f[f(x)],则f[f(x)]是偶函数,C正确;对于任意一个非零有理数T,若x是有理数,则x＋T是有理数;若x是无理数,则x＋T是无理数,根据函数的解析式,任取一个不为零的有理数T,都有f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立,故D正确,故选BCD.(2)f(x)＝4x−12－3×2x令t＝2x,t∈(1,4),可得g(t)＝12t2－3t＋4＝12(t－3)2－g(t)在(1,3]上递减,在[3,4)上递增,当t＝3时,g(t)有最小值g(3)＝－12又因为g(1)＝32,g(4)＝0所以当t∈(1,4)时,g(t)∈−1即函数f(x)的值域为−1当f(x)∈−12,0时,[f(f(x)∈[0,1)时,[f(x)]＝0;f(x)∈1,32时,[f所以y＝[f(x)]的值域是{－1,0,1}.一、单选题1.(2026·浏阳模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0,＋∞)上单调递增,则m的值为()A.1 B.－3C.－4 D.1或－3答案A解析由题意可得m得m＝−3或m＝1,m2.(2026·黑龙江龙东十校联考)已知f(x)为幂函数,m为常数,且m>1,则函数g(x)＝f(x)＋mxA.(1,1) B.(1,2)C.(－1,1) D.(－1,2)答案B解析因为幂函数的图象过定点(1,1),即f(1)＝1,所以g(1)＝f(1)＋m12所以g(x)的图象经过定点(1,2).故选B.3.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为()A.y＝1x3 B.yC.y＝1x2 D.y答案C解析对于A,y＝1x3,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞当x<0时,y＝1x3<0,对于B,当x＝0时,y＝x＝0,不符合题意;对于C,y＝1x2,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),且y＝1x2在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增,对于D,y＝x23,当x＝0时,y＝0,4.已知a＝1243,b＝1323,c＝1251A.a<b<c B.c<a<bC.a>b>c D.b<c<a答案B解析由a＝1243,b＝132得a＝1423,b＝132因为幂函数y＝x23在区间(0,＋∞)上单调递增,且15<1所以1523<1即c<a<b.故选B.5.(2026·福州调研)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数.例如[－2.1]＝－3,[3.1]＝3,已知函数f(x)＝x2x＋1,若函数y＝[f(x)]的值域集合为M,A.[0,＋∞) B.{0,2}C.{1,2} D.{1,2,3}答案A解析x≥0时,f(x)＝x＝x－1＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－2≥2当且仅当x＝0取等号,此时函数值域为[0,＋∞).由题知函数f(x)的定义域为R,f(－x)＝x2|−x＋1＝所以f(x)为偶函数,即f(x)值域为[0,＋∞),所以M＝N,故选A.6.函数y＝11−x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤xA.2 B.4C.6 D.8答案D解析函数y＝11−x与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1,0)从图象可知两函数共有8个交点,均关于点(1,0)成中心对称,即横坐标之和等于8.7.(2026·合肥质检)黎曼函数定义在[0,1]上,其解析式为:当x＝qp为既约真分数(最简真分数)且p,q∈N*时,R(x)＝1p;当x＝0,1和(0,1)内的无理数时,R(x)＝0.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且∀x∈R,f(x)＋f(x＋2)＝0,当x∈[0,1]时,f(x)＝R(x),则f(π)－fA.－25 B.－C.15 D.答案C解析由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2),则f(x＋4)＝f(x),所以偶函数f(x)的周期为4,f(π)＝f(π－4)＝f(4－π)＝R(4－π)＝0,因为f20265＝f404＋65＝f−65＝－f−65＝－R45＝－1所以f(π)－f20265二、多选题8.若幂函数f(x)的图象经过点(16,4),则下列结论中正确的是()A.f(x)为偶函数B.f(x)为增函数C.若x>1,则f(x)>1D.若x1>x2>0,则fx1＋答案BCD解析若幂函数f(x)＝xα经过点(16,4),则16α＝4,则α＝12则幂函数f(x)＝x在定义域[0,＋∞)上为增函数,故B正确;因为函数f(x)＝x的定义域为[0,＋∞),关于原点不对称,所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,故A错误;当x>1时,f(x)＝x>1,故C正确;函数f(x)＝x12的图象如图,其图象在[0,＋∞)则有不等式f(x1)＋f(x2)9.函数D(x)＝1,x为有理数,0,xA.D(x)为偶函数B.∃x∈R,使得D[D(x)]＝0C.∀x∈R,∀a∈Q,D(a＋x)＝D(a－x)D.∀x,y∈R,D(x＋y)＝D(x)＋D(y)答案AC解析对于A,函数D(x)的定义域为R,关于原点对称,若x为有理数,则－x也为有理数,则有D(x)＝D(－x)＝1;若x为无理数,则－x也为无理数,则有D(x)＝D(－x)＝0,所以D(x)为定义域R上的偶函数,所以A正确;对于B,由B知,对∀x∈R,均有D(D(x))＝1,所以B错误;对于C,若x是有理数,a∈Q,则a＋x,a－x均是有理数,则D(a＋x)＝D(a－x)＝1;若x是无理数,a∈Q,则a＋x,a－x均是无理数,则D(a＋x)＝D(a－x)＝0,所以∀x∈R,a∈Q,D(a＋x)＝D(a－x),C正确;对于D,当x＝y＝1时,D(x＋y)＝D(2)＝1,D(x)＝D(y)＝D(1)＝1,此时D(x)＋D(y)＝2,则D(x＋y)≠D(x)＋D(y),所以D错误.三、填空题10.(2025·无锡质检)已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,若a−m2>(1－2a)−m2,答案0解析因为幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,所以m－2<0且m－2为奇数,又m∈N,所以m＝1,则a−m2>(1－2a)−m2,即a因为函数y＝x−12的定义域为(0,＋∞所以a>0,1−2a>0,所以实数a的取值范围是0,11.函数f(x)＝x2＋5x2答案5解析f(x)＝x＝x2＋4＋1x2则t≥2,f(x)可化为y＝t＋1t易知该函数在[2,＋∞)上单调递增,故y＝t＋1t≥2＋112.若函数f(x)＝sinx＋23＋sinx＋t(x,t∈R)的最大值记为g(t),则函数答案3解析设u＝sinx＋2＝(si