2026-2027学年高二上册数学9月基础小测卷人教A版

2026-2027学年高二上册数学9月基础小测卷人教A版考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=.(A){x|x<-1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x≥2}(D){x|-1<x≤1}2.“x²=1”是“x=1”的.(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.若命题p:∃x₀∈ℝ,使得x₀²-x₀+1<0,则命题p的否定“¬p”是.(A)∀x∈ℝ,x²-x+1<0(B)∀x∈ℝ,x²-x+1>0(C)∃x₀∈ℝ,使得x₀²-x₀+1≥0(D)∀x∈ℝ,x²-x+1≥04.函数f(x)=|x-1|的定义域是.(A)(-∞,1)(B)(1,+∞)(C)[1,+∞)(D)ℝ5.函数g(x)=(1/2)ˣ在其定义域内是.(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数6.若f(x)是定义在ℝ上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-1，则当x<0时，f(x)=.(A)x²+1(B)-x²-1(C)x²-1(D)-x²+17.函数h(x)=2ˣ-1在ℝ上的值域是.(A)(-1,+∞)(B)(0,+∞)(C)(-∞,+∞)(D)(-∞,-1)8.若实数a,b满足a+b=2且a>1,b>1,则ab的最小值是.(A)1(B)2(C)3(D)49.设函数u(x)=x+1,v(x)=2ˣ,则函数y=u(v(x))的定义域是.(A)(-∞,+∞)(B)(0,+∞)(C)(-1,+∞)(D)ℝ10.若f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值是.(A)3(B)2(C)1(D)-1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置）11.已知集合M={x|x²-3x+2=0},N={1,2,3},则M∪N=.12.若函数f(x)=x²+px+q的图像经过点(1,0)和(-1,2),则p+q的值是.13.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=.14.若α是第三象限角，且sinα=-3/5,则cosα=.15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=3,b=4,C=60°,则c=.三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分15分）设集合A={x||x-1|<2},B={x|x²-px+q=0}。若A∪B={x|-1<x<3},A∩B={x|0<x<2}。求实数p,q的值。17.（本小题满分15分）已知函数f(x)=|x+1|-|x-1|。(1)作出函数y=f(x)的图像；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。18.（本小题满分15分）设函数g(x)=2ˣ+aˣ-3(a∈ℝ)。(1)若g(x)在ℝ上单调递增，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若g(x₁)+g(x₂)=2，且x₁<x₂，求x₂-x₁的取值范围。19.（本小题满分15分）已知函数h(x)=eˣ-kx(e为自然对数的底数，k∈ℝ)。(1)求函数h(x)的导函数h'(x)；(2)若函数h(x)在x=1处取得极小值，求实数k的值，并判断此时函数h(x)在区间(0,2)上的单调性。20.（本小题满分20分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=2√3,b=4,且sinA=√3/2。(1)求角B的大小；(2)求边c的长；(3)若△ABC的面积S=√3,求角C的余弦值。试卷答案1.B2.B3.C4.D5.D6.D7.A8.C9.B10.A11.{1,2,3,4}12.-313.414.-4/515.516.解析：由|x-1|<2得-1<x<3，故A=(-1,3)。由A∪B=(-1,3),A∩B=(0,2)知，B包含于A但不等于A，且B的左端点在-1附近，右端点在3附近。设B={x₁,x₂}，则x₁∈(-1,0],x₂∈(2,3)。由A∩B=(0,2)知x₁=0,x₂=2。即B={0,2}。故x²-px+q=0有根0和2。代入得q=0且p=-(0+2)=-2。故p=-2,q=0。答案：p=-2,q=017.解析：(1)当x<-1时，f(x)=-(x+1)-(x-1)=-2x；当-1≤x≤1时，f(x)=(x+1)-(x-1)=2；当x>1时，f(x)=(x+1)-(x-1)=2。图像为：在x=-1处函数值为0，在(-∞,-1)上图像为斜率为-2的直线，在[-1,1]上图像为y=2的水平线，在(1,+∞)上图像为斜率为2的直线。(2)函数定义域为ℝ。f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)。故f(x)是奇函数。答案：见解析18.解析：(1)g'(x)=2ˣ*ln(2)+aˣ*ln(a)。由g(x)在ℝ上单调递增知g'(x)≥0对x∈ℝ恒成立。即2ˣ*ln(2)+aˣ*ln(a)≥0对x∈ℝ恒成立。即aˣ*ln(a)≥-2ˣ*ln(2)。变形得(ln(a)/ln(2))ˣ≥(-2)ˣ。令t=ln(a)/ln(2)，则tˣ≥(-2)ˣ。由于2ˣ总是正数，(-2)ˣ在ℝ上不是单调函数，要使上式恒成立，必须有t>0且t=-2。即ln(a)/ln(2)=-2。解得a=1/4。检验：当a=1/4时，g'(x)=(1/4)ˣ*ln(2)+2ˣ*(-ln(2))=ln(2)*[(1/4)ˣ-2ˣ]。令g'(x)=0，得(1/4)ˣ-2ˣ=0，即(1/2)ˣˣ-2ˣ=0。令t=(1/2)ˣ，则t²-2t=0，得t(t-2)=0。故t=0或t=2。因t=(1/2)ˣ>0，故t=2，即(1/2)ˣ=2，解得x=-1。此时g'(x)在x=-1处变号，由负变正，故x=-1是极小值点。符合题意。故a=1/4。(2)由(1)知a=1/4。g(x₁)+g(x₂)=2ˣ₁+(1/4)ˣ₁-3+2ˣ₂+(1/4)ˣ₂-3=2。即(5/4)ˣ₁+(5/4)ˣ₂=8。变形得(5/4)ˣ₁=8-(5/4)ˣ₂。由于x₁<x₂，且a=1/4<1，故(1/4)ˣ是减函数，故x₁>x₂。由(5/4)ˣ₁=8-(5/4)ˣ₂>0得8-(5/4)ˣ₂>0，即(5/4)ˣ₂<8，故x₂<log(4/5)(8)=-log(5/4)(8)=-3log(5/4)(2)。又(5/4)ˣ₁=8-(5/4)ˣ₂>8-8=0，故x₁>0。故x₂-x₁=x₂-log(4/5)(8-(5/4)ˣ₂)=x₂-log(4/5)((5/4)ˣ₂-8)<-3log(5/4)(2)-log(4/5)(0)（这里(5/4)ˣ₂-8为正，故log(4/5)(0)无意义，但根据变形过程，x₂在log(4/5)(8)左侧，(5/4)ˣ₂在(0,8)左侧，故(5/4)ˣ₂-8<0，对数函数在此区间无定义，需修正范围）。实际上，x₂-x₁=x₂-log(4/5)(8-(5/4)ˣ₂)=x₂-log(4/5)((5/4)ˣ₂-8)。令t=(5/4)ˣ₂∈(0,8)，则x₂=log(4/5)(t)。故x₂-x₁=log(4/5)(t)-log(4/5)(t-8)。由于0<t<8，故0<t-8<0，故t-8<0。由于对数函数log(4/5)(x)在(0,+∞)上是减函数，故log(4/5)(t)<log(4/5)(t-8)。即x₂-x₁<0。又x₁>0，x₂<log(4/5)(8)=-3log(5/4)(2)。故x₂-x₁<-3log(5/4)(2)。答案：(1)a=1/4(2)x₂-x₁<-3log(5/4)(2)19.解析：(1)h'(x)=d/dx(eˣ-kx)=eˣ-k。(2)函数h(x)在x=1处取得极小值，等价于h'(1)=0且h''(x)在x=1两侧异号。h'(x)=eˣ-k。令h'(1)=0得e-k=0，即k=e。此时h'(x)=eˣ-e。令h'(x)=0得eˣ-e=0，即eˣ=e，解得x=1。h''(x)=d/dx(eˣ-e)=eˣ。当x∈(0,2)时，eˣ>0。故h''(x)在x=1两侧均为正，不满足异号条件。因此，k=e不能使x=1为极小值点。这说明假设“函数h(x)在x=1处取得极小值”是错误的。或者，根据导数与极值的关系，若h(x)在x=1处有极值，则h'(1)=0。由h'(x)=eˣ-k，得e-k=0，即k=e。但此时h''(x)=eˣ，在x=1处h''(1)=e>0，说明x=1是极小值点。这与题目条件矛盾，说明假设错误，不存在实数k使h(x)在x=1处有极小值。答案：(1)h'(x)=eˣ-k(2)不存在实数k使函数h(x)在x=1处取得极小值20.解析：(1)由sinA=√3/2>0且A∈(0,π)知A=π/3。由正弦定理a/sinA=b/sinB得2√3/(√3/2)=4/sinB。解得sinB=2/2=1。由于b>a且B∈(0,π)，故B=π/2。(2)由B=π/2知△ABC是直角三角形，直角边为a,b。斜边c=√(a²+b²)=√((2√3)²+4²)=√(12+