正弦定理专项试题及详细答案

正弦定理专项试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在△ABC中，若a=3，B=45°，C=60°，则边b的长度为（）A.3√2/2B.3√3/2C.3D.3√6/22.在△ABC中，若a=5，b=8，A=30°，则角B的大小可能是（）A.30°B.45°C.60°D.120°3.在△ABC中，若a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，则△ABC的形状一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=1，C=30°，则边c的长度为（）A.1B.√2C.√3D.25.在△ABC中，若a=7，b=5，c=3，则sinA与sinB的大小关系为（）A.sinA>sinBB.sinA<sinBC.sinA=sinBD.无法确定6.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=4√2，则边b的长度为（）A.4B.4√3C.8D.8√37.已知在△ABC中，a=10，b=6，C=120°，则边c的长度为（）A.4√7B.8C.4√19D.√198.在△ABC中，若a=2，b=√7，C=60°，则角A的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a/sinA=b/sinB，则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形10.在△ABC中，若a=5，b=7，且sinA=3/5，则△ABC的面积是（）A.12√3B.14C.15D.16二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.在△ABC中，若a=10，b=5√3，A=60°，则角B的大小是______度。12.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=√2，则边c的长度是______。13.在△ABC中，若角C=90°，a=6，b=8，则边c所在直线的方程（用一般式表示）是______。14.在△ABC中，若a=4，b=3，c=5，则sinA+sinB+sinC的值是______。15.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=8，b=5，c=7，则cosA的值是______。三、解答题（本大题共4小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（6分）在△ABC中，已知a=7，b=5，A=60°。求角B的大小及边c的长度。17.（7分）在△ABC中，已知角A=45°，角B=75°，边a=6。求边b的长度。18.（6分）在△ABC中，已知a=3，b=√7，C=120°。判断△ABC是否有解，若有，求出边c的长度。19.（6分）在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=10。求△ABC的外接圆半径R和面积S。试卷答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.A8.D9.A10.B二、填空题11.3012.2√213.2x+3y-20=014.√3+115.3/7三、解答题16.解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得7/sin60°=5/sinB。sinB=5sin60°/7=5√3/14。因为a>b，所以A>B，即B为锐角。所以B=arcsin(5√3/14)。由三角形内角和定理A+B+C=180°，得C=180°-60°-B=120°-B。由正弦定理a/sinA=c/sinC，得7/sin60°=c/sin(120°-B)。c=7sin(120°-B)/sin60°=7sin(180°-(60°+B))/sin60°=7sin(60°+B)/sin60°。c=7(sin60°cosB+cos60°sinB)/sin60°=7(cos60°sinB+sin60°cosB)/sin60°=7sinB+7cosB。c=7[5√3/14+√(1-(5√3/14)²)]+7[1/2-√3/2*(5√3/14)]（此处计算有误，应直接用正弦定理求c）更正计算：c=7sin(120°-B)/sin60°=7sin(180°-(60°+B))/sin60°=7sin(60°+B)/sin60°c=7*(sin60°cosB+cos60°sinB)/sin60°c=7*(√3/2*cosB+1/2*sinB)c=7*[(√3/2)*cosB+(1/2)*sinB]c=7*[(√3/2)*cos(arcsin(5√3/14))+(1/2)*sin(arcsin(5√3/14))]c=7*[(√3/2)*√(1-(5√3/14)²)+(1/2)*(5√3/14)]c=7*[(√3/2)*√(196/196-75/196)+(5√3/28)]c=7*[(√3/2)*√(121/196)+(5√3/28)]c=7*[(√3/2)*(11/14)+(5√3/28)]c=7*[11√3/28+5√3/28]c=7*(16√3/28)c=7*(4√3/7)c=4√3（原参考思路给出的4.8是近似值）故边c的长度为4√3。17.解：由三角形内角和定理A+B+C=180°，得C=180°-45°-75°=60°。由正弦定理a/sinA=b/sinB，得6/sin45°=b/sin75°。b=6sin75°/sin45°=6*(√2/2)/(√6√2/4)=6*2/(√6*2)=6/√6=√6。18.解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得3/sin(180°-120°)=√7/sinB。sin(180°-120°)=sin60°=√3/2。3/(√3/2)=√7/sinB。2√3=√7/sinB。sinB=√7/(2√3)=√21/6。因为b>a，即√7>3，所以B>A，角B可能为锐角或钝角，△ABC有两解。所以角B=arcsin(√21/6)或B=180°-arcsin(√21/6)。当B=arcsin(√21/6)时，由C=180°-120°=60°，得A=180°-60°-B=120°-B。由正弦定理a/sinA=c/sinC，得3/sin(120°-B)=c/sin60°。c=3sin60°/sin(120°-B)=3*(√3/2)/sin(120°-arcsin(√21/6))。利用sin(120°-x)=sin120°cosx-cos120°sinx=(√3/2)cos(arcsin(√21/6))-(-1/2)sin(arcsin(√21/6))=(√3/2)*√(1-(√21/6)²)+(1/2)*(√21/6)=(√3/2)*√(36-21)/36+(√21/12)=(√3/2)*√15/6+(√21/12)=√(45/36)+√21/12=√5/4+√21/12。c=3*(√3/2)/(√5/4+√21/12)=3*(√3/2)*(12/√5+4/√21)=18*(√3/√5+2/√21)（分母有理化过程略）当B=180°-arcsin(√21/6)时，由C=60°，得A=180°-60°-(180°-arcsin(√21/6))=arcsin(√21/6)-60°。由正弦定理a/sinA=c/sinC，得3/sin(arcsin(√21/6)-60°)=c/sin60°。c=3sin60°/sin(arcsin(√21/6)-60°)=3*(√3/2)/[sin(arcsin(√21/6))cos60°-cos(arcsin(√21/6))sin60°]=3*(√3/2)/[(√21/6)*(1/2)-√(1-(√21/6)²)*(√3/2)]=3*(√3/2)/[(√21/12)-(√15/12)*(√3/2)]=3*(√3/2)/[(√21-√15√3)/12]=3*(√3/2)*12/(√21-√45)=18*√3/(√21-3√5)（分母有理化过程略）故△ABC有两解，边c的长度分别为18(√3/√5+2/√21)和18√3/(√21-3√5)。19.解：由三角形内角和定理A+B+C=180°，得C=180°-30°-60°=90°。因为C=90°，所以△ABC是直角三角形，且∠A=30°，∠B=60°。所以边a=10是直角边，边b是另一直角边，边c是斜边。斜边c=a/