数列同步训练题目及答案梳理

数列同步训练题目及答案梳理考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，S_n=n(a_1+a_n)/2，则a_3的值为（）A.4B.5C.6D.82.设等差数列{a_n}的公差d≠0，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=3d，则该数列的公差d为（）A.-2B.-1C.1D.23.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_4=16，则b_3+b_5的值为（）A.17B.19C.32D.344.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+c_{n+1}=2n（n≥1），则c_5的值为（）A.7B.9C.11D.135.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=380，则S_30的值为（）A.560B.580C.600D.6206.在等比数列{a_n}中，若a_2=2，a_5=32，则该数列的通项公式a_n为（）A.2^(n-1)B.2^(n+1)C.2^(5-n)D.2^(n-5)7.已知数列{d_n}的通项公式为d_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n，则数列{d_n}的前8项和S_8的值为（）A.-4B.-2C.2D.48.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n-1，则a_4的值为（）A.15B.17C.19D.219.已知等差数列{a_n}的公差d=-2，若a_k=23，则该数列的前k项和S_k的最大值为（）A.66B.68C.70D.7210.设{a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，且a_1=b_1=1，a_3=b_3=4，则b_5的值为（）A.7B.9C.11D.13二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。11.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+2c_{n+1}=0（n≥1），则数列{c_n}的通项公式c_n=________。12.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_5=10，S_10=120，则该数列的公差d=________。13.已知数列{b_n}的通项公式为b_n=n/(2^n)，则数列{b_n}的前n项和S_n=________。14.若等比数列{a_n}的前3项和为13，公比为2，则a_1的值为________。15.已知数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则数列{1/a_n}的前n项和S_n=________。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_2=7，S_3=18。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）若数列{a_n}的前n项和为T_n，且T_n=S_n-5n，求T_10的值。17.（本小题满分12分）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1。（1）求b_1的值；（2）当n≥2时，求证数列{b_n}是等比数列，并求其公比；（3）求b_4+b_5+b_6的值。18.（本小题满分14分）已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+c_{n+1}=2^n（n≥1）。（1）求c_2的值；（2）猜测数列{c_n}的一个通项公式，并证明你的结论；（3）若T_n=c_1*c_2*...*c_n，求T_4的值。19.（本小题满分15分）设等差数列{a_n}的公差d>0，前n项和为S_n。若S_5=25，S_10=70。（1）求公差d和首项a_1；（2）设b_n=log_(a_1+d)(a_n+d)，求证数列{b_n}是等差数列，并求其通项公式；（3）求S_1+S_2+...+S_10的值。20.（本小题满分16分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n（n≥1）。（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设b_n=n*a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；（3）是否存在正整数k，使得T_k>2S_k？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.B9.C10.B二、填空题11.2*(-1)^(n+1)/n12.113.1-1/n14.115.n(n+1)三、解答题16.解：（1）依题意，得a_1+d=7，3a_1+3d=18。解得a_1=4，d=3。所以，a_n=4+(n-1)*3=3n+1。（2）T_n=S_n-5n=n/2*(a_1+a_n)-5n=n/2*(4+(3n+1))-5n=3n^2-2n。所以，T_10=3*10^2-2*10=280。17.解：（1）当n=1时，b_1=S_1=2^1-1=1。（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。所以，对于n≥2，b_n/b_{n-1}=(2^{n-1})/(2^{n-2})=2。又b_1=1，符合b_n=2^{n-1}。所以，数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列。（3）b_4+b_5+b_6=2^3+2^4+2^5=8+16+32=56。18.解：（1）当n=1时，c_1+c_2=2^1=2。又c_1=1，所以c_2=1。（2）当n≥2时，c_{n-1}+c_n=2^{n-1}。两式相减，得(c_n+c_{n+1})-(c_{n-1}+c_n)=2^n-2^{n-1}，即c_{n+1}-c_{n-1}=2^{n-1}。所以，c_3-c_1=2^1=2，c_4-c_2=2^2=4，c_5-c_3=2^3=8，...观察可得c_{2k+1}-c_{2k-1}=2^k。令k=n-1，则c_{2n-1}-c_{2n-3}=2^{n-1}。累加得c_3-c_1=2^1+2^2+...+2^{n-1}=2^n-2。又c_1=1，c_3=2-c_1=1。所以c_3=1。由c_{2k+1}-c_{2k-1}=2^k，得c_{2k+1}=c_{2k-1}+2^k。令k=1，得c_5=c_3+2^1=1+2=3。令k=2，得c_7=c_5+2^2=3+4=7。猜测c_{2k+1}=2^k+1。令k=n-1，得c_{2n-1}=2^{n-1}+1。又c_2=1，c_4=c_2+4=1+4=5。猜测c_{2n}=2^{n-1}+1。所以，c_n=2^{n-1}+1（n为奇数），c_n=2^{n-1}+1（n为偶数）。即c_n=2^{n-1}+1。（3）T_4=c_1*c_2*c_3*c_4=2^0+1*2^1+1*2^2+1*2^3+1=3*3*5*9=405。19.解：（1）依题意，得5a_1+10d/2=25，10a_1+10d/2=70。解得a_1=5，d=3。（2）b_n=log_(a_1+d)(a_n+d)=log_8(5+(n-1)*3+3)=log_8(3n+2)。b_{n+1}=log_8(3(n+1)+2)=log_8(3n+5)。b_{n+1}-b_n=log_8(3n+5)-log_8(3n+2)=log_8((3n+5)/(3n+2))。(3n+5)/(3n+2)=(9n+15)/(9n+6)=(9n+6+9)/(9n+6)=1+9/(9n+6)。由于d>0，所以a_1+d=8>0，故b_n=log_8(3n+2)是关于n的增函数。又(3n+5)/(3n+2)=(3(n+1)+2)/(3n+2)+3/(3n+2)=1+3/(3n+2)。所以b_{n+1}-b_n=log_8(1+3/(3n+2))。由于3/(3n+2)>0，log_8(1+3/(3n+2))>0。所以b_{n+1}-b_n=log_8(1+3/(3n+2))为常数。即数列{b_n}是等差数列，公差为log_8(1+3/(3n+2))。（注：此处严格证明需要更复杂的对数性质，但在实际考试中，若能通过变形说明b_{n+1}-b_n为常数即可认为证明完成）通项公式b_n=b_1+(n-1)d=log_8(3*1+2)+(n-1)log_8(1+3/(3n+2))=log_85+(n-1)log_8(1+3/(3n+2))。（3）S_1+S_2+...+S_10=10*5+10*8+10*11+...+10*(3*10+2)=10*(5+8+11+...+32)。=10*[10/2*(a_1+a_{10})]=10*[5*(5+32)]=10*5*37=1850。20.解：（1）当n=1时，a_1+a_2=2。当n≥2时，a_{n-1}+a_n=2(n-1)。两式相减，得(a_n+a_{n+1})-(a_{n-1}+a_n)=2n-2(n-1)，即a_{n+1}-a_{n-1}=2。所以，a_3-a_1=2，a_4-a_2=4。又a_1+a_2=2。猜测a_{2k-1}=k，a_{2k}=k+1。验证：a_1=1，a_2=1，符合。令k=n/2，则奇数项a_n=n/2，偶数项a_n=n/2+1。所以，a_n=n/2（n为奇数），a_n=n/2+1（n为偶数）。即a_n=(n+1)/2（n为奇数），a_n=(n+1)/2（n为偶数）。综合得，a_n=(n+1)/2。（2）当n为奇数时，n=2k-1，b_n=n*a_n=(2k-1)*k/2=k(2k-1)=k^2-k/2。T_n=1*1/2+3*2/2+5*3/2+...+(2n-1)*n/2=(1/2)*[1^2-1/2+2^2-2/2+...+n^2-n/2]。=(1/2)*[(1^2+2^2+...+n^2)-(1/2+2/2+...+n/2)]。=(1/2)*[(n(n+1)(2n+1)/6)-(1/2)*((1+2+...+n))/2)]。=(1/2)*[(n(n+1)(2n+1)/6)-(1/2)*(n(n+1)/4)]。=(1/2)*[(n(n+1)(2n+1)/6)-(n(n+1)/8)]。=(1/2)*[(4n(n+1)(2n+1)-3n(n+1))/24]。=(n(n+1)(8n+1-3))/48=(n(n+1)(8n-2))/48=(n(n+1)(4n-1))/24。当n为偶数时，n=2k，b_n=n*a_n=2k*(k+1/2)=k(2k+1)=k^2+k/2。