2024高考数学一轮复习第十二章概率随机变量及其分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题教学案理新人教A版

高考专题突破六高考中的概率与统计问题

题型一师生共研

概率与统计的综合应用

例1(2024・汉中模拟)槟榔原产于马来西亚，在中国主要分布在云南、海南及台湾等热带

地区.槟榔是重要的中药材，在南方一叫少数民族还将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界

卫生组织国际癌症探讨机构列为致癌物清单I类致癌物.云南某民族中学为了解48两个少

数民族班的学生咀嚼槟榔的状况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平

均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，吐表示

个位数字).

A班8班

90

41112

02I56

(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？

(2)在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3

名学生，求抽取8班学生人数乃的分布列和均值.

解・(1)4班样本数据的平均值为:(9+11+14+20+31)=17,由此估计A班学生平均每周咀

嚼槟榔的颗数为17,

6班样本数据的平均值为《(11+12+21+25+26)=19,

□

由此估计8班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19,

故估计4班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.

(2)•・•平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，

力班有2人，8班有3人，共有5人，

・•・¥的可能取值为1,2,3,

…八Cd3八c、C初39°、或以1

P(X=l)=-^=~,尸(1=2)=二=守尸(1=3)=衣=正'

・•・1'的分布列为

123

331

P

To5To

33I9

/.^=lX-+2X-4-3X-=-

思维升华概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热

点.它与其他学问融合、渗透，情境新奇，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.

跟踪训练1(2024•西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品

的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间［55：65),

［65,75),［75,85］内的频率之比为4：2：1.

(1)求这些产品的质量指标值落在区间［75,85］内的频率；

(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标

值位于［45,75)内的产品件数为X求才的分布列与均值.

解(1)设落在区间［75,85］内的频率为必则落在区间［55,65),［65,75)内的频率分别为4彳

和2M

依题意得(0.004+。0124-0.0194-0.030)X10+4x+2x+>=1,

解得x=0.05.

所以落在区间［75,85］内的频率为0.05.

(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以才听从

二项分布8(〃，p),其中〃=3.

由(D得，落在区间［45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得夕=0.6.

因为I的全部可能取值为0,1,2,3,

则/C¥=0)=C?X0.6°X0.43=0.064,

P(X=1)=C；X0.6'XO.42=0.288,

P(/=2)=CsX0.62X0.4'=0.432,

尸Cr=3)=CJX0.63X0.4°=0.216,

所以l的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以l的均值为双第=0X0.064+1X0.288+2X0.432+3X0.216=1.8.

（或干脆依据二项分布的均值公式得到乳X）="4=3X0.6=1.8）

题型二师生共研

概率与统计案例的综合应用

例2（2024•华中师大附中模拟）中国高校先修课程，是在中学开设的具有高校水平的课程,

旨在让学有余力的中学生早接受高校思维方式、学习方法的训练，为高校学习乃至将来的职

业生涯做好打算.某中学开设高校先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300

人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年

学习先修课程的学生都参与了考试，并且都参与了某高校的自主招生考试（满分100分），结

果如表所不：

分数a95—085W水9575W水8560W水75水60

人数20551057050

自招通过率0.90.80.60.50.4

（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形推断学习先修课程与优等生是否有

关系，依据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课

程与优等生有关系？

优等生非优等生总计

学习高校先修课程

没有学习高校先修课程

总计

（2）已知今年有150名学生报名学习高校先修课程，以前两年参与高校先修课程学习成果的频

率作为今年参与高校先修课程学习成果的概率.

①在今年参与高校先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；

②设今年全校参与高校先修课程的学生通过某高校自主招生考试人数为上求以9.

参考数据：

费者肯定的点数，该商品每天的销量就会发生肯定的改变，经过试点统计得到下表:

返还点数t12345

销量（百件）/天0.50.611.41.7

（1）经分析发觉，可用线性回来模型拟合当地该商品销量y（百件）与返还点数£之间的相关关

系，请用最小二乘法求y关于f的线性回来方程尸物+小并预料若返还6个点时该商品每

天的销量;

（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体非常浩人，

经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到

如下一份频数表：

返还点数预期值区间[1.3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13]

频数206060302010

①求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值才的样本平均数及中位数的估

计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）;

②将对返还点数的心理预期值在［1,3）和［11,13］的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者

和“欲望膨胀型”消费者，现采纳分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽

取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者

的人数为随机变量％求了的分布列及均值.

^^乂一〃ty

j=1•5

参考公式及数据：b=-------------,a=y—bt\£右M=18.8.

n__

1+2+3+4+5

解（1）由题意知t=------；------=3

—0.5+0.6+1+1.4+1.7

7=5iO’.

X^=l2+22+32+42+52=55,

Z=1

5_____

苫乙/一5ty

18.8-5X3X1.04

b=~=―55—5X32-=0-32,

22f/-5t

a=y—bt=1.04~0.32X3=0.08,

则y关于t的线性回来方程为y=0.32f+0.08,

当1=6时，y=2.00,即返还6个点时该商品每天销量约为200件.

（2）①依据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的样本平均数:

为x=2X0.1+4X0.3+6X0.34-8X0.15+10X0.1+12X0.05=6,

/j.Ai_.八100—20—602

中位数的估计值为n+2X---------=5+§25.7.

20

②抽取的6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6X正=4,“欲望膨胀型”消费者人数

JU

、，10

为6X^=2.

JU

故才的全部可能取值为（），1,2.

P（X=2）=警=/

但毋，

小。等

故随机变量1的分布列为

才012

3]_

P

555

3

M/n=2XT+lX7+0XT=l.

555

题型三师生共研

均值与方差在决策中的应用

例3（2024•全国I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之

前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20

件做检验,再依据检验结果确定是否对余下的全部新产品做检验.设每件产品为不合格品的概

率都为0（0<6］），且各件产品为不合格品相互独立.

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为F（夕），求fS）的最大值点R；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的外作为夕的值，已知

每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25

元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品做出检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求矶加；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品做检验？

解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f(p)=Ca)•p2(l-p)18.

因此f(p)=C2o[2/?(l—p)18—18p2(l—p)17]

=2dop(l—p),7(l—lOp).

令f3=o,得夕=O.L

当〃£(0,0.1)时，r(p)>0；当夕£(0.1,1)时，f(p)<0.

所以f(夕)的最大值点为R=0.1.

(2)由(1)知，p=o.1

①令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，

依题意知V〜8(180,0.1),

X=2()X2+25匕艮|JX=40+25R

所以E⑺=£'(40+25?)=40+255(乃=490.

②假如对余下的产品做检验，则这一箱产品所须要的检验费为400元.

由于E(X)=490>400,故应当对余下的产品做检验.

思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值

的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要依据，一

般先比较均值，若均值相同，再由方差来确定.

跟踪训练3(2024・100所名校最新冲刺卷)某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用

下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自

主学习、完成作业，同时每天派老师轮番值班.在本学期其次次月考后，高一某班数学老师统

计了两次考试该班数学成果优良人数和非优良人数，得到如下2X2列联表：

非优良优良总计

未设立自习室251540

设立自习室103040

总计354580

(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成果有效？

(2)设从该班第一次月考的全部数学成果中任取两个，取到成果优良数为光从该班其次次月

考的全部数学成果中任取两个，取到成果优良数为匕求X与V的均值并比较大小，请说明

所得结论的实际含义.

下面的临界值表供参考：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：片=­n——一。——,其中〃=a+b+c+初

a+bc+da+cb+d

⑺八、，28025X30-15X102八”八，

解(D*=40X40X35X4543>7.879,

所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成果有效.

(2)¥的全部可能取值为0,1,2,

则尸(RO)~~尸(4=1)=警=器，

Lto115LioOZ

A/=2)=旨=看，

v,io

012

5257

P

瓦52

bi।/5,2573

所以/:'（»1k=0X--4-1X--+2X—=7.

13t）z5/4

y的全部可能取值为o,i,2,

则〃（『）=3=焉7V=］）=警=卷,

LioDZCKI1o

P（六2）=3=称.

Lio3/

Y012

3529

P瓦瓦

35293

所以⑺=0X—4-1Xy-+2X—

E□Z135//

即£OK£(D,

其实际含义是设立自习室后学生的数学成果提高，说明设立自习室对提高学生成果有效.

--------概率与统计的综合问题----------

■答题模板■

例(12分)(2024•北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支

付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的运用状况，从

全校学生中随机抽取了10。人，发觉样本中A,B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅

运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：

付金额(元)

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方

仅运用A18人9人3人

仅运用B10人14人1人

⑴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率；

(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人,以/表示这2人中上个月支付金额

大于100()元的人数，求才的分布列和均值；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变.现从样本仅运用A的学生中，随机抽查

3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元.依据抽查结果，能否认为样本仅运用A的学

生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由.

规范解答

解(1)由题意知，样本中仅运用A的学生有18+9+3=30(人)，仅运用B的学生有1D+14

+1=25(人)，A,B两种支付方式都不运用的学生有5人，

故样本中A,B两种支付方式都运用的学生有100—30—25—5=40(人).[1分]

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率为器=

0.4.[2分]

(2)¥的全部可能值为0,1,2.[3分]

记事务。为“从样本仅运用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000

元”，事务〃为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000

元”.

Q-I-3

由题设知，事务C,〃相互独立，且尸(。=4]=0.4,

144-1

〃(〃)=-^=0.6,[4分]

所以P(X=2)=〃(5=产(。〃(功=0.24.[5分]

P(X=\)=P(C~i)u79

=P(OPCD}+PCC)P(D)

=0.4X(1-0.6)+(1-0.4)X0.6

=0.52,[6分]

〃(¥=0)=/c〃)=〃(C)P(〃)=0.24.[7分]

所以I的分布列为

X012

P0.240.520.24

［8分］

故才的均值以心=0X0.24+1X0.52+2X0.24=1.0.［9分］

⑶记事务〃为“从样本仅运用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于200（）元”.

假设样本仅运用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有改变，则由上个月的样本

数据得焉分］

CM4UbU

答案示例1:可以认为有改变.理由如下：

PS）比较小，概率比较小的事务一般不简单发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大

于2000元的人数发生了改变，所以可以认为有改变.［12分］

答案示例2：无法确定有没有改变，理由如下：

事务少是随机事务，比较小，一般不简单发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有

没有改变.［12分］

答题模板

第一步：审清题意，理清条件和结论，找到关键数量关系.

其次步：找数量关系，把图表语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母.

第三步：建立解决方案，找准公式，依据图表数据代入公式计算数值.

第四步：作出推断得结论，依据题意，借助数表作出正确推断.

第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范性.

课时精练

“基础保分练

1.（2024•湖北省七市联考）某校实行运动会，其中三级跳远的成果在8.0米（四舍五入，精确

到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分

（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频

数是7.

5.256.157.057.958.859.7510.65/米

(1)求进入决赛的人数；

(2)若从该校学生(人数许多)中随机抽取2人，记才表示2人中进入决赛的人数，求才的分布

列及均值；

(3)经过多次测试后发觉，甲的成果匀称分布在8〜10X,乙的成果匀称分布在9.5-10.5

米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率.

解(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.104-0.14+0.28+0.30)=0.14,

**•总人数为014=5°，

由题图易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.28+0.30+0.14)X50=36,即进入决

赛的人数为36.

(2)由题意可知(的可能取值为0,1,2,

・・・进入决赛的概率*HI，・・・一(2,热

，(乃=0)=C以(强)=卷,

内=1)=以义:义盛=1|1

A/=2)=dxg)=g1,

・・・x的分布列为

X012

49252324

P

625625625

j8=36

：.E(X)=2X25=25,

8WA<10,

⑶设甲、乙各跳一次的成果分别为米，则基本领件满意的区域为八一八「事

9.5Wy^lO.5,

务A“甲比乙跳得远的概率”满意的区域为x〉y,如图所示,

111

2X2X2

・•・由几何概型得PC4)=皿

1AZ16,

即甲比乙跳得远的概率为《

2.为了增加消防平安意识，某中学对全体学生做了一次消防学问讲座，从男生中随机抽取50

人，从女生中随机抽取70人参与消防学问测试，统计数据得到如下列联表：

优秀非优秀总计

男生153550

女生304070

总计4575120

（1）试推断能否有90用的把握认为消防学问的测试成果优秀与否与性别有关？

（2）为了宣扬消防学问，从该校测试成果获得优秀的同学中采纳分层抽样的方法，随机选出6

人组成宣扬小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣扬，求到校外宣扬的同学中男生人数

X的分布列和均值.

nad-be〜_______

附：*=一

a+bc+da+cb+d'

产（犬2如0.250.150.100.050.0250.010

1.3232.0722.7063.8415.0246.635

2

120义15X40—35X30

解（1）因为女=-^2.057,

50X70X45X75

且2.057<2,706.

所以没有90$的把握认为测试成果优秀与否与性别有关.

⑵用分层抽样的方法抽取时抽取比例是括=七

4010

99

则抽取女生30X77=4（人），抽取男生15X77=2（人）.

由题意，得“可能的取值为（），1,2.

9=2C；C；8

P(/=0)=15=5,m=i)=

P（J=2）

故X的分布列为

c

X014

281

P

5T515

28i9

才的均值£(a=0X^+1X—+2X—=-

01010O

3.(2024•石家庄模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一

次(购进时，该食品为刚生产的).依据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，假如两

天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售状况互不影响，为了了解市场的需求状况,

现统计,该产品在本地区10。天的销售量如表：

销售量(份)15161718

天数20304010

(视样本频率为概率)

⑴依据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为f,求f的分布列

与均值：

(2)以两天内该产品所获得的利润均值为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种

得到的利润更大？

解(1)f的可能取值有30,31,32,33,34,35,36,

其中P(f=30)=0.2X0.2=0.04,

P{<=31)=2X0.2X0.3=0.12,

f=32)=0.3X0.3+2X0.2X0.4=0.25,

Plf=33)=2X0.2X0.1+2X0.3X0.4=0.28,

P[f=34)=0.4X0.4+2X0.3X0.1=0.22,

〃(=35)=2X0.4X0.1=0.08,

A<=36)=0.1X0.1=0.01,

・•・4的分布列为

30313233343536

P0.040.120.250.280.220.080.01

・•・£(f)=30X0.04+31X0.12+32X0.25+33X0.28+34X0.22+35X0.08+36X0.01=

32.8.

⑵当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为人则乃的可能取值有104,116,128,

且尸(才=104)=0.04,尸(才=116)=0.12,尸(1=128)=1—0.04—0.12=0.84,

A£(1)=104X0.04+116X0.12+128X0.84=125.6.

当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为匕则V的可能取值有96,108,120,132.

且一(勺96)=0.04,尸(勺108)=0.12,2gl20)=0.25,P(Y=132)=1-0.04-0.12-0.25

=0.59,

・•・£（1）=96X0.04+108X0.12+120X0.25+132X0.59=124.68.

・•・东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大.

十技能提升练

4.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出实惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册

成为会员，对会员消费的不同次数赐予相应的实惠，标准如下：

消费次数第1次第2次第3次不少于4次

收费比例10.950.900.85

该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下:

消费次数1次2次3次不少于4次

频数6025105

假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.依据所给数据，回答下列问题：

⑴估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；

⑵某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；

⑶假设每个会员最多消费4次，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，从该游泳馆的

会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的肯定值为X

求X的分布列和均值£（%.

解（1）25+10+5=40,

即随机抽取的10（）位会员中，至少消费2次的会员有4（）位，

402

所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率片行=二

1UU□

⑵第1次消费时，80—30=50（元），所以游泳馆获得的利润为50元,

第2次消费时,80X0.95-30=46（元），所以游泳馆获得的利润为46元,

第3次消费时，80X0.90-30=42（元），所以游泳馆获得的利润为42元,

第4次消费时，80X0.85-30=38（元），所以游泳馆获得的利润为38元,

厂“50+46+42+38

因为-------；-------=44阮），

所以这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元.

⑶若会员消费1次，4=儒=也

3

则平均利润为5°元,其概率为3

cn_i_46好1

若会员消费2次，受/=48（元），月=需=1

乙1VU勺

则平均利润为48元，其概率为:；

甘人口、£，如C、&50+46+42“/_、c101

若玄贝洎费3次，=46（兀），月=I55=TU，

则平均利润为46元，其概率为高

北人日酒用「加50+46+42+38,一、__5__J_

若会员消费4次,一44（兀），AD—mjj一帚，

则平均利润为44元，其概率为

乙U

由题意知，%的全部可能取值为0,2,4,6.

且"（1=0）=5X5+4X44'T0XT0+20X20=200,

〃（42）=2氤鸿'需+导言|=£

/、/3111H29

/?（/=4）=2l5XW+4X20j=W

P（＞=6）=2X?X*卷

・•）的分布列为

0246

879293

P

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/人87,9,29.383

+2X-+4X—+6X-=-

夕拓展冲刺练

5.（2024•衡水中学押题卷）为了解2025届高三毕业学生的复习备考状况，某省甲、乙两市组

织了一次大联考.为比较两市本届高三毕业学生的数学优秀率，某教研机构从甲、乙两市参与

大联考的数学高分段（数学成果不低于100分）的学生中各随机抽取了10