2027版53B版新高考版数学总复习分层训练培优6　三角函数中ω的范围问题

专题四三角函数与解三角形培优6三角函数中ω的范围问题目录类型1区间一端为定值类型2区间两端都不定类型3非充要需检验类型1区间一端为定值1.(2025北京,8,4分)设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0).若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在

上存在零点,则ω的最小值为()A.8

B.6

C.4

D.3

C

解析

f(x)=sinωx+cosωx=

sin

,由f(x+π)=f(x)恒成立知,π是最小正周期的k倍(k∈N*),则

=π,即ω=2k(k∈N*).(*)由x∈

0,

得,ωx+

∈

,

+

,又f(x)在

0,

上存在零点,所以

+

≥π,解得ω≥3,结合(*)式可知ω的最小值为4,故选C.2.(2026浙江温州二模)已知函数f(x)=sin

ωx+

(ω>0)在区间

内恰有一个极值点,则ω可能的取值为

()A.

B.

C.2

D.4

C

解析由x∈

得ωx+

∈

,由f(x)在

内恰有一个极值点得

<

+

≤

π,解得

<ω≤

,故选C.3.(2026云南大理二模)若函数f(x)=

sinωx-cosωx(ω>0)满足f(x+π)=f(-x),且在

有唯一零点,则ω的最大值为

()A.

B.3

C.2

D.

A

解析

f(x)=

sinωx-cosωx=2sin

,由f(x+π)=f(-x)得直线x=

是函数f(x)图象的一条对称轴,则

-

=

+kπ,k∈Z,解得ω=

+2k,k∈Z.当x∈

时,ωx-

∈

-

,

-

,由函数f(x)在

有唯一零点,得0<

-

≤π,解得

<ω≤

,所以当k=1时,ω取得最大值

.故选A.4.(2026湖南长沙一中月考十)已知定义在[0,π)上的函数f(x)=cosωx-

sinωx(ω>0)有最小值,但无最大值,则ω的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

C

解析

f(x)=cosωx-

sinωx=2

cosωx-

sinωx

=2cos

ωx+

,因为x∈[0,π),ω>0,所以ωx+

∈

,因为f(x)有最小值,但无最大值,所以

<ωπ+

≤2π,解得

<ω≤

.故选C.5.(2026江苏扬州模拟)设f(x)=Asin(ωx+φ),且|φ|<

,已知f(x)的值域为[-2,2],f(0)=-1,若f(x)在区间[0,2π]上恰有3个零点,则正实数ω的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

B

解析因为f(x)的值域为[-2,2],所以A=2,因为f(0)=-1,所以2sinφ=-1,sinφ=-

,因为|φ|<

,所以φ=-

,则f(x)=2sin

.因为x∈[0,2π],所以ωx-

∈

-

,2ωπ-

,由题意得2π≤2ωπ-

<3π,解得

≤ω<

.故选B.6.(2026安徽合肥一中诊断)已知函数f(x)=sin

在(0,π)上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是

()A.

B.

∪

C.

∪

D.

∪

D

解析当ω>0时,由x∈(0,π)得ωx+

∈

,由f(x)在(0,π)上有且仅有3个零点得3π<ωπ+

≤4π,解得

<ω≤

.当ω<0时,由x∈(0,π)得ωx+

∈

,由f(x)在(0,π)上有且仅有3个零点得-3π≤ωπ+

<-2π,解得-

≤ω<-

.综上,ω的取值范围是

∪

.故选D.7.(2023新课标Ⅰ,15,5分)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则

ω的取值范围是_______________.

[2,3)

解析函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cosωx=1

(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,∵0≤x≤2π,∴0≤ωx≤2πω,∴4π≤2πω<

6π,即2≤ω<3,∴ω的取值范围为[2,3).8.(2026安徽芜湖一模)已知函数f(x)=sin

ωx+

(ω>0),x∈[0,π),关于x的方程2f2(x)-(2+

)f(x)+

=0有6个不同的实数根,则ω的取值范围为___________.解析由2f2(x)-(2+

)f(x)+

=[2f(x)-

][f(x)-1]=0解得f(x)=

或f(x)=1.由x∈[0,π)得ωx+

∈

,由题意知f(x)=

有4个不同实数根,且f(x)=1有2个不同实数根,根据正弦函数的图象知

<ωπ+

≤

,解得

<ω≤4.类型2区间两端都不定1.(2026陕西商洛一模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)

的最小正周期为T,若f(x)≤f

对任意的x∈R恒成立,且f(x)在区间

上单调递增,则ω的取值范围为()A.

B.

C.

∪

D.

∪

D解析因为T=

,f(x)≤f

对任意的x∈R恒成立,所以f

=f

=sin

=sin

=1,又0<φ<

,所以

+φ=

,即φ=

,所以f(x)=sin

.当x∈

时,ωx+

∈

ω+

,

ω+

,因为f(x)在区间

上单调递增,所以

k∈Z,解得12k-5≤ω≤8k+

,k∈Z.令k=0,得-5≤ω≤

,又ω>0,所以0<ω≤

;令k=1,得7≤ω≤

;当k≥2时,12k-5-

=4k-

>0,不合题意.综上,ω的取值范围为

∪

.故选D.2.(2026辽宁名校联盟联考)若函数f(x)=sin

(ω>0)的图象在区间

上恰好存在2个对称中心和1条对称轴,则ω的取值范围为

()A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

B

解析设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可知

<

<T,即

<

<

,解得4<ω<8,由正弦函数的图象可知,两个相邻对称中心之间必有一条对称轴.由sin

=0,得ωx-

=kπ,k∈Z,由x∈

,得ωx-

∈

-

,

-

,又4<ω<8,所以

<

-

<

,

<

-

<

,则

或

解得

<ω≤

或

<ω≤

,所以ω的取值范围为

∪

.故选B.类型3非充要需检验(2026天津十二校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)

ω>0,|φ|≤

,x=-

为f(x)的零点,x=

为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在

单调,则ω的最大值为()A.11

B.9

C.7

D.5

B

解析依题意得

T=

-

=

(k∈N),所以T=

,所以ω=

=2k+1,k∈N,又因为函数f(x)在

上单调,所以T>2

=

,所以

>

,所以k+

<6,解得k<5.5,又因为k∈N,所以①当k=5,即ω=11时,-

×11+φ=mπ(m∈Z),φ=mπ+

,m∈Z,又|φ|<

,故φ=-

,此时f(x)=sin

11x-