2027版53B版新高考版数学总复习分层训练4.1　三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换

专题四三角函数与解三角形4.1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换目录考点1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点2三角恒等变换五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式五年高考·考点练1.★(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则

()A.cos2α>0

B.cos2α<0

C.sin2α>0

D.sin2α<0

D

解析解法一:∵α是第四象限角,∴-

+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin2α<0,cos2α可正、可负、可为零.故选D.解法二:因为α是第四象限角,所以sinα<0,cosα>0,因此sin2α=2sinαcosα<0,故选D.2.★★(2024全国甲理,8,5分)已知

=

,则tan

=

()A.2

+1

B.2

-1

C.

D.1-

B

解析∵

=

,∴

=

,∴1-tanα=

,∴tanα=1-

.因此tan

=

=

=2

-1,故选B.3.★★★(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,则

=

()A.-

B.-

C.

D.

C

解析

=

=

=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=

=

=

=

.故选C.4.★★(2023全国乙文,14,5分)若θ∈

,tanθ=

,则sinθ-cosθ=_________.

- 

解析解法一:由tanθ=

,可得

=

,又sin2θ+cos2θ=1,θ∈

,所以sinθ=

,cosθ=

,所以sinθ-cosθ=

-

=-

.解法二:如图,构造Rt△ABC,其中AB=3,BC=1,B=

,则A=θ,AC=

,所以sinθ=

,cosθ=

,所以sinθ-cosθ=-

.

5.★★(2024北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边

关于原点对称,若α∈

,则cosβ的最大值为_________.

- 

解析∵角α与角β的终边关于原点对称,∴β=α+π+2kπ,k∈Z,∴cosβ=cos(α+π)=-cosα,∵

≤α≤

,∴

≤cosα≤

,∴-

≤cosβ≤-

,∴cosβ的最大值为-

.6.★★★(2023北京,13,5分)已知命题p:若α,β为第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.能说明

p为假命题的一组α,β的值为α=___________,β=__________________.

(答案不唯一)

解析第一象限角的集合是

θ

2kπ<θ<

+2kπ,k∈Z

,函数y=tanx的单调递增区间是

kπ-

,kπ+

(k∈Z),取α=

,β=

即可符合题意.考点2三角恒等变换1.★★(2025全国二卷,8,5分)已知0<α<π,cos

=

,则sin

=

()A.

B.

C.

D.

D

解析解法一:∵0<α<π,∴0<

<

,又∵cos

=

,∴sin

=

=

=

,∴sinα=2sin

cos

=

,cosα=cos2

-sin2

=-

,∴sin

=

(sinα-cosα)=

×

=

,故选D.解法二:∵cos

=

,∴cosα=2cos2

-1=-

,∵0<α<π,∴sinα=

=

,∴sin

=

(sinα-cosα)=

×

=

.2.★★(2023新课标Ⅱ,7,5分)已知α为锐角,cosα=

,则sin

=

()A.

B.

C.

D.

D

解析∵cosα=1-2sin2

=

,∴sin2

=

=

=

,∵α为锐角,∴

也为锐角,∴sin

=

.故选D.3.★★(2021全国甲,文11,理9,5分)若α∈

,tan2α=

,则tanα=

()A.

B.

C.

D.

A

解析∵tan2α=

,且α∈

,∴

=

,∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,(利用二倍角的正弦公式与两角差的余弦公式化简)又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=

,∴cosα=

,tanα=

.故选A.4.★★(2026全国Ⅱ卷,7,5分)已知α为第二象限角,3sin2αcosα=8sinαcos2α,则

=

()A.

B.

C.

D.

C

解析∵3sin2αcosα=6sinαcos2α,8sinαcos2α=8sinα(2cos2α-1),∴6sinαcos2α=8sinα(2cos2α-1),又α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴3cos2α=4(2cos2α-1),即cos2α=

,∴cosα=-

,由sin2α+cos2α=1,得sinα=

,∴

=

=

=

,故选C.5.★★(2024新课标Ⅰ,4,5分)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=()A.-3m

B.-

C.

D.3m

A

解析因为tanαtanβ=2,所以

=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,所以cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.故选A.6.★★★(2023新课标Ⅰ,8,5分)已知sin(α-β)=

,cosαsinβ=

,则cos(2α+2β)=

()A.

B.

C.-

D.-

B

解析∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=

,cosαsinβ=

,∴sinαcosβ=

+

=

,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-

=

,故选B.7.★★★(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2

cos

sinβ,则

()A.tan(α-β)=1

B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1

D.tan(α+β)=-1

C

解析由已知,得sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)·sinβ.化简,得sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0.所以tan(α-β)=-1.故选C.8.★★(2024新课标Ⅱ,13,5分)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=4,tanα·

tanβ=

+1,则sin(α+β)=_________.

- 

解析

tan(α+β)=

=

=-2

,又∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴α+β为第四象限角,又cos2(α+β)=

=

=

=

,∴sin(α+β)=-

=-

.三年模拟·限时练基础强化练

限时40分钟1.(2026河北唐山二模)已知sinθ=-sin2θ,θ∈

,则tanθ=

()A.-

B.-1

C.-

D.-2

C

解析由sinθ=-sin2θ得sinθ=-2sinθcosθ,因为θ∈

,所以sinθ>0,则cosθ=-

,θ=

,则tanθ=tan

=-

.故选C.2.(2026安徽合肥二模)已知

=1,则sin2α=

()A.

B.

C.

D.

C

解析

=

=

=

=1,所以sinα-cosα=

,则(sinα-cosα)2=

,即1-2sinαcosα=1-sin2α=

,解得sin2α=

.故选C.3.(2026山西大同一模)已知

=-1,则tan

=

()A.-3

B.-

C.-

D.-7

C

解析因为

=-1,所以

=-1,所以tanα=2,所以tan2α=

=-

,所以tan

=

=

=-

.4.(2026安徽六安期末联考)在平面直角坐标系中,角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的

非负半轴重合,终边经过点P(-2,-2

),将角α的终边按照顺时针方向旋转15°后得到角β,则cosβ+sinβ的值为

()A.

B.

C.0

D.-

D

解析因为角α的终边经过点P(-2,-2

),所以tanα=

=

,且为第三象限角,所以α=

+2kπ,k∈Z,因为将角α的终边按照顺时针方向旋转15°后得到角β,所以β=α-

=

+2kπ,k∈Z,所以cosβ+sinβ=

sin

=

sin

=

sin

+2kπ

=

sin

=-

,k∈Z.故选D.5.(2026四川内江二模)已知sin

=

,α∈(0,π),则sin2α=

()A.

B.

C.-

D.-

B

解析解法一:因为sin

=

,所以

(cosα-sinα)=

,所以cosα-sinα=

,所以(cosα-sinα)2=1-sin2α=

,所以sin2α=

.解法二:因为sin

=

,所以cos

=1-2sin2

=1-2×

=

,又cos

=cos

=sin2α,所以sin2α=

.6.(2026湖南岳阳一模)已知α∈

,β∈(0,π),sinα=

,sin(α+β)=

,则cosβ=()A.-

B.

C.-

D.

或-

C

解析因为α∈

,sinα=

,所以cosα=

=

=

,因为α+β∈

,sin(α+β)>0,所以α+β∈(0,π),又sin(α+β)<sinα,所以α+β∈

,cos(α+β)<0,所以cos(α+β)=-

=-

=-

,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα=

×

+

×

=-

.故选C.7.(2026广东江门一模)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检

测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,定义余弦

相似度为cos(A,B)=cos<

,

>(其中<

,

>为向量

,

的夹角),余弦距离为1-cos(A,B).已知M(cosα,sinα),N(0,1),若M,N的余弦距离为

,则sin

=()A.-

B.-

C.

D.

C

解析由题意得1-cos(M,N)=1-cos<

,

>=1-

=1-sinα=

,则sinα=

,所以sin

=cos2α=1-2sin2α=

.故选C.8.(2026湖北楚天协作体二模)已知α,β均为锐角,sinα=

,sin(α-β)=-

,则tan(α+β)=

()A.

B.-

C.-

D.-

D

解析因为α,β为锐角,所以0<α<

,0<β<

,所以-

<α-β<

,所以cos(α-β)>0.因为sinα=

,所以cosα=

=

,则tanα=

=2,因为sin(α-β)=-

,所以cos(α-β)=

=

,则sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=

×

-

×

=

,所以cosβ=

=

,则tanβ=

=7,则tan(α+β)=

=

=-

.9.(多选)(2026山西晋中部分学校联考)下列各式化简结果为-

的有

()A.3cos275°-sin275°-1

B.

C.

D.

ACD

解析对于A,3cos275°-sin275°-1=2cos275°-1+(cos275°-sin275°)=cos150°+cos150°=2×

=-

,A符合题意;对于B,

=

=

=cos150°=-

≠-

,B不符合题意;对于C,

=

=

=

=

·

=

·

=-

,C符合题意;对于D,

=

=

=-

,D符合题意.故选ACD.10.(2026陕西榆林一模)已知

=2,则tan

=_________.

-2

解析因为

=2,所以

=2,即tanθ=3,所以tan

=

=

=-2.11.(2026江苏苏锡常镇四市调研一)求值:

=___________.解析解法一:利用特殊角进行凑角

=

=

=

=

=

·

=

.解法二:由积化和差公式,降幂公式化简原式=

=

=

=

=

=

.12.(2026四川攀枝花一模)若cos

=

,则sin

=___________.解析因为

-2θ=

-2

,所以sin

=sin

=-cos

=1-2cos2

=1-2×

=

.13.(2026浙江杭州期末)已知sin(α+β)=

,2tanα=tanβ,则cos(2α-2β)=___________.解析∵tanβ=2tanα,∴

=

,即sinβcosα=2sinαcosβ.又sin(α+β)=

,则sinαcosβ+cosαsinβ=

,∴sinαcosβ=

,sinβcosα=

,∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=

-

=-

.∴cos(2α-2β)=cos[2(α-β)]=1-2sin2(α-β)=1-2×

=

.综合提升练

限时40分钟1.(2026云南昆明一模)在△ABC中,若sinA+sinB=

,cosA+cosB=

,则sinC=

()A.

B.

C.

D.

A

解析设α=

,β=

,则sinA+sinB=sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ=

①,cosA+cosB=cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ=

②,①÷②得

=5.解法一:

=

=

=

=5,即tan

=

,又因为tanC=

=

,所以

=

,则cosC=

sinC,因为sin2C+cos2C=1,所以sin2C+

=1,由C∈(0,π),解得sinC=

.解法二:tan

=5,则sin

=

,cos

=

,故sinC=sin(A+B)=2sin

cos

=2×

×

=

.故选A.2.(2026云南名校联盟联考)若

<α-β<

,cosα-2sinβ=

,sinα+2cosβ=-1,则sin

=()A.

B.

C.-

D.-

D

解析由

得

所以4sinαcosβ-4cosαsinβ+5=3,可得sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=-

,由

<α-β<

,得α-β=

π,故β=α-

π,代入cosα-2sinβ=

,得cosα-2sin

=

,所以cosα+2sin

=

,则cosα+2sin

=

,所以cosα+2sinαcos

-2cosαsin

=

sinα=

⇒sinα=

,所以sin

=sin

=-sinα=-

.3.(2026山东枣庄一模)记函数f(x)=3sinx-4cosx-4,x∈[0,π]的两个零点为x1和x2,则

()A.cos

=-

B.sin

=

C.cos(x1+x2)=-

D.sin(x1+x2)=-

D解析令f(x)=3sinx-4cosx-4=0,得cosx=

sinx-1,由

解得

或

不妨设x1<x2,则

又x1,x2∈[0,π],则x1∈

,x2=π.对于C,cos(x1+x2)=cos(x1+π)=-cosx1=

,故C错误.对于D,sin(x1+x2)=sin(x1+π)=-sinx1=-

,故D正确.对于A,B,因为x1∈

,则

∈

.由cosx1=1-2sin2

=2cos2

-1,可得sin

=

=

,cos

=

=

,则cos

=cos

=-sin

=-

,sin

=sin

=cos

=

,故A,B错误.故选D.4.(2026山东临沂一模)已知锐角α,β满足sin(α+β)=3sin(α-β),则sin(α-β)的最大值是

()A.

B.

C.

D.

D

解析由sin(α+β)=3sin(α-β)得sinαcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ,即sinαcosβ

=2cosαsinβ,由α,β为锐角,得tanα=2tanβ,设tanβ=t,t>0,则tanα=2t,sinα=

,cosα=

,sinβ=

,cosβ=

,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=cosαsinβ=

·

,令f(t)=

·

=

=

≤

=

,当且仅当t=

时取等号.故sin(α-β)的最大值为

.5.(2026山东东营模拟)某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园,如图所示.这条河

两岸所在直线l1,l2互相平行,桥DE与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三

角形,它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,C处,其中入口A(定点)在桥DE上,且

A到直线l1,l2的距离分别为h1,h2(h1,h2为定值),入口B,C分别在直线l2,l1上,公园的一边AB与

直线l2所成的锐角∠ABD为α,另一边AC与AB垂直.设该休闲公园的面积为S(α),当α变化

时,下列说法正确的是

()

D

A.函数S(α)的最大值为h1h2B.函数S(α)的最小值为

C.若α1,α2∈

且α1<α2,则S(α1)<S(α2)D.若α1,α2∈

且α1+α2=

,则S(α1)=S(α2)解析在Rt△ABD中,根据正弦函数的定义得AB=

.因为∠BAC=

,∠BAD=

-α,所以∠CAE=α,在Rt△ACE中,根据余弦函数的定义得AC=

.所以S(α)=

·AB·AC=

·

·

=

=

,α∈

.对于A,由α∈

,得2α∈(0,π),sin2α∈(0,1].所以sin2α无最小值,S(α)=

没有最大值,故选项A错误.对于B,S(α)=

,sin2α∈(0,1],当sin2α=1,即2α=

,α=

时,S(α)取得最小值h1h2,故选项B错误.对于C,当α∈

时,2α∈

,y=sin2α单调递增,S(α)=

单调递减;当α∈

时,2α∈

,y=sin2α单调递减,S(α)=

单调递增.所以若α1,α2∈

且α1<α2,不一定有S(α1)<S(α2),故选项C错误.对于D,若α1,α2∈

且α1+α2=

,则2α1+2α2=π,sin2α1=sin(π-2α2)=sin2α2.因为S(α1)=

,S(α2)=

,所以S(α1)=S(α2),故选项D正确.故选D.6.(多选)(2026安徽黄山一模)A是△ABC的最大内角,且sin2A+sin2B+sin2C=2,AB·AC=1,则

下列结论正确的是

()A.△ABC可能为锐角三角形B.sin2B+sinC的最大值为

C.△ABC面积的最小值为

D.tanB+tanC的最小值为2

BD

解析对于A,由sin2A+sin2B+sin2C=sin2(B+C)+sin2B+sin2C=(sinBcosC+cosBsinC)2+sin2B+sin2C=sin2Bcos2C+2sinBcosBsinCcosC+cos2Bsin2C+sin2B+sin2C=2,则2sinBcosBsinCcosC=1-sin2B+1-sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C,即2sinBcosBsinCcosC=cos2B+cos2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C,所以2sinBcosBsinCcosC=cos2B(1-sin2C)+cos2C(1-sin2B)=2cos2Bcos2C,则cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)=cosBcosCcos(B+C)=-cosAcosBcosC=0,即cosAcosBcosC=0,由于A是△ABC的最大内角,则B∈

,C∈

,所以cosB>0,cosC>0,则cosA=0,即A=

,故△ABC为直角三角形,故A中结论错误.对于B,由于A=

,则B+C=

,即sinC=sin

=cosB,又B∈

,则cosB∈(0,1),所以sin2B+sinC=1-cos2B+cosB=

+

,则cosB=

时,sin2B+sinC取得最大值

,故B中结论正确.对于C,由于A=

,AB·AC=1,则△ABC的面积为

AB·AC=

,故C中结论错误.对于D,由于A=

,则B+C=

,即tanC=tan

=

=

=

,又B∈

,则tanB∈(0,+∞),所以tanB+tanC=tanB+

≥2

=2,当且仅当tanB=

,即tanB=1时等号成立,则tanB+tanC的最小值为2.故D中结论正确.故选BD.