2027版53B版新高考版数学总复习分层训练8.3　双曲线

专题八平面解析几何8.3双曲线目录考点1双曲线的定义和标准方程考点2双曲线的几何性质五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1双曲线的定义和标准方程五年高考·考点练1.★★(2022天津,7,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4

x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=

,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-y2=1

D.x2-

=1

D

解析由y2=4

x知,准线方程为x=-

,故c=

.由

-

=1(a>0,b>1)知,双曲线的渐近线方程为y=±

x,由双曲线的对称性不妨设点A在x轴上方,则A

,在Rt△F2F1A中,由∠F1F2A=

,得

=2c,结合a2+b2=c2=5,得a=1,b=2,故双曲线的方程为x2-

=1.故选D.2.★★(2024天津,8,5分)双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1

A

解析由已知,得∠F1PF2=90°.由直线PF2的斜率为2,得|PF1|=2|PF2|,又由双曲线的定义

知|PF1|-|PF2|=2a,从而|PF1|=4a,|PF2|=2a,故△PF1F2的面积为

|PF1|·|PF2|=

×4a×2a=4a2,则有4a2=8,a2=2,在Rt△F1PF2中,

=|PF1|2+|PF2|2=20a2,则4c2=20a2,即c2=5a2,则b2=c2-a2=4a2=8,故双曲线的方程为

-

=1.3.★★★(2023天津,9,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1和F2.过F2向一条渐近线作垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为

,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1

D

解析由题意知|PF2|=b(双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长),又|PF2|=2,∴b=2.在Rt△POF2中,|PF2|=b,|PO|=a,|OF2|=c,∴

ab=

|yP|c,即|yP|=

,又∵

=

>0,∴点P在第一象限,点P所在渐近线方程为y=

x,∴P

,∵

=

=

,即4ab=

(a2+c2),∴8a=

(2a2+4),即a2-2

a+2=0,∴a=

,∴双曲线的方程为

-

=1,故选D.

4.★★(2023北京,12,5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为

,则C的方程为_______________.

- =1

解析由题意设双曲线C的标准方程为

-

=1(a>0,b>0),由题意知c=2,

=

,则a=

,又c2=a2+b2,∴b2=2,则C的方程为

-

=1.考点2双曲线的几何性质1.★(2025全国一卷,3,5分)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的

倍,则C的离心率为

()A.

B.2

C.

D.2

D

解析设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c.由题意得,2b=2

a,则

=

,则离心率e=

=

=

=

=2

.故选D.2.★(2026全国Ⅱ卷,4,5分)设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)经过点(1,0)和点

,则C的渐近线方程为

()A.y=±3

x

B.y=±2

x

C.y=±

x

D.y=±

x

B

解析由双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)经过点(1,0),得a=1,将

代入方程得

-

=1,解得b=2

.由双曲线的渐近线方程为y=±

x,得y=±2

x.故选B.3.★★(2024全国甲理,5,5分)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双

曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4

B.3

C.2

D.

C

解析由已知得c=4,2a=|

-

|=4.∴a=2,∴离心率e=

=

=2.4.★★(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线

-

=1的一条渐近线的距离为

()A.

B.

C.

D.

A解析双曲线

-

=1的渐近线方程为y=±

x,根据对称性,不妨取y=

x,即3x-4y=0.点(3,0)到直线3x-4y=0的距离d=

=

,故选A.5.★★(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.

A

解析解法一:设双曲线C的标准方程为

-

=1(a>0,b>0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|

2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos60°,可得

=

,所以双曲线C的离心率e=

=

.故选A.解法二:因为|PF1|=3|PF2|,所以可设|PF2|=m,|PF1|=3m.在△PF1F2中,|F1F2|=

=

m,所以双曲线C的离心率e=

=

=

=

=

.故选A.6.★★(2021天津,8,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=

|AB|,则双曲线的离心率为

()A.

B.

C.2

D.3

A

解析第一步:求|AB|.由已知可得抛物线的准线过双曲线的左焦点,∴抛物线的准线方程为x=-c,将其与双曲

线方程联立可得两交点坐标为

,

,∴|AB|=

,第二步:求|CD|,从而得到b,c的关系.将x=-c与双曲线的两渐近线方程y=±

x分别联立可得两交点坐标为

,

,∴|CD|=

,∵|CD|=

|AB|,∴

=

·

,即c=

b,第三步:求离心率.又∵b2=c2-a2,∴a=b,∴e=

=

,故选A.7.★★(2023全国甲,文9,理8,5分)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为

,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=

()A.

B.

C.

D.

D

解析由双曲线方程可知e=

=

,∴

=2,由图形知与圆相交的渐近线方程为y=2x,即2x-y=0,又圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=

=

,∴|AB|=2

=

,故选D.8.★★★(2023全国乙,文12,理11,5分)设A,B为双曲线x2-

=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是

()A.(1,1)

B.(-1,2)

C.(1,3)

D.(-1,-4)

D

解析解法一:由双曲线方程x2-

=1知a=1,b=3,则其渐近线方程为y=±3x.观察选项知,四个点均在双曲线外,∴点A,B分别在双曲线的两支上,所以-3<kAB<3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

作差得(

-

)-

=0,则kAB=

=

.对于A,

则kAB=9,∵kAB=9>3,∴A不满足题意.对于B,

则kAB=-

,∵kAB=-

<-3,∴B不满足题意.对于C,

则kAB=3,∴C不满足题意.对于D,

则kAB=

,则直线AB的方程为y+4=

(x+1),即y=

x-

.由

消去y,得63x2+126x-193=0,∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x1x2<0,∴直线AB与双曲线的两支分别相交,∴D满足题意.故选D.解法二:设AB的中点为P(m,n),则可假设以P为中点的两个点A(m+x,n+y),B(m-x,n-y)在双曲线上,则

①+②得x2+m2-

=1③,①-②得mx-

=0,即9mx=ny④.考虑参数替换,由④设

(k≠0),代入③得k2n2+m2-

=1,化简得(1-9k2)

=1,∵k≠0,∴1-9k2<1,因此当

或

时,存在k以及满足要求的点A,B.结合选项可知,A,B,C,D四个选项对应的m2-

的值分别为

,

,0,-

,因此正确选项为D.9.★★★★(多选)(2025全国二卷,11,6分)双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且

∠NA1M=

,则

()A.∠A1MA2=

B.|MA1|=2|MA2|C.C的离心率为

D.当a=

时,四边形NA1MA2的面积为8

ACD

解析不妨设以F1F2为直径的圆与渐近线y=

x交于M,N.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,A1(-a,0),A2(a,0).对于A,由|OA1|=|OA2|,|OM|=|ON|,得四边形MA1NA2是平行四边形,则∠NA1M+∠A1MA2=π,

又∠NA1M=

,所以∠A1MA2=

,A正确;对于B,由

得

不妨取M(a,b),又A1(-a,0),A2(a,0),则MA2⊥A1A2,所以cos∠A1MA2=

,即cos

=

,所以|MA2|=

|MA1|,B错误;对于C,在Rt△MA1A2中,∠A1MA2=

,|MA2|=b,|A1A2|=2a,所以tan

=

,则

=2

,所以离心率e=

=

=

=

,C正确;对于D,当a=

时,由C知

=2

,所以b=2

,则四边形NA1MA2的面积为2×

|A1A2|·|MA2|=2

×2

=8

,D正确.故选ACD.10.★(2026全国Ⅰ卷,12,5分)双曲线5x2-6y2=1的离心率为___________.解析解法一:双曲线标准方程为

-

=1,则a2=

,b2=

,所以c2=a2+b2=

+

=

,所以e2=

=

=

,所以双曲线的离心率e=

.解法二:双曲线的标准方程为

-

=1,则a2=

,b2=

,所以e=

=

.11.★★(2024新课标Ⅰ,12,5分)设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为___________.解析如图所示,在△AF1F2中,|F1A|=13,|AF2|=

|AB|=5,∠AF2F1=90°,

∴|F1F2|=

=12,设双曲线的焦距为2c,则2c=12,c=6.又2a=|F1A|-|F2A|=13-5=8,∴a=4,因此C的离心率e=

=

.12.★★(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为______________,_______________.

y=- x

y= x

解析因为双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e=

=

=2,所以

=3,所以该双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x.13.★★(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F为双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为___________.

2

解析由A为C的右顶点得A(a,0),由F(c,0),B是C上的点,且BF⊥x轴得B

.∵AB的斜率为3,∴

=3,即

=

=e+1=3,∴e=2.14.★★★(2022浙江,16,4分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为

的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是___________.解析如图所示,

由题意得双曲线左焦点为F(-c,0),点B所在的渐近线方程为y=

x,过F且斜率为

的直线方程为y=

(x+c),联立

得B

,由|FB|=3|FA|,可得A

,又A在双曲线上,所以

-

=1,化简得

=

,则e=

.15.★★★(2022全国甲文,15,5分)记双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值___________________________________.

2(答案不唯一,在(1, ]范围内取值均可)

解析欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则0<

≤2,所以e=

=

=

∈(1,

].所以当e∈(1,

]时,直线y=2x与双曲线C无公共点.答案不唯一,可取e=2.16.★★★(2023新课标Ⅰ,16,5分)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,

⊥

,

=-

,则C的离心率为___________.解析解法一:如图,由题可知|F1B|=|F2B|.设|F1B|=|F2B|=m(m>0),∵

=-

,∴A,F2,B三点共线,|F2A|=

,∴|AB|=|F2A|+|F2B|=

,∴|F1A|=

=

=

,又2a=|F1A|-|F2A|=

,∴m=3a.∴|F1A|=4a,|F2A|=2a,|AB|=5a,又|F1F2|=2c,cos∠F1AB=

=

,∴

=

=

,整理得

-

=

,即e2=

.∵e>1,∴e=

.

解法二:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2=

=

=

,∴在△AF1F2中,cos∠F1AF2=

=

,整理得5c2=9a2,故e=

=

.三年模拟·限时练基础强化练

限时50分钟1.(2026河南百师联盟联考)若方程

+

=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是

()A.(-2,5)

B.(5,+∞)C.(-∞,-2)∪(5,+∞)

D.(-∞,-2)

B

解析因为方程

+

=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以

解得m>5,故选B.2.(2026福建厦门开学联考)双曲线C:y2-

=1的两条渐近线的夹角为

()A.

B.

C.

D.

B

解析令y2-

=0,得双曲线的渐近线方程为y=±

x,又渐近线y=

x的倾斜角为

,所以由双曲线的对称性可知双曲线C的两条渐近线的夹角为

.故选B.3.(2026湖北鄂州质检)双曲线x2-

=λ(λ<0)的离心率为

,则m的值为

()A.

B.

C.2

D.4

D

解析因为x2-

=λ(λ<0),所以

-

=1(λ<0),所以a2=-mλ,b2=-λ,所以e=

=

=

=

,解得m=4.4.(2026河南焦作一模)已知双曲线C:

-

=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在C上,若∠F1PF2=

,则△PF1F2的面积为

()A.

B.4

C.

D.2

D

解析设|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线定义可得|m-n|=2×

=4,|F1F2|=2×

=2

,则(m-n)2=m2+n2-2mn=16,由余弦定理的推论得cos∠F1PF2=

=

,即m2+n2-mn=24,则mn=24-16=8,故

=

mnsin∠F1PF2=

×8×

=2

.小题速解由双曲线焦点三角形面积公式可得

=

=

=2

.5.(2026河北石家庄精英中学四调)已知双曲线E:

-

=1,F1,F2分别为其左、右焦点,P为双曲线E上一点,且|PF1|=8,则|PF2|=()A.2

B.14

C.2或14

D.4或14

C

解析因为双曲线E的方程为

-

=1,所以a=3,b=2,则c=

=

,故F1(-

,0),F2(

,0).如图①,若点P在左支上,则

=c-a=

-3,

=c+a=

+3,由双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a=6,因为|PF1|=8,所以|PF2|=14,8>

-3,14>

+3,所以符合题意.

如图②,若点P在右支上,则

=c+a=

+3,

=c-a=

-3,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=6,因为|PF1|=8,所以|PF2|=2.因为8>

+3,2>

-3,所以符合题意.综上,|PF2|=2或14.故选C.易错警示忽略焦半径范围及点P在双曲线左支的情况.6.(2026江西赣州期末)双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=

x,且过点(

,

),则双曲线C的方程为

()A.2x2-y2=1

B.x2-

=1C.5x2-4y2=1

D.

-

=1

B

解析

由题意得

解得

故双曲线C的方程为x2-

=1.一题多解因为双曲线C的一条渐近线方程为y=

x,所以设双曲线C的方程为3x2-y2=m(m≠0),又双曲线过点(

,

),所以m=3,故双曲线C的方程为x2-

=1.故选B.总结归纳已知双曲线渐近线求解双曲线的方程若双曲线的渐近线方程为ax±by=0,则可将双曲线的方程设为a2x2-b2y2=m(m≠0);若双曲线的渐近线方程为y=kx,则可将双曲线的方程设为k2x2-y2=m(m≠0).7.(2026河南许昌质检)已知双曲线

-

=1(b>0),AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦,若点A,B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2,则其离心率为

()A.

B.

C.

D.2

B

解析由双曲线的方程

-

=1(b>0)知渐近线方程为y=±

x,设F(c,0)(c>0),因为AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦,所以不妨令A

,B

,过A,B分别作渐近线y=

x,即bx-2y=0的垂线,垂足分别为A1,B1,如图,

则|AA1|=

,|BB1|=

.所以|AA1|+|BB1|=2,即

+

=

=

=2,整理得b2+4=b2c2.将b2=c2-4代入上式得c2-4+4=(c2-4)c2,解得c2=5,所以c=

,所以离心率e=

=

.小题速解因为焦点F为AB的中点,焦点F到渐近线的距离为b,所以点A,B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2b=2,(提示:梯形中位线定理)所以

b=1,所以e=

=

=

.8.(2026河北唐山一模)等轴双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆O与双

曲线C交于M,N,P,Q四点.设四边形MNPQ的面积为S1,圆O的面积为S2,O为坐标原点,则

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

B

解析因为双曲线C为等轴双曲线,则a=b,c=

=

a,则双曲线C:x2-y2=a2,圆O:x2+y2=2a2,联立

解得

则四边形MNPQ的面积为S1=4|x|·|y|=2

a2,又圆O的面积为S2=π(2a2)=2πa2,所以

=

=

.9.(多选)(2026浙江宁波模拟)若a,b是两个不相等的正实数,则双曲线C1:

-

=1与双曲线C2:

-

=1的

()A.实轴长相等

B.焦距相等C.离心率相同

D.渐近线相同

BD

解析

C1,C2的实轴长分别为2a,2b,且a≠b,故A错误;C1,C2的焦距分别为2

=2c,2

=2c,相等,故B正确;C1,C2的离心率分别为

,

,不相同,故C错误;C1,C2的渐近线分别为y=±

x,y=±

x,相同,故D正确.10.(多选)(2026山东济宁一模)已知双曲线C:

-

=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l与C的右支交于点P,则()A.C的离心率为

B.-

<k<

C.

·

的最小值为-9D.若以实轴为直径的圆与l相切,则cos∠F1PF2=

BCD

解析对于A,由双曲线方程

-

=1,可得a2=4,b2=9,c2=a2+b2=4+9=13,所以离心率为e=

=

,故A错误;对于B,F1(-

,0),则直线l:y=k(x+

),联立直线l与双曲线的方程可得,(9-4k2)x2-8

k2x-4(13k2+9)=0,则Δ=(-8

k2)2-4(9-4k2)[-4(13k2+9)]=1296(k2+1)>0,-

<0,9-4k2≠0,解得-

<k<

,故B正确;

另解:因为直线l与双曲线右支交于一点,所以|k|<

,解得-

<k<

对于C,设P(x,y),则

=(-

-x,-y),

=(

-x,-y),所以

·

=x2+y2-13,由P在双曲线上可得y2=

-9,则

·

=

-22,又x≥2,则当x=2时,取得最小值,为-9,故C正确;对于D,以实轴为直径的圆,圆心为原点(0,0),半径r=a=2,因为直线l与圆相切,则由点到直线的距离公式,得

=2⇒13k2=4(k2+1)⇒k2=

⇒k=±

,由对称性不妨取k=

,则l:y=

(x+

),将y=

(x+

)代入双曲线方程,可得65x2-32

x-532=0,解得xP=

,yP=

,所以|PF1|=

=9,|PF2|=

=5,又|F1F2|=2c=2

,则cos∠F1PF2=

=

,故D正确.归纳总结借助渐近线分析直线与双曲线的交点个数1.当直线l过原点时,若其斜率k∈

∪

,则直线l与双曲线没有交点,如图1;若k∈

,则直线l与双曲线有两个关于原点对称的交点,如图2.2.当直线l过双曲线内部定点P时,若直线l的斜率k=±

,即l与渐近线平行,则l与双曲线有1个交点,如图3中的l1和l2;若直线l的斜率k∈

,则直线l与双曲线的两支各有1个交点,如图3中的l;若k∈

∪

,则直线与双曲线的同支有2个交点,如图4中的l.

3.当直线过双曲线外部定点P(不与原点重合)时,分析交点个数还需借助切线(过点P与

双曲线相切的直线).11.(2026江苏南通一调)梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,线段AC交以A,B为焦点且过C,D的双

曲线于点E,若

=

,则双曲线的离心率为___________.解析由题设,作符合题意的示意图,如图所示,A(-c,0),B(c,0),设双曲线方程为

-

=1,a>0,b>0,

由|AB|=2|CD|=2c,得|CD|=c,令x=

,可得y=±b

,故C

,又

=

,则

=

,即(xE+c,yE)=

,则xE=-

,yE=

,所以E

,由E在双曲线上,可得

·

-

=1,整理得

=7,即e2=7,又e>1,则e=

.一题多解作符合题意的图形,如图,连接BE,设AC,CD与y轴分别交于M,N,|AE|=2x,|EC|

=3x,因为在梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,所以

=

=2,所以|MC|=

,所以cos∠CAB=cos∠NCM=

=

①,因为C,E在双曲线上,所以|BE|=2x+2a,|BC|=5x-2a,所以cos∠CAB=

②,cos∠CAB=

③,由①②整理后得5b2-3c2=10ax,由②③整理后得3b2=20ax,消去x得7b2=6c2,又c2=a2+b2,所以7a2=c2,则e=

=

.综合提升练

限时40分钟1.(2026广东适应性测试)记双曲线E:

-

=1的右焦点为F,A(3,2),P为E上一点,则|PA|+|PF|的最小值为

()A.2

B.2

-4

C.2

D.2

+2

B

解析记E的左焦点为F0,则F0(-3,0),由

-

>

>1,知点A在E右支的右侧,如图.

则|PA|+|PF|=|PA|+|PF0|-2×2≥|AF0|-4=

-4=2

-4.当且仅当A,P,F0三点共线时,等号成立,则|PA|+|PF|的最小值为2

-4.故选B.2.(2026湖北襄阳调研)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左焦点F1和右焦点F2,P为椭圆C1

与双曲线C2在第一象限内的公共点,设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,且

=

,若∠F1PF2=

,则双曲线C2的渐近线方程为

()A.y=±3x

B.y=±

x

C.y=±

x

D.y=±2x

B

解析设椭圆C1的方程为

+

=1(a1>b1>0),双曲线C2的方程为

-

=1(a2>0,b2>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),由e1=

,e2=

,

=

,得

=

,则a1=3a2,因为|PF1|+|PF2|=2a1=6a2,|PF1|-|PF2|=2a2,所以|PF1|=4a2,|PF2|=2a2,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+

-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即(2c)2=

+

-2×4a2×2a2×

,c2=3

,

=c2-

=2

,则b2=

a2,则双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x,故选B.小题速解将

=

,∠F1PF2=

代入结论

+

=2中,整理后得

=3,所以

=

-1=2,则双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x.知识拓展若椭圆C1与双曲线C2有相同的左焦点F1和右焦点F2,P为椭圆C1与双曲线C2

在第一象限内的公共点,设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,∠F1PF2=θ,则

+

=2.3.(2026浙江宁波期末)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,左、右焦点分别是F1,F2.若C的渐近线方程为y=±

x,焦距为4,动点P满足

·

=5,则

()A.

·

=9

B.|

+

|=8C.3≤

·

≤9

D.5≤|

+

|≤7D

解析由已知得

解得

则双曲线C的方程为x2-

=1.设P(x,y),因为

·

=5,所以(-2-x,-y)·(2-x,-y)=5,即x2+y2=9,故点P的轨迹是以O(O为坐标原点)为圆心,3为半径的圆.

·

=

-

=8(极化恒等式),A错误.|

+

|=2|

|=6,B错误.设线段F1A2的中点为Q,则|

|∈

.

·

=

-

=

-

,故

·

∈[4,10],C错误.|

+

|=2|

|∈[5,7],D正确.故选D.

4.(2026福建泉州质量检测(二))双曲线C的对称中心为坐标原点O,焦点为F1,F2,过F1的直

线l与C的一条渐近线平行.若l与以O为圆心,|F1F2|为半径的圆相交于P,Q两点,且4|PQ|=7|F1F2|,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.4

D

解析设双曲线C的标准方程为

-

=1(a>0,b>0),由题意可知双曲线的焦距为|F1F2|=2c,因为4|PQ|=7|F1F2|,所以|PQ|=

=

,不妨设F1为双曲线的左焦点,则F1(-c,0),取双曲线的一条渐近线y=

x,则可知直线l的斜率为

,则直线l的方程为y=

(x+c),即bx-ay+bc=0,由点到直线的距离公式得原点到直线l的距离d=

=

=b,过O作OH⊥l于点H,连接OP,则|OP|2-|OH|2=|PH|2,因为|OP|=2c,|OH|=b,|PH|=

=

,所以4c2-b2=

,化简可得15c2=16b2,又b2=c2-a2,所以15c2=16(c2-a2),则

=16,则e=

=

=

=4.故选D.5.(2026广东汕头一模)若双曲线E:

-

=1(a>0,b>0)存在以(3a,a)为中点的弦,则离心率的取值范围是

()A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

C

解析若点(3a,a)在右焦点所对的双曲线内部,则必存在以(3a,a)为中点的弦,此时

-

>1,解得

<8,则

>

,所以e=

=

>

=

,符合题意;若点(3a,a)在右焦点所对的双曲线外部,则1<e<

,设以(3a,a)为中点的弦与双曲线E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=6a,y1+y2=2a,

-

=1,

-

=1,两式作差得

-

=0,则kAB=

=

=

,因为存在该中点弦,所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点,则

<

,解得0<

<

,所以0<

<

,则e=

=

∈

,符合题意.综上,离心率的取值范围是

∪

.故选C.6.(多选)(2026广东深圳一模)设双曲线Γ:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2.过F1的直线l

与Γ的两条渐近线的交点分别为A,B,A为F1B的中点,O为坐标原点.则

()A.△AOB是直角三角形

B.△BOF2是等腰直角三角形C.|AB|=

D.直线l的斜率为±

ABD

解析如图,

由a=b=1,得c=

,∠BOF2=∠AOF1=

,则∠AOB=

,所以△AOB是直角三角形,A正确;连接BF2,由于OA为△F1F2B的中位线,则OA∥BF2且|OA|=

|BF2|,所以∠BF2O=∠AOF1=

,于是△BOF2为等腰直角三角形,B正确;由|OF2|=c,得|OB|=|BF2|=

c,|OF1|=c,则|OA|=

c,|AB|=

=

c=

,则C错误;在△F1OA中,由正弦定理得

=

⇒

=

,则sin∠AF1O=

,于是tan∠AF1O=

,由对称性可知,l的斜率为±

,D正确.7.(2026湖北恩施质检二)双曲线

-

=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线右支上一点M满足MF1⊥MF2,则直线MF2的斜率为___________.

-2或2

解析设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义及勾股定理得

可得mn=8a2,

设∠MF2F1=α,则tanα=

,

>1.又

+

=

=

,即tanα+