2026-2027学年奥数思维拓展第三讲：优化问题-数学四年级上学期人教版（含答案）

/奥数思维拓展第三讲：优化问题-数学四年级上册人教版1．学校组织四年级春游，参加这次春游活动的师生共有248人。如果要租以下两种车接送，应如何租车？其租金至少要多少元？

2．240名师生去参加比赛，计划租车费用不超过2100元。现在有甲、乙两种客车，每辆车的载客量和租金如下表：甲客车乙客车载客量/人5040租金/元400330可以怎样租车？费用最少是多少元？3．下面是同一种奶茶的价钱。一家超市要买46箱这种奶茶，怎样买最省钱？买50箱又该怎样买？4．四（1）班34名同学和2名老师去划船。每条大船的租金是30元，可坐5人；每条小船的租金是21元，可坐3人。（1）聪聪列出算式“（元）”，你知道解决的是什么问题吗？（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？5．现在有66只小妖，该如何分配才能最省馒头？6．四（2）班师生44人去划船，大船每条限坐6人，租金20元；小船每条限坐4人，租金16元，怎样租船最省钱？7．实验小学计划采购100升消毒液用于日常消毒防疫工作。该种消毒液有大瓶和小瓶两种包装，大瓶装8升，每瓶40元；小瓶装6升，每瓶36元。怎样采购最省钱（只能是整瓶）？最少需要多少钱？8．某学校14名老师和324名学生乘车去参加研学旅行。大车可坐40人（不包括司机），每辆租金900元；小车可坐20人（不包括司机），每辆租金500元。怎样租车最省钱？9．笑笑和乐乐玩取棋子的游戏，每人每次最少取1枚，最多取2枚。谁先取得第16枚谁就获胜，如果让你先取，为了确保胜利，第一次应取多少枚？10．有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？11．妈妈要煎4条鱼，两面都要煎，每面4分钟。可是锅里每次只能放3条鱼。怎样煎才能尽快煎好？至少需要多少分钟？12．32名同学乘车去公园游玩，小轿车每辆可坐4人，面包车每辆可坐6人，如果每辆车都坐满，怎样租车才能正好一次都运到？13．要买35千克的苹果，请你选择开支最省购买方案，开支多少元？14．阳光旅游团共有48人，其中儿童16人。怎样购票所需的钱最少？最少需要多少？儿童票：15元成人票：30元团体票（45人及以上）：22元15．武大郎做烧饼，每只烧饼正面需要烤3分钟，反面需要烤2分钟，而平锅内一次只能放两只烧饼，要用最短的时间烤好9只烧饼，武大郎最少需要多少分钟？16．32名老师带领273名学生参加影视夏令营，观看热门电影《我和我的祖国》，怎样买票最省钱？要花多少钱？17．景深公园“风车节”游园票价规定如下表：购票人数1～99100～199199以上票价/（元/人）282518现有甲、乙两个旅游团，甲团有86人，乙团有108人。（1）两个团分开购票，各需要付多少钱？（2）两个团合起来购票，需要付多少钱？（3）认真想一想，还费更少的方法有付吗？18．有227名来自山东省的女教师到北京某小学考查，当晚要入住学校附近的一家酒店。怎样订购花钱最少？最少要花多少钱？19．爸爸出差了，妈妈生病了，明明放学回家后帮妈妈做家务，明明是按照以下顺序做的：扫地（5分钟）→淘米（1分钟）→洗菜（9分钟）→打开炉子（1分钟）→煮饭（18分钟）→炒菜（7分钟）一共花了41分钟，妈妈平时没有用这么长时间，请你帮明明设计一个花费时间最少的做家务顺序。20．五个同学比赛钓鱼，最多的钓了20条鱼，最少的钓了5条鱼。若五个同学钓的条数各不相同，那么五个同学一起最多钓了多少条鱼？21．有100只乒乓球，把它们分别放到14个盒子中，每个盒子至少放一只，能否使每个盒子放的乒乓球不一样多？如果能，请写出每个盒子中各应放多少只乒乓球。如果不能，请说明理由。参考答案：1．租5辆大巴，2辆中巴；6500元【分析】先计算出大巴、中巴平均每人多少钱，然后比较，哪一种便宜就尽量多租便宜的车型，余下的人坐另一种车型，并且尽量使每一辆车都坐满才最省钱，总人数除以每车坐的人数，得到的商就是坐该种车型的辆数，余数就表示还有多少人，从而推算出租另一种车型的辆数。【详解】大巴：1000÷40＝25（元/人）中巴：750÷25＝30（元/人）25＜30，因此尽量租大巴；248÷40＝6（辆）……8（人）可租6辆大巴、1辆中巴；1000×6＋750＝6000＋750＝6750（元）余下8人租一辆中巴剩座多，可考虑少租一辆大巴；248－（6－1）×40＝248－5×40＝248－200＝48（人）48÷25＝1（辆）……23（人）可租5辆大巴、2辆中巴；1000×5＋750×2＝5000＋1500＝6500（元）6750＞6500答：租5辆大巴，2辆中巴最省钱；其租金至少要6500元。【点睛】租车优化问题首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较多又接近满座，可以考虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车。2．租车方案见详解；1930元【分析】因为甲客车每人租金为：400÷50＝8（元）；乙客车每人租金为：330÷40＝8（元）……10（元），所以尽量租用甲客车，且尽量满载最经济；由此根据坐车的总人数与甲客车和乙客车可以乘坐的人数，确定租车的方案；然后再分别计算租车方案所需钱数，比较即可得出结论。【详解】甲客车每人需要的钱数为：400÷50＝8（元）乙客车每人需要的钱数为：330÷40＝8（元）……10（元）所以尽量租甲客车且尽量满载最经济。240÷50＝4（辆）……40（人）方案一：如果租5辆甲客车，需要的钱数为：400×5＝2000（元）方案二：如果租4辆甲客车和1辆乙客车，需要的钱数为：400×4＋330＝1600＋330＝1930（元）方案三：如果租3辆甲客车和3辆乙客车，需要的钱数为：3×400＋3×330＝1200＋990＝2190（元）方案四：如果租2辆甲客车和4辆乙客车，需要的钱数为：2×400＋4×330＝800＋1320＝2120（元）方案五：如果租1辆甲客车和5辆乙客车，需要的钱数为：400＋5×330＝400＋1650＝2050（元）方案六：如果租6辆乙客车，需要的钱数为：330×6＝1980（元）1930＜1980＜2000＜2050＜2100＜2120＜2190答：可以租5辆甲客车；租4辆甲客车和1辆乙客车；租3辆甲客车和3辆乙客车；租2辆甲客车和4辆乙客车；租1辆甲客车和5辆乙客车；租6辆乙客车；费用最少是1930元。【点睛】本题主要考查优化问题。根据需要乘车的人数及每种车的承载人数及租车费用进行分析是完成此类问题的关键。3．答案见详解【分析】先分别算出20箱装、3箱装和1箱装时每箱的单价，比较单价的大小，尽可能多买单价低的，即可解答。【详解】20箱装的每箱：（元）3箱装的每箱：（元）1箱装的每箱：28元，所以尽量买20箱装的，再买3箱装的，最后买1箱装的。①买46箱：先买2件20箱装的，再买2件3箱装的。②买50箱：先买2件20箱装的，再买3件3箱装的，最后再买1件1箱装。答：买46箱可以这样买，先买2件20箱装的，再买2件3箱装的；买50箱可以这样买，先买2件20箱装的，再买3件3箱装的，最后再买1件1箱装的。【点睛】此题主要考查了最优化问题，解题关键是尽量多选择单价低的方案。4．（1）师生全部坐小船一共需要多少钱？（2）大船6条，小船2条，共可坐36人，没有空位，共需（元）【分析】（1）四（1）班34名同学和2名老师去划船，34＋2表示总人数，3表示每船可以坐3人，据此可以得出所有人坐的是小船。据此解答。（2）租此船金额÷限乘人数＝租此船每人需要的钱，以此计算并比较要使租船最省钱，则应尽量租最便宜的一种船，并使每条船都没有空位，然后用总人数除以最便宜的一种船型的限乘人数，再根据计算出的结果算出最省钱的租船方案即可。至少要花多少钱＝每条大船的价钱×租大船的条数＋每条小船的价钱×租小船的条数，据此解答。【详解】（1）根据算式：可知，34＋2表示总人数，3为小船限乘人数，21为小船的价钱，故能解决：“师生全部坐小船一共需要多少钱？”的问题。（2）30÷5＝6（元/人）21÷3＝7（元/人）＞6（元/人），所以租大船便宜。34＋2＝36（人）36÷5＝7（条）⋯⋯1（人），所以大船要租6条，多出来的1人租小船要租1条，这样的方案有空座位，所以考虑少坐一条大船，改做小船。36÷5＝6（条）⋯⋯6（人），所以大船要租6条6÷3＝2（条），所以小船要租2条，且没有空座位。共需：＝180＋42＝222（人）答：大船6条，小船2条，共可坐36人，没有空位，共需222元。【点睛】此题考查的是优化计算问题，要使租船最省钱，应尽量租最便宜的一种船型，并且使每条船都坐满。5．猪八戒消灭56只小妖；沙僧消灭10只小妖才能最省馒头【分析】先分别求出沙僧和猪八戒每次消灭l只小妖要吃多少个馒头，得出猪八戒一次消灭1只小妖最省馒头；然后将66拆分成含有5和8的乘加算式，即可得出答案。【详解】沙僧：（个）猪八戒：（个）所以猪八戒省馒头。（次）……2（只）即猪八戒消灭8次，沙僧消灭1次。＝3200＋300＝3500（个）所以猪八戒消灭7次，沙僧消灭2次。（个）所以猪八戒消灭7次，沙僧消灭2次最省馒头。（只）（只）答：猪八戒消灭56只小妖，沙僧消灭10只小妖才能最省馒头。【点睛】本题主要考查最优化问题，关键是求出每次消灭l只小妖要吃多少个馒头。6．租用6条大船，2条小船【分析】乘坐大船每人需20÷6＝3（元）……2（元），小船每人需16÷4＝4（元），所以尽量租大船，少租小船，而且保证空位最少，这样租金会最少。【详解】大船每人次的成本为20÷6＝3（元）……2（元），小船每人次的成本为16÷4＝4元；由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算。44÷6＝7（条）……2（人）大船：7－1＝6（条）小船：（6＋2）÷4＝8÷4＝2（条）即租用6条大船，2条小船最省钱。需花：20×6＋16×2＝120＋32＝152（元）答：租用6条大船，2条小船，这样租最省钱，只需要152元。【点睛】通过分析大船与小船的租用成本得出在尽量满载的情况下，多租用大船最合算是完成本题的关键。7．买11大瓶，2小瓶；512元【分析】先计算出大瓶、小瓶平均每升多少钱，然后比较，哪一种便宜就尽量多买便宜的瓶型，余下的升数买另一种瓶型，并且都要是整瓶，总升数除以每瓶装的升数，得到的商就是买该种瓶型的瓶数，余数就表示还有多少升，从而推算出买另一种瓶型的瓶数。【详解】大瓶：40÷8＝5（元/升）小瓶：36÷6＝6（元/升）5＜6，因此尽量买大瓶；100÷8＝12（瓶）……4（升）剩下的4升不能买成整瓶的，因此把大瓶的少买一瓶，买11瓶大瓶，剩下8＋4＝12（升）12÷6＝2（瓶），刚好可以买2小瓶。11×40＋2×36＝440＋72＝512（元）答：买11大瓶，2小瓶最省钱；最少需要512元。【点睛】此题同租车优化问题，首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较多又接近满座，可以考虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车。8．租8辆大车和1辆小车【分析】先计算出大车每人的单价：，小车每人的单价：，大车的成本低，小车的成本高，所以尽量租大车且保证尽量载满没有空座，据此解答。【详解】①租9辆大车空座：租金：②租8辆大车和1辆小车空座：租金：③租7辆大车和3辆小车空座：租金：8100元＞7800元＞7700元答：租8辆大车和1辆小车最省钱。【点睛】本题考查最优化问题，根据每种车辆的限载人数以及租金算出租车成本，还要考虑尽量减少空座数量是解答本题的关键。9．1枚【分析】当每人每次都只取一枚时，两人一次一共取走2枚。16÷2＝8，没有余数，第二个人一定胜利。当每人每次都只取2枚时，两人一次一共取走4枚。16÷4＝4，没有余数，第二个人一定胜利。当1枚和2枚互取时，16÷（1＋2）＝5（组）……1（枚），有余数，第一人先取一枚，然后剩下每次取得和对方的加起来等于3枚。比如对方取一枚，你要取两枚；对方取两枚，你就要取一枚。1＋（1＋2）×5＝＝1＋3×5＝1＋15＝16，第一人先取一枚他一定胜利。【详解】16÷（1＋2）＝16÷3＝5（组）……1（枚）答：第一次应取1枚。【点睛】此题主要是在考查有余数除法的实际运用；借助实物演示一下，可更清晰明了。10．见详解【分析】我先取1张，那么还剩下29张，则只要使自己取到第29张，让对方取第30张，我就能获胜，依此解答。【详解】答：我有必胜的策略，我先取一张，再看对方取几张，我要取的张数与对方的取张数的和是4张，这样下去，就能保证我会取到第29张，让对方取第30张，这样我就会获胜。【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。11．每次锅中放3条煎；12分钟【分析】解决此类问题，尽量使锅中每次都能放3条鱼煎，根据此进行合理安排，然后绘制表格，求出至少所需时间。【详解】将4条鱼分别用1、2、3、4表示，煎制方法如下：煎的次数鱼所用时间第一次煎1正、2正、3正4分钟第二次煎1反、2反、4正4分钟第三次煎3反、4反4分钟所需时间为：答：至少需要12分钟。【点睛】此题考查合力安排事情的能力，抓住锅里始终有3条鱼在煎，依据这个解答。12．租2辆小轿车和4辆面包车，或者租5辆小轿车和2辆面包车，或者租8辆小轿车【分析】小轿车每辆可坐4人，面包车每辆可坐6人，可以只租一种车，也可以租两种车，但要每辆车都坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来，再选择最优方案。【详解】租车方案小轿车面包车乘坐人数①0辆6辆36人②1辆5辆34人③2辆4辆32人④4辆3辆34人⑤5辆2辆32人⑥7辆1辆34人⑦8辆0辆32人答：租2辆小轿车和4辆面包车，或者租5辆小轿车和2辆面包车，或者租8辆小轿车，才能正好一次都运到。【点睛】解决本题时应根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中找出最优方案。13．295元【分析】题干有三种不同的方法购买苹果，每种单价不同，分别求出每种方法的单价，以最便宜的购买购买能够买的数量，剩余数量再按照满足条件的最便宜的方法购买，再分别求出所选方法的价格之和即可。【详解】160÷20＝8（元）27÷3＝9（元）10÷1＝10（元）35÷20＝1……15，则需要按方法1购买20千克，价格为20×8＝160（元）15÷3＝5，则需要按方法2购买15千克，价格为9×15＝135（元）总价＝160＋135＝295（元）答：以最省购买方案购买苹果需要开支295元。【点睛】此题为较为典型的优化问题，找到最优的购买方案是解决此题的关键。14．45人买团体票，3名儿童买儿童票最省钱；1035元。【分析】抓住题干中的购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为儿童票比团体票便宜，所以儿童尽量购买儿童票；据此分别算出应付的钱数进行比较，即可解决问题。【详解】儿童16人；成人48－16＝32人。（1）分开购票，15×16＋30×32＝240＋960＝1200（元）（2）合购团体票，22×48＝1056（元）（3）45人买团体票，3名儿童买儿童票，22×45＋15×（48－45）＝22×45＋15×3＝990＋45＝1035（元）1200＞1056＞1035答：45人买团体票，3名儿童买儿童票最省钱，最少需要1035元。【点睛】选用哪种方案和团队中成人与儿童的人数有关，如果成人多于一定数量，则购团体票便宜，反之分开购票便宜。15．23分钟【分析】将9只烧饼分为6只和3只两组，先烤3只烧饼，可以这样烤：先烤第一、第二只烧饼的第一面，3分钟后，把第一只烧饼取出，将第二只翻个身，放上第三只烧饼．经过2分钟，第二只烧饼已熟，可把它取出来，放上第一只烧饼，烤另外一面，1分钟后，把第三只烧饼翻一个身，2分钟后，第一只烧饼又熟了，可把它取出，再过1分钟，第三只烧饼也熟了。剩下的6只烧饼，两个两个的烤，需要5×（6÷2）＝15分钟，再把两组时间加起来，即可得到最少的时间，据此解答。【详解】9只烧饼分为3只和6只两组，先烤3只这一组：给只烧饼分别编号为①②③；第一次：①正②正，3分钟；第二次：②反③正，2分钟；第三次：①正③正③反，2分钟（③正1分钟，③反1分钟）；第四次：③反，1分钟；共计：3＋2＋2＋1＝5＋2＋1＝8（分钟）再烤另外6只，两个两个的烤，用时：5×（6÷2）＝5×3＝15（分钟）两组总共用时：8＋15＝23（分钟）这是需要的最少时间。答：武大郎最少需要烤23分钟。【点睛】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2只烧饼在烤是本题的关键。16．32名老师买团体票，273名学生买学生票最省钱，要花6420元。【分析】抓住题干中的购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为学生票比团体票便宜，所以学生尽量购买学生票；据此分别算出应付的钱数进行比较，即可解决问题。【详解】方案一分开购票：＝1280＋5460＝6740（元）方案二合购团体票：＝305×30＝9150（元）方案三32名老师买团体票，学生买学生票：＝960＋5460＝6420（元）9150元元元答：32名老师买团体票，273名学生买学生票最省钱，要花6420元。【点睛】选用哪种方案和团队中成人与儿童的人数有关，如果成人多于一定数量，则购团体票便宜，反之分开购票便宜。17．（1）甲要付2408元，乙要付2700元（2）4850元（3）买200张票更合算，只需付3600元【分析】如果两个团分开购票，甲旅游团每张票28元，乙旅游团每张票25元；两个团合起来购票，总人数194人，票价25元。【详解】（1）（元）（元）答：甲旅游团需要付2408元，乙旅游团需要付2700元。（2）（人）（元）答：需要付4850元。（3）可以买200张，虽然有6张浪费，但是票价大幅下降，总费用会更低；（元）答：最省钱的方案，需要付3600元。【点睛】本