2026-2027学年奥数拓展第二讲：圆综合-数学六年级上学期苏教版（含答案）

/奥数拓展第二讲：圆综合-数学六年级上册苏教版一、选择题1．下列说法正确的是（

）。A．因为扇形是它所在圆的一部分，所以圆的一部分一定是扇形B．圆的面积比扇形的面积大C．在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形D．将一个圆对折3次后，所得到的扇形圆心角是120°2．下雨了，小蚂蚁要从A点把食物运回B点，两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度爬（路线如下图）。哪只蚂蚁先把食物运回B点？（

）A．同时到达 B．上面的蚂蚁 C．下面的蚂蚁3．如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的（

）。A． B． C．4．下图中，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（

）。A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米5．如下图，三张正方形铁皮的边长都是16厘米，分别按下图剪下不同规格的圆片。哪种剪法最浪费材料？（

）A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．三种浪费的同样多6．在如图所示的比赛场中（弯道部分为半圆），赛车左、右轮子的距离为2米，若赛车按照指定的方向绕一圈后，下列说法正确的有（

）。①在第一段弯道上，右轮比左轮多走了2π米。②第二段弯道上右轮比左轮多走了2π米。③第三段、第四段盘道右轮比左轮共多走4π米。④赛车跑完全程，右轮比左轮多走8π米。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是()平方厘米。（结果用含有π的式子表示）8．如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是()平方厘米。正方形外的大圆面积是()平方厘米。9．熊大和熊二玩运动游戏，熊大从A出发，沿着实线部分（箭头方向）在圆上一直运动，熊二也从A出发，沿着圆内的虚线部分来回运动。如果熊大的速度是熊二的2倍，熊大跑()圈就能与熊二相遇。（不列式，直接答）10．一个圆形纸片，沿半径剪成32个相等的小块后，拼成了一个长是6.28厘米的近似长方形，原来圆形纸片的周长是()厘米，面积是()平方厘米。11．从一个正方形中剪一个最大的圆，圆的面积是125.6平方厘米，剩下部分的面积是()平方厘米。12．如图，涂色部分占整个图形的；如图，正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是（

）平方厘米。13．在一个半径为6厘米的圆中画一个圆心角为120°的扇形，这个扇形的面积是()平方厘米．14．如图，把一个直径6厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不可能接触到的部分的面积是()平方厘米。三、解答题15．下图中阴影②比阴影①的面积大10.8平方厘米。BC长多少厘米？（取3.14）16．水运是世界上最省力的木材运输方法，伐木工人将采伐的木材并排捆扎在一起，利用木材的浮力和水流的动力运输木材，从而节约成本。如图，把8根直径约为1米的圆木用铁丝紧紧地并排捆扎在一起，像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝多少米？（接头处忽略不计）17．如图，每个小正方形的边长是2厘米。①照样子，用圆规在长6厘米、宽4厘米的长方形中画出一个“逗号”。②这个“逗号”的周长是（

）厘米。18．在学习“圆的认识”时，王老师在边长为20cm的正方形硬纸板上有圆。（不能拼接）（1）如图1，正方形硬纸板剪完一个圆后剩下的边角料的面积是多少？（2）如图2，像这样剪4个大小相等的圆，剩下的边角料的面积是多少？正中心的边角料（阴影部分）的面积是多少？（3）猜想：继续像上面这样剪图片，在正方形硬纸板上剪下9个大小相等的圆，剩下的边角料是多少？剪16个圆呢？从中你发现了什么？为什么会这样呢？请写出你的想法。19．阅读分析。小米同学六一儿童节期间去必胜客买披萨，点了一个12英寸的披萨。一会儿服务员过来说：“12英寸披萨卖完了，给你换2个8英寸的”，如果披萨的材料和厚度都一样，请你帮小米同学算一算划不划算？（关于披萨的知识：披萨通常做成圆形，“英寸”指的是直径长度，12英寸约是30厘米，8英寸约是20厘米）20．量一量，画一画，算一算。（1）量一量，上面这个圆的直径是（

）厘米。（2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是（

）厘米。（3）请画出这个圆向右滚动一周后在直线上的正确位置，并标出这时的圆心和点。

参考答案：1．C【分析】根据对圆和扇形的理解逐项分析即可。【详解】A．因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆的一部分是一段弧，而不是扇形，原题说法错误。B．圆和扇形的半径不确定，面积大小无法确定，原题说法错误。C．根据扇形和圆的特征即可判断，在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形，原题说法正确。D．将一个圆对折3次后，平均分成8份，所得到的扇形圆心角是360°÷8＝45°，原题说法错误。故答案为：C【点睛】本题考查对圆和扇形的理解。2．A【分析】根据图可知，上面蚂蚁走了一个大半圆的圆弧，下面的小蚂蚁走了4个半圆弧的长度，可以设下面小蚂蚁走的4个半圆的直径分别是d1，d2，d3，d4，根据圆的周长公式：C＝πd，分别求出两只蚂蚁走的路程，再进行比较即可。【详解】设四个小半圆的直径分别是d1，d2，d3，d4。上面蚂蚁走的长度：π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2下面蚂蚁走的长度：π×d1÷2＋π×d2÷2＋π×d3÷2＋π×d4÷2＝π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2由此即可知道两只蚂蚁走的长度一样，所以同时把食物运回B点。故答案为：A【点睛】本题主要考查圆的周长公式，要注意当多个小圆的直径和跟大圆的直径相等时，两个圆的周长相等。3．C【分析】阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则大圆的半径＝小圆的半径×2，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）；即圆环面积＝π×（4×小圆半径2－小圆半径2），圆环面积＝3π×小圆半径2；大圆面积＝π×（小圆半径×2）2＝4π×小圆半径2；再用圆环面积÷大圆面积，即可解答。【详解】根据分析可知，阴影部分（圆环）面积＝3π×小圆半径2；大圆面积＝4π×小圆半径2；3π×小圆半径2÷4π×小圆半径2＝3÷4＝如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的。

故答案为：C【点睛】本题考查圆环的面积公式，圆的面积公式的应用，关键求出大圆半径与小圆半径之间的关系。4．B【分析】如下图所示，把正方形平均分成两个完全相同的三角形，每个三角形对应的一组底和高分别等于圆的直径（2r）和半径（r）。已知正方形的面积是10平方厘米，则每个三角形的面积是10÷2＝5（平方厘米）。三角形的面积＝底×高÷2＝2r×r÷2＝5（平方厘米），据此可得r2＝5，则圆的面积＝πr2＝5π（平方厘米）。【详解】10÷2＝5（平方厘米）2r×r÷2＝52r2÷2＝5r2＝5圆的面积＝πr2＝5π（平方厘米）故答案为：B【点睛】把正方形平均分成两个三角形，根据三角形的底和高与圆的半径的关系，得出r2的值是解题的关键。5．D【分析】要想知道哪种剪法最浪费材料，就是求哪张铁皮剩下的废料多，由题意可知：剪法1：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－一个大圆的面积；剪法2：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－4个小圆的面积；剪法3：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－16个小圆的面积；正方形的边长是16厘米，则能求出正方形的面积和圆的面积，从而求得剩下的铁皮的面积。【详解】因为正方形的边长是16厘米，则正方形的面积：16×16＝256（平方厘米）剪法1：圆的半径：16÷2＝8（厘米）剩下的铁皮的面积：256－3.14×82＝256－200.96＝55.04（平方厘米）剪法2：圆的半径：16÷4＝4（厘米）剩下的铁皮的面积：256－3.14×42×4＝256－200.96＝55.04（平方厘米）剪法3：圆的半径：16÷4÷2＝4÷2＝2（厘米）剩下的铁皮的面积：256－3.14×22×16＝256－12.56×16＝256－200.96＝55.04（平方厘米）所以剩下的铁皮同样多，三种浪费得同样多。故答案为：D【点睛】解答此题的关键是明白：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－圆的面积，只要补充上直径的长度，即可求解。6．B【分析】根据题目逐项进行判断正误即可。【详解】①在第一段弯道处是左转弯，假设右边轮子压着右边线走，经过弯道右轮走了半个半径为50的圆周长，为50π米，左轮与右轮的距离为2米，所以左轮走了半个半径为（50－2）π＝48π，所以右轮比左轮多走：50π－48π＝2π（米），正确。②第二段弯道处为右转弯，右轮走的距离为50r米，左轮走（50＋2）π＝52π（米），所以左轮比右轮多走：52π－50π＝2π（米），题中说右轮比左轮多为错误说法。③第三段和第四段都是左转弯，第三段右轮比左轮多走：50π－（50－2）π＝2π（米）；第四段右轮比左轮多走：150π－（150－2）π＝2π（米）；所以第三段和第四段右轮比左轮共多走2π＋2π＝4π（米），正确。④结合以上可知，第一段、第三段、第四段都是左转弯，是右轮比左轮多走：2π＋2π＋2π＝6π（米）；第二段是右转弯，左轮比右轮多走：2π（米）；综上右轮比左轮多走：6π－2π＝4π（米），故题干中的8π米错误。结合以上只有①③正确。故答案为：B【点睛】本题考查半圆周长的应用，关键是发现左轮比右轮多（少）走的和圆周的半径没有关系，只和两个轮子之间的距离有关。7．64－16π【分析】如图，先看最小的三角形和半圆，最小三角形部分的阴影面积为三角形面积减去半圆面积：由于三角形的两条直角边是4厘米，圆心位于斜边中点，从圆心像三角形的直角边作垂线，由此即可知道圆的半径应该是直角三角形直角边的一半，即4÷2＝2厘米，半圆的面积公式：πr2÷2：则阴影部分的面积：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2＝8－2π；由于最小的两个阴影部分面积相等，稍微大一点的三角形是最小三角形的2倍，那么阴影部分也是它的2倍，则稍微大一点的阴影部分的面积是：（8－2π）×2，最大的三角形面积是最小三角形面积的4倍，则阴影部分的面积是最小三角形的4倍，则它的面积是：（8－2π）×4，据此把四个部分的面积相加即可。【详解】如图：最小的阴影部分面积是：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2＝8－4π÷2＝（8－2π）平方厘米最上面的阴影部分面积：（8－2π）×2＝（16－4π）平方厘米最大的阴影部分的面积：（8－2π）×4＝（32－8π）平方厘米阴影部分面积：32－8π＋16－4π＋8－2π＋8－2π＝32＋16＋8＋8－8π－4π－4π＝（64－16π）平方厘米如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是（64－16π）平方厘米。【点睛】本题主要考查求阴影部分的面积，同时掌握圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键。8．31.462.8【分析】设小圆的半径为r，大圆的半径为R，则正方形的边长为2r，所以有：2r×2r＝40，可得出：，所以小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米）；连接正方形两条对角线，可将正方形平均分成4份，每个三角形的面积为：40÷4＝10（平方厘米），所以R×R÷2＝10，所以，所以大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米）。【详解】设小圆的半径为r，大圆的半径为R；如上图，连接正方形的两条对角线。2r×2r＝40小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米）R×R÷2＝10大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米）所以正方形内的小圆面积是31.4平方厘米。正方形外的大圆面积是62.8平方厘米。【点睛】本题考查圆面积公式的灵活运用，已知圆的半径或者半径的平方都可以求出圆的面积。9．2【分析】根据圆的周长公式：π×直径可知；实线部分的长度是虚线部分长度的2倍；熊大的速度是熊二速度的2倍，就是熊大沿着实线部分从A点再到A点跑1圈的时间等于熊二沿虚线部分从A点跑到B点的时间；熊大再从A点到A点跑1圈的时间等于熊二从B点跑到A点的时间，也就是熊大与熊二相遇；即熊大跑2圈与熊二相遇，据此解答。【详解】根据分析可知，熊大和熊二玩运动游戏，熊大从A出发，沿着实线部分（箭头方向）在圆上一直运动，熊二也从A出发，沿着圆内的虚线部分来回运动。如果熊大的速度是熊二的2倍，熊大跑2圈能与熊二相遇。【点睛】解答本题的关键明确熊大跑的圈的长度是熊二长度的2倍，根据熊大与熊二跑的时间相同，进行解答。10．12.5612.56【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开后拼成一个近似长方形，这个近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，面积不变。根据圆的周长公式：，面积公式：，把数据代入公式解答。【详解】6.28÷3.14＝2（厘米）6.28×2＝12.56（厘米）3.14×＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：原来圆形纸片的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．34.4【分析】正方形中剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。已知圆的面积，可求出圆的半径的平方，半径的平方乘4可得直径的平方，即为正方形的面积。正方形的面积减去圆的面积即可求出剩下部分的面积。【详解】125.6÷3.14＝40（平方厘米）40×4＝160（平方厘米）160－125.6＝34.4（平方厘米）【点睛】此题考查了圆的面积，关键要理解圆的直径等于正方形的边长。12．；6.28【分析】把大正方形看作一个整体，平均分成16个小正方形，其中一个正方形的面积表示为。涂色部分的中间为4个完整的小正方形，四周为4个相同的直角三角形，这4个直角三角形合起来正好组成6个完整的正方形；正方形的边长等于圆的直径，据此求解。【详解】根据分析可知，涂色部分占整个图形的；边长×边长＝8平方厘米，圆的面积＝3.14×（边长÷2）2，化简得：圆的面积＝（平方厘米）。【点睛】本题主要考查分数的意义、正方形面积与圆的面积公式。13．37.68【详解】略14．36－9π【分析】如图所示，这张圆形硬纸片“不能接触到的部分”的面积就是以边长为（6÷2）厘米的小正方形的面积与半径为（6÷2）厘米的圆面积的的差，然后再乘4，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【详解】6÷2＝3（厘米）（3×3－×3×3π）×4＝（9－π）×4＝（36－9π）平方厘米【点睛】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。15．11.22厘米【分析】根据题意，可假设空白部分的面积为S；S△ABC－S＝S②；S半圆－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圆－S）＝S△ABC－S半圆＝10.8；代入数值即可解答出BC的长度。【详解】根据题意，可假设空白部分的面积为S；S△ABC－S＝S②；S半圆－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圆－S）＝S△ABC－S半圆＝10.8；S△ABC＝＝＝6×BC；S半圆＝[π×（）2]÷2＝[3.14×（）2]÷2＝3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（平方厘米）代入式子：S△ABC－S半圆＝6×BC－56.52＝10.8（平方厘米）由此可得BC为（10.8＋56.52）÷6＝67.32÷6＝11.22（厘米）答：BC长11.22厘米。【点睛】解题关键利用已知的条件，列出关系式。根据三角形面积公式和圆的面积公式计算解答即可。16．34.28米【分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是7根圆木直径的和，下面的铁丝也是7根圆木直径的和，前、后各捆1圈的总长度实际上是由一个圆的周长加上14个直径的长度再乘2即可。【详解】（3.14×1＋7×1×2）×2＝（3.14＋14）×2＝17.14×2＝34.28（米）答：像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝34.28米。【点睛】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法。17．①见详解②18.84【分析】①先以上面四个小正方形的交点为圆心，以2厘米为半径画圆得到逗号的上半部分；以左下角小正方形的左上顶点为圆心，以2厘米为半径画出圆的弧，再以这个圆心上面的一个正方形顶点为圆心，以2×2＝4（厘米）为半径画出圆的弧，两条弧组成逗号的下半部分。②这个逗号的周长包括上面整圆周长的、以2厘米为半径的圆的弧长和以4厘米为半径的圆的弧长。圆的周长＝2πr，据此代入数据计算。【详解】①②3.14×2×2×＋3.14×2×2×＋2×2×2×3.14×＝9.42＋3.14＋6.28＝18.84（厘米）【点睛】本题考查了圆的画法和组合图形的周长。明确逗号周长的组成是解题的关键。18．（1）86cm2（2）86cm2；21.5cm2（3）86cm2；86cm2；剩下的边角料的面积是相等的；因为这些小圆的面积和都可以转化成图1的圆的面积【分析】（1）正方形的面积＝边长×边长，圆的半径＝正方形的边长÷2，再求出圆的面积，S＝πr2，最后用正方形的面积－圆的面积求出剩下的边角料的面积；（2）求出小圆的半径，小圆的半径＝正方形的边长÷4，再求出一个小圆的面积，S＝πr2，然后用一个小圆的面积乘4求出4个小圆的面积之和，最后用正方形的面积－4个小圆的面积和求出剩下的边角料的面积；要求正中心的边角料的面积，顺次连接4个小圆的圆心，可以得到一个边长10cm的正方形，然后用小正方形的面积－半径为5cm的圆的面积求出正中心的边角料面积；（3）通过上面的计算，可以猜想：继续像上面这样剪圆片，在正方形铁皮上剪下9个大小相等的圆，剩下的边角料是86cm2；剪16个圆，剩下的边角料是86cm2；从中我发现了剩下的边角料的面积是相等的，因为这些小圆的面积和都可以转化成图1的圆的面积，所以剩下的边角料面积不变。【详解】正方形的面积：20×20＝400（cm2）圆的半径：20÷2＝10（cm）圆的面积：3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）400－314＝86（cm2）答：正方形硬纸板剪完一个圆后剩下的边角料的面积是86cm2。（2）小圆的半径：20÷4＝5（cm）小圆的面积：3.