18.2.2菱形的判定-学案定稿

学习目标1.理解并掌握菱形的判定方法，能够运用这些方法判断一个四边形是否为菱形。2.经历菱形判定定理的探究过程，体会类比、转化等数学思想，提升逻辑推理能力和动手操作能力。3.在解决问题的过程中，感受数学的严谨性与实用性，培养合作探究精神。知识回顾在学习新的判定方法之前，我们先回顾一下菱形的定义和性质：*菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。*菱形的性质：*菱形具有平行四边形的所有性质；*菱形的四条边都相等；*菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。思考：根据菱形的定义，我们可以直接判定一个四边形是菱形吗？如何判定？新知探究我们知道，定义本身就是一种最基本、最重要的判定方法。那么，除了定义之外，还有其他方法可以判定一个四边形是菱形吗？探究一：从“边”的角度思考我们知道菱形的四条边都相等。反过来，如果一个四边形的四条边都相等，它会是菱形吗？动手操作：1.准备四根长度相等的小木棒（或吸管）。2.用这四根小木棒首尾顺次连接，组成一个四边形。3.观察这个四边形，它是什么形状？它是平行四边形吗？它是菱形吗？为什么？猜想与验证：*猜想：四条边都相等的四边形是菱形。*尝试证明你的猜想：已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：四边形ABCD是菱形。（提示：可先证明它是平行四边形，再利用菱形的定义进行判定。）归纳总结：菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。探究二：从“对角线”的角度思考我们知道菱形的对角线互相垂直。反过来，如果一个平行四边形的对角线互相垂直，它会是菱形吗？动手操作：1.准备两根长度不等的细纸条，将它们的中点重叠并固定，使它们可以绕中点自由转动。2.转动两根纸条，使它们所成的角为直角，观察所形成的四边形ABCD（A、B、C、D为纸条端点）。3.这个四边形是平行四边形吗？为什么？它是菱形吗？为什么？猜想与验证：*猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。*尝试证明你的猜想：已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O。求证：□ABCD是菱形。（提示：可利用平行四边形对角线互相平分以及线段垂直平分线的性质证明邻边相等。）归纳总结：菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形。例题解析例1：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。![例1图（此处应有图，描述：△ABC，AD为角平分线，DE平行AC交AB于E，DF平行AB交AC于F）]分析：要证四边形AEDF是菱形，我们可以先看它是否为平行四边形。由DE∥AC，DF∥AB，根据平行四边形的定义可证其为平行四边形。再设法证明其邻边相等或对角线垂直。这里，AD是角平分线，结合平行线的性质，容易得到∠EAD=∠EDA，从而AE=DE。证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形。∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAF。∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF。∴∠ADE=∠DAE。∴AE=DE。∵四边形AEDF是平行四边形，且AE=DE，∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。例2：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。![例2图（此处应有图，描述：平行四边形ABCD，AC为对角线，EF是AC的垂直平分线，分别交AD于E，BC于F）]分析：要证四边形AFCE是菱形，可先证其为平行四边形，再证对角线互相垂直（已知EF垂直平分AC）。或者，也可证明其四边相等。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠EAO=∠FCO。∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°。在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）。∴EO=FO。∵AO=CO，EO=FO，∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。课堂练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)有一组邻边相等的四边形是菱形。()(2)对角线互相垂直的四边形是菱形。()(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。()(4)四条边都相等的四边形是菱形。()2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点。求证：四边形ADEF是菱形。![练习2图（此处应有图，描述：△ABC，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、AC中点）]3.如图，在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF，连接AF、CE。请添加一个条件，使四边形AECF是菱形，并说明理由。![练习3图（此处应有图，描述：平行四边形ABCD，E在AB上，F在CD上，AE=CF，连接AF、CE）]课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了菱形的几种判定方法：1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。3.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。在应用这些判定方法时，要注意它们的前提条件：定义法和判定定理2是针对平行四边形而言的，而判定定理1是直接针对四边形的。在具体解题时，要根据题目所给条件，灵活选择合适的判定方法。拓展思考思考：如果一个四边形的对角线平分一组对角，这个四边形一定是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例。作业布置1.教材对应练习题。2.思考题：如何只用刻度尺（或带有刻度的直尺）来判定一个四边形是不是菱形？---教师教学反思与使用建议：*本学案注重引导学生通过动手操作和逻辑推理自主探究菱形的判